Tematyka zajęć LITERATURA RN Układy Tematyka zajęć Równania nieliniowe (met. bisekcji, Newtona), Całkowanie numeryczne (met. proste i złożone trapezów i Simpsona), Różniczkowanie numeryczne, Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych (met. Eulera i Rungego-Kutty), Interpolacja wielomianowa, LITERATURA Kincaid, Cheney, Analiza numeryczna, WNT, Fortuna, Macukow, Wąsowski, Metody numeryczne WNT, Marlewski, Podstawowe metody numeryczne dla studentów kierunków inżynierskich, ARTPRESS, Björck, Dahlquist, Metody numeryczne, PWN Warszawa, Barbara Szyszka dr inż. Barbara Szyszka

W pomiarach niemal zawsze jest istotny błąd względny. Gdy liczbę rzeczywistą x przybliżamy inną liczbą x*, to błąd bezwzględny i względny tego przybliżenia są z definicji równe błąd bezwzględny: błąd względny dla x ≠ 0: W pomiarach niemal zawsze jest istotny błąd względny. Przykład 1.2 Dla błędu bezwzględnego ważny jest rząd wielkości elementów, np.: x=0.01342, x*=0.01343, bb=0.00001, bw ≈ 0.0007451564828 x=13.42, x*=13.43, bb=0.01, bw ≈ 0.0007451564828 x=1342, x*=1343, bb=1, bw ≈ 0.0007451564828 x=1342000, x*=1343000, bb=1000, bw ≈ 0.0007451564828 B. Szyszka Metody numeryczne

Rozwiązywanie równań nieliniowych. RN Układy Rozwiązywanie równań nieliniowych. Równania nieliniowe z jedną niewiadomą: Metoda stycznych (Newtona) Metoda bisekcji (połowienia) Układy równań nieliniowych: Barbara Szyszka 3 dr inż. Barbara Szyszka 3

Dane jest równanie postaci (1) f(x) = 0 Założenia: RN Układy Dane jest równanie postaci (1)                                      f(x) = 0 Założenia: funkcja f(x) jest określona i ciągła w danym przedziale <a, b>. w przedziale <a, b> powinien znajdować się jeden pierwiastek pojedynczy, wartości funkcji f(x) na końcach przedziału powinny mieć różne znaki: f(a) · f(b) ≤ 0 . Zadanie polega na znalezieniu przybliżonej wartości pierwiastka równania (1) wybraną metodą iteracyjną. Warunki zbieżności: pierwsza pochodna funkcji f ma stały znak w przedziale <a, b>, druga pochodna funkcji f ma stały znak w przedziale <a, b>. Założenia te są potrzebne do oszacowania błędu, umożliwiają ustalenie stałego punktu iteracji (np. w met. Newtona) oraz gwarantują istnienie dokładnie jednego pierwiastka w przedziale <a, b> . Barbara Szyszka

f(a) · f(x1) < 0 lub f(x1) · f(b) < 0 . RN Układy metoda połowienia (bisekcji) Przedział <a, b> dzielimy na połowy punktem                           (2) Jeżeli f(x1) = 0, to x1 jest szukanym pierwiastkiem równania (1), jeżeli nie, wówczas z przedziałów <a, x1> i <x1, b> wybieramy ten, na końcach którego funkcja f(x) ma różne znaki, tzn. spełniony jest jeden z warunków:  f(a) · f(x1) < 0  lub  f(x1) · f(b) < 0 . Uzyskany przedział dzielimy ponownie na połowy i sprawdzamy wartość funkcji  f(x) w punkcie środkowym tego przedziału - x2. W przypadku gdy f(x2) ≠0 wybieramy nowy przedział badając znaki funkcji f(x) na końcach nowych przedziałów. Proces ten powtarzamy tak długo, aż otrzymamy rozwiązanie dokładne f(xn) = 0, lub osiągnięta zostanie wymagana dokładność rozwiązania. Barbara Szyszka

Znaleźć pierwiastek równania x2-4=0 w przedziale <1, 4>. RN Układy Przykład 1 Znaleźć pierwiastek równania x2-4=0 w przedziale <1, 4>. <a=1, b=4> x1=2.5 f(x1)>0  <1, 2.5> <2.5, 4> <a=1, b=2.5> x2=1.75 f(x2)<0  <1, 1.75> <1.75, 2.5> <a=1.75, b= 2.5 > x3=2.125 f(x3)>0  <1.75, 2.125> <2.125, 2.5> <a=1.75, b= 2.125 > x4=1.9375 f(x4)<0  <1.75, 1.9375> <1.9375, 2.125> <a= 1.9375, b= 2.125 > x5=2.03125 f(x5)>0  <1.9375, 2.03125> <2.03125, 2.125> <a= 1.9375, b= 2.03125 > x6=1.984375 f(x6)<0  <1.9375, 1.984375> <1.984375, 2.03125> … Barbara Szyszka

x1=2.5 f(x1)>0  <1, 2.5> <2.5, 4> <a=1, b=2.5> RN Układy Przykład 2 Znaleźć miejsce zerowe funkcji f(x)=x2-2 w przedziale <1, 4>. (rozw≈1.414213562) <a=1, b=4> x1=2.5 f(x1)>0  <1, 2.5> <2.5, 4> <a=1, b=2.5> x2=1.75 f(x2)>0  <1, 1.75> <1.75, 2.5> <a=1, b= 1.75 > x3=1.375 f(x3)<0  <1, 1.375> <1.375, 1.75> <a=1.375, b= 1.75 > x4=1.5625 f(x4)>0  <1.375, 1.5625> <1.5625, 1.75> <a=1.375, b= 1. 5625 > x4=1.46875 f(x5)>0  <1.375, 1.46875> <1.46875, 1.5625> <a=1.375, b= 1. 46875 > x4=1.421875 f(x6)>0  <1.375, 1.421875> <1.421875, 1.46875> <a=1.375, b= 1. 421875 > x4=1.3984375 f(x7)<0  <1.375, 1.3984375> < 1.3984375, 1.421875> … Barbara Szyszka

f(x0 ) · f ”(x0 ) ≥ 0, gdzie x0= a lub x0 = b. RN Układy metoda stycznych (Newtona) Jako pierwsze przybliżenie pierwiastka przyjmujemy ten koniec przedziału, w którym funkcja  f i jej druga pochodna mają ten sam znak, tzn. gdy   f(x0 ) · f ”(x0 ) ≥ 0, gdzie x0= a  lub x0 = b. Z wybranego końca prowadzimy styczną do wykresu funkcji  y = f(x). Punkt x1, będący punktem przecięcia stycznej z osią OX jest kolejnym przybliżeniem pierwiastka. Jeżeli otrzymane w ten sposób przybliżenie jest za mało dokładne, to z punktu o współrzędnych (x1, f(x1)) prowadzimy następną styczną. Punkt x2, w którym styczna przecina się z osią OX jest kolejnym przybliżeniem. Proces iteracyjny kończymy, gdy uzyskamy rozwiązanie p z zadaną dokładnością. Wzór określający kolejne przybliżenia szukanego rozwiązania: (2) Jest to zbieżny ciąg przybliżeń malejący (xn < xn-1) lub rosnący (xn > xn-1) i ograniczony z dołu lub z góry. xn xn-1 x p f(x) Barbara Szyszka

Zalety metody Newtona: szybka zbieżność, RN Układy Przykład Znaleźć metodą Newtona rozwiązanie równania x2-4=0 w przedziale <1, 4>. x0=4, x1=2.5, x2=2.05, x3=2.000609756, x4=2, x5=2. Sprawdzić, czy uzyskamy pierwiastek startując z punktu x0=1? Znaleźć metodą Newtona rozwiązanie równania x2-2=0 w przedziale <1, 4>. x0=4, x1=2.25, x2=1.569444444, x3=1.421890363, x4=1.414234285, x5=1.414213562, x6=1.414213562. Przykład (Rozbieżność metody Newtona) Znaleźć rozwiązanie równania SIN(1-x4)=0 startując z punktu x0=0.1. [0.1, 389.3663065, 389.3663065, 389.3663065, 389.3663065, 389.3663065, 389.3663065, 389.3663065] Ale SIN(- 389.3663065^4 + 1) ≈ 0.8660254037 ≠ 0 Zalety metody Newtona: szybka zbieżność, możliwość znalezienia pierwiastka, bez konieczności sprawdzania jakichkolwiek warunków zbieżności. Wady metody: wymagana znajomość pochodnej funkcji f. Barbara Szyszka

Warunki zakończenia metod: maksymalna liczba kroków M, RN Układy Warunki zakończenia metod: maksymalna liczba kroków M, Przykłady rozbieżności metod: gdy wartość funkcji w dowolnym kolejnym przybliżeniu pierwiastka znajdzie się w miejscu, gdzie wykres funkcji jest prawie płaski, styczna przetnie oś OX daleko od pierwiastka. Znaleźć metodą Newtona rozwiązanie równania SIN(1-x4)=0 startując z punktu x0=0.1. x0=0.1, x1=389.3663065, x2=389.3663065. Ale SIN(- 389.3663065^4 + 1) ≈ 0.8660254037 ≠ 0 gdy wykres w pobliżu pierwiastka jest płaski – może być pierwiastek wielokrotny. Metoda bisekcji z trudem wyznacza taki pierwiastek z dużą precyzją gdy funkcja jest nieciągła sprawdzenie tego w praktyce (podczas obliczeń) jest trudne. Barbara Szyszka

Przykład 3 f(x)=x- cos(x) Metoda Newtona: x0=1, x1=0.7503638678, RN Układy Przykład 3 f(x)=x- cos(x) Metoda Newtona: x0=1, x1=0.7503638678, x2=0.7391128909, x3=0.7390851333, x4=0.7390851332, x5=0.7390851332, x6=0.7390851332, x7=0.7390851332 Barbara Szyszka 11 11

Numeryczne rozwiązywanie układów równań nieliniowych RN Układy Numeryczne rozwiązywanie układów równań nieliniowych Metoda stycznych (Newtona) Dany jest układ n-równań nieliniowych z n-niewiadomymi (1) który można zapisać w postaci wektorowej F(X)=0, gdzie Zakładamy, ze funkcje F(X) mają ciągłe pochodne co najmniej I rzędu w pewnym obszarze, zawierającym odosobniony pierwiastek układu (1). Szukamy takiego wektora rozwiązań dla którego F(α)=0. Oznaczenia: indeks górny (x1 ) – numer iteracji, indeks dolny (x1 ) – numer współrzędnej wektora X, f1 – numer współrzędnej wektora F (funkcji ). Barbara Szyszka

Metoda stycznych (Newtona) Twierdzenie 1 Jeżeli RN Układy Dla układu równań liniowych A·x=b (lub F·x=0, F(x)=0) zakładamy istnienie i jednoznaczność rozwiązania, tzn. det(A) ≠ 0. Gdy odwzorowanie F jest nieliniowe warunki istnienia rozwiązania układu równań (2) są znacznie trudniejsze do sprawdzenia, więc zakładamy istnienie rozwiązania α układu równań (2) i ograniczamy się do poszukiwania rozwiązania α. W obliczeniach numerycznych konstruujemy ciąg wektorów X0 , X1 , …, Xn zbieżny do rozwiązania α układu równań (2). Metoda stycznych (Newtona) Twierdzenie 1 Jeżeli funkcja F jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu rozwiązania α, gdzie F(α)=0, pochodna F’(X) jest ciągła w α, pochodna F’(α) jest nieosobliwa, tzn. det(F’(α) )≠0 wówczas α jest punktem ≡wektorem przyciągania metody Newtona: (3) Metoda Newtona jest lokalnie zbieżna, o ile wektor początkowy jest dostatecznie bliski wektorowi rozwiązań α. Barbara Szyszka

We wzorze (3) macierz F’(X) jest macierzą Jacobiego J o elementach: RN Układy We wzorze (3) macierz F’(X) jest macierzą Jacobiego J o elementach: (4) Aby uniknąć obliczania macierzy odwrotnej po przekształceniu metoda (3) będzie postaci: (5) J(Xk-1)·Hk-1 = - F(Xk-1) gdzie wektor H jest rozwiązanie układu równań liniowych (6) Xk = Xk-1 + Hk-1. Barbara Szyszka

Aby rozwiązać układ równań nieliniowych F(X)=0 należy: DANE: RN Układy ALGORYTM: Aby rozwiązać układ równań nieliniowych F(X)=0 należy: DANE: max. liczba iteracji N wektor przybliżeń początkowych dokładność ε rozwiązania dla każdego elementu wektora X WYNIK: przybliżony wektor rozwiązań lub informacja o braku rozwiązania np. o przekroczeniu max. liczby iteracji, lub det(J(Xk) )=0 ROZWIĄZANIE: k=1,2,…,N: obliczyć F(Xk-1) wyznaczyć macierz Jacobiego (4) wyznaczyć wektor Hk-1 rozwiązując układ równań liniowych postaci (5) J(Xk-1)·Hk-1=- F(Xk-1) obliczyć kolejne przybliżenia wektora rozwiązań ze wzoru (6) Xk = Xk-1 + Hk-1 jeżeli || Hk-1 || ≤ ε, to ostatni wyliczony wektor Xk jest szukanym rozwiązaniem, w przeciwnym przypadku k=k+1 i wykonujemy kroki 1-5. Barbara Szyszka

Barbara Szyszka Zadania: RN Układy Zadania: Równanie Keplera (orbity planet): x=a+b*sin(x), dla różnych parametrów a i b, np. a=0 i b=4 dyfrakcja światła: x = tan(x), trzy pierwiastki w okolicy 0, ex = sin(x), pierwiastek najbliższy 0, wielomian Wilkinsona dla dowolnego n (stosowany przy obliczaniu wartości własnych) : sprawdzić, jakość otrzymanych wyników, gdy zaburzymy np. jeden współczynnik, np. zmieniając współczynnik przy x^9 lub przy x^2 np. o eps=10^(-3); czy rozwiązanie zmienia się w istotny sposób? Barbara Szyszka Barbara Szyszka

Barbara Szyszka Zadania: Rozwiązać układy równań: 2. 3. 4. RN Układy 2. 3. 4. Barbara Szyszka Barbara Szyszka

metoda stycznych (Newtona) – interpretacja graficzna RN Układy metoda stycznych (Newtona) – interpretacja graficzna Barbara Szyszka

metoda stycznych (Newtona) – interpretacja graficzna RN Układy metoda stycznych (Newtona) – interpretacja graficzna Barbara Szyszka

metoda stycznych (Newtona) – interpretacja graficzna RN Układy metoda stycznych (Newtona) – interpretacja graficzna Barbara Szyszka

metoda stycznych (Newtona) – interpretacja graficzna RN Układy metoda stycznych (Newtona) – interpretacja graficzna Barbara Szyszka

metoda stycznych (Newtona) – interpretacja graficzna RN Układy metoda stycznych (Newtona) – interpretacja graficzna Barbara Szyszka

metoda stycznych (Newtona) – interpretacja graficzna RN Układy metoda stycznych (Newtona) – interpretacja graficzna Barbara Szyszka