2014 Kierunek ELEKTROTECHNIKA Obwody elektryczne 2014 Kierunek ELEKTROTECHNIKA

Kontakt: Dr inż. Marek Ossowski marek.ossowski@p.lodz.pl Zakład Ukaładów i Sysytemów Nieliniowych Instytut Systemów Inżynierii Elektrycznej Al.Politechniki 11 pok.14 Ip (C3) Tel.(42) 6312515 Tel 501673231  tylko w sprawach niezwykle ważnych!!!! OE1 2014

Program wykładów Obwody elektryczne -wstęp Podstawy topologii Prawa Kirchhoffa Twierdzenie Tellegena Elementy obwodów Oporniki liniowe Łączenie oporników Rezystywność i konduktywność Oporniki nieliniowe Charakterystyki wypadkowe połączeń Źródła niezależne idealne i rzeczywiste Źródła sterowane OE1 2014

Program wykładów (cd) Obliczanie prostych obwodów DC Obwody równoważne Metoda praw Kirchhoffa Zasada superozycji Twierdzenie Thevenina-Nortona Metoda potencjałów węzłowych Zasada wzajemności Twierdzenie o kompensacji Podstawowe pojęcia dotyczące analizy AC (prądy sinusoidalnie zmienne) OE1 2014

Teoria Obwodów cz.I – M.Tadeusiewicz Literatura Teoria Obwodów cz.I – M.Tadeusiewicz Teoria Obwodów. Zadania – praca zbiorowa po redakcją M.Tadeusiewicza OE1 2014

Zaliczenie przedmiotu Obecność na wszystkich zajęciach Zaliczenie dwóch sprawdzianów pisemnych przewidzianych terminach (7 i 12 tydzień zajęć) Forma sprawdzianu pisemnego: Krótkie pytania (możliwość testu) Pytania problemowe Proste zadania obliczeniowe OE1 2014

POJĘCIA PODSTAWOWE Urządzenie elektryczne = obiekt fizyczny taki jak tranzystor, wzmacniacz operacyjny Obwód elektryczny  połączone przewodami urządzenia elektryczne Urządzenia elektryczne reprezentowane są przez modele składające się z podstawowych elementów obwodów (oporników, źródeł, kondensatorów, cewek) Modele  przybliżony opis fizycznych urządzeń To samo urządzenie może mieć różne modele OE1 2014

Kierunki odniesienia: Rozpatrywane są napięcia między węzłami i prądy płynące w gałęziach łączących węzły. Zwyczajowo przyjmuje się za dodatni kierunek przepływu ładunków dodatnich (napięcie od + do -) Ze względu na możliwe zmiany w czasie kierunku ruchu ładunków trudno określić aktualny kierunek prądu i zwrot napięcia przyjmuje się pewne kierunki odniesienia, które wraz z wartością (za znakiem) są jednoznaczną informacją o prądzie i napięciu OE1 2014

Kierunki odniesienia (interpretacja) OE1 2014

OBWÓD PRZYKŁADOWY OE1 2014

POJĘCIA PODSTAWOWE (cd) WĘZEŁ  miejsce połączenia końcówek elementów oznaczane na schematach kropką. GAŁĄŹ  odcinek obwodu między węzłami (zawiera zwykle jeden element lub urządzenie wraz z przewodami) ŚCIEŻKA  ciąg gałęzi: rozpoczyna się w jednym węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i kończy się w węźle końcowym PĘTLA  zamknięty ciąg gałęzi: rozpoczyna się w jednym węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i kończy się w tym samym węźle początkowym (inaczej: ścieżka o wspólnym początku i końcu) OE1 2014

POJĘCIA PODSTAWOWE (cd) GRAF  graficzne odwzorowanie obwodu zawierające jedynie informację o lokalizacji elementów i ich połączeniach otrzymujemy go przez zastąpienie wszystkich elementów obwodu gałęziami GRAF ZORIENTOWANY graf zawierający dodatkowo informację o kierunku odniesienia sygnałów gałęziowych (może być zorientowany prądowo, napięciowo lub w sposób uniwersalny) OE1 2014

Tworzenie grafu 1 2 1 2 1 2 Element obwodu między węzłami 1 i 2 1-sza gałąź grafu niezorientowanego między węzłami 1 i 2 1 2 1-sza gałąź grafu zorientowanego między węzłami 1 i 2 OE1 2014

OBWÓD - GRAF - GRAF ZORIENTOWANY OE1 2014

OBWÓD - GRAF - GRAF ZORIENTOWANY OBWÓD - GRAF ZORIENTOWANY OE1 2014

kolejne gałęzie mają wspólny węzeł, DROGA Drogą między węzłami j i k nazywamy zbiór gałęzi grafu utworzony w ten sposób, że kolejne gałęzie mają wspólny węzeł, w żadnym węźle nie łączą się więcej niż dwie gałęzie zbioru, z węzłem j oraz z węzłem k łączy się dokładnie jedna gałąź zbioru. OE1 2014

Przykład 1 drogi między węzłami 1 i 2 Zbiór gałęzi e-f-g-c-d spełnia warunki definicji drogi OE1 2014

Przykład 2 drogi między węzłami 1 i 2 Zbiór gałęzi e-f-g-c-h-i-j nie spełnia warunku (2) definicji drogi OE1 2014

Przykład 3 drogi między węzłami 1 i 2 Zbiór gałęzi e-g-c-d nie spełnia warunku (1) definicji drogi OE1 2014

Pętlą grafu nazywamy podgraf grafu spełniający następujące warunki Pętla Pętlą grafu nazywamy podgraf grafu spełniający następujące warunki podgraf jest spójny, w każdym węźle podgrafu łączą się dwie i tylko dwie gałęzie. OE1 2014

Zbiór gałęzi e-f-g-c-d-a spełnia warunki definicji pętli Przykład 1 pętla Zbiór gałęzi e-f-g-c-d-a spełnia warunki definicji pętli OE1 2014

Zbiór gałęzi e-j-a-g-c-h nie spełnia warunku 1 definicji pętli Przykład 2 nie-pętla Zbiór gałęzi e-j-a-g-c-h nie spełnia warunku 1 definicji pętli OE1 2014

Zbiór gałęzi e-i-f-j-a nie spełnia warunku 2 definicji pętli Przykład 3 nie-pętla Zbiór gałęzi e-i-f-j-a nie spełnia warunku 2 definicji pętli OE1 2014

Pozostałe gałęzie grafu tworzą przeciwdrzewo (DOPEŁNIENIE) Drzewem grafu spójnego nazywamy spójny podgraf obejmujący wszystkie węzły i nie zawierający żadnej pętli. Pozostałe gałęzie grafu tworzą przeciwdrzewo (DOPEŁNIENIE) OE1 2014

Zbiór gałęzi e-f-g-c-d spełnia warunki definicji drzewa Przykład 1 DRZEWO Zbiór gałęzi e-f-g-c-d spełnia warunki definicji drzewa OE1 2014

Zbiór gałęzi e-f-g-h-j spełnia warunki definicji drzewa Przykład 2 DRZEWO Zbiór gałęzi e-f-g-h-j spełnia warunki definicji drzewa OE1 2014

Drzewo grafu spójnego o  węzłach i b gałęziach zawiera  - 1 gałęzi. Twierdzenie Drzewo grafu spójnego o  węzłach i b gałęziach zawiera  - 1 gałęzi. Dowód (indukcyjny): Dla n=2, b=1 (n= ) twierdzenie prawdziwe OE1 2014

Cd. Dowód (indukcyjny)cz.2: Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla grafu n-węzłowego. Rozpatrzmy graf o n+1 węzłach, utwórzmy drzewo i wyodrębnijmy ten węzeł, w którym zbiega się tylko jedna gałąź drzewa. Graf o n węzłach OE1 2014

Drzewo rozpatrywanego grafu skład się zatem n węzłach Drzewo rozpatrywanego grafu skład się zatem z drzewa grafu n-węzłowego oraz gałęzi dk. Uwzględniając założenie indukcyjne otrzymamy: (n-1)+1=n WNIOSEK: Dopełnienie grafu spójnego  węzłach i b gałęziach zawiera b -  + 1 gałęzi. OE1 2014

Przekrojem grafu spójnego nazywamy zbiór PRZEKRÓJ Przekrojem grafu spójnego nazywamy zbiór gałęzi spełniający następujące warunki (1) usunięcie wszystkich gałęzi przekroju bez węzłów końcowych powoduje podział grafu na dwa podgrafy (2) usunięcie wszystkich gałęzi przekroju poza jedną nie narusza spójności grafu. OE1 2014

Zbiór gałęzi b-f-i-d spełnia warunki definicji przekroju Przykład 1 przekrój Zbiór gałęzi b-f-i-d spełnia warunki definicji przekroju OE1 2014

Przykład 2 nie- przekrój Zbiór gałęzi b-f-i-d-j nie spełnia warunków (2) definicji przekroju OE1 2014

PRZEKRÓJ FUNDAMENTALNY Przekrojem grafu spójnego nazywamy fundamentalnym jeżeli jest utworzony z dokładnie jednej gałęzi drzewa i gałęzi dopełnienia. Jest ich w grafie  - 1 OE1 2014

(1) eab (2) fbija (3) gbhja (4) chja (5) dja DRZEWO grafu i przekroje fundamentalne Przekroje fundamentalne dla drzewa e-f-g-c-d (1) eab (2) fbija (3) gbhja (4) chja (5) dja OE1 2014

Pętla FUNDAMENTALNA Pętlę nazywamy fundamentalną jeżeli jest utworzona z dokładnie jednej gałęzi dopełnienia i gałęzi drzewa. Jest ich w grafie b -  + 1 OE1 2014

(1) aefgcd (2) bgfe (3) hcg (4) if (5) jfgcd DRZEWO grafu i pętle fundamentalne Pętle fundamentalne dla drzewa e-f-g-c-d (1) aefgcd (2) bgfe (3) hcg (4) if (5) jfgcd OE1 2014

Twierdzenia dotyczące PRAW KIRCHHOFFA (1) Maksymalna liczba równań liniowo niezależnych otrzymanych z PPK wynosi  -1. Równania te można napisać stosując PPK do  -1 fundamentalnych przekrojów. (2) Maksymalna liczba równań liniowo niezależnych otrzymanych z NPK wynosi b -  +1 . Równania te można napisać stosując PPK do b -  +1 fundamentalnych pętli. OE1 2014

DEFINICJA GRAFU PLANARNEGO: Graf planarny to taki graf, który może być narysowany na płaszczyźnie tak aby gałęzie przecinały się tylko w węzłach. DEFINICJA OCZKA: Oczkiem grafu planarnego nazywamy pętlę nie zawierająca wewnątrz żadnych gałęzi. TWIERDZENIE Graf planarny zawiera b -  +1 oczek. Równania NPK napisane dla b -  +1 są liniowo niezależne. OE1 2014

Napięciowe Prawo Kirchhoffa (NPK) Dla dowolnego obwodu elektrycznego w dowolnej chwili algebraiczna suma napięć gałęziowych wzdłuż dowolnej pętli wynosi zero Liczba gałęzi i-tej pętli OE1 2014

OBWÓD PRZYKŁADOWY OE1 2014

Prądowe Prawo Kirchhoffa (PPK) Dla dowolnego obwodu elektrycznego w dowolnej chwili algebraiczna suma prądów w dowolnym węźle wynosi zero Liczba gałęzi zbiegających się w i-tym węźle OE1 2014

OBWÓD PRZYKŁADOWY OE1 2014

Prądowe Prawo Kirchhoffa (ogólniej) Dla dowolnego obwodu elektrycznego w dowolnej chwili algebraiczna suma prądów przenikających dowolną gaussowską powierzchnię zamkniętą wynosi zero. Liczba gałęzi przecinających powierzchnię zamkniętą Si OE1 2014

PRZYKŁAD: OE1 2014

Zasady pisania równań Kirchhoffa Dla obwodu o n węzłach i b gałęziach można napisać: n-1 liniowo niezależnych równań z PPK (dla n-1 dowolnie wybranych węzłów) b-n+1 liniowo niezależnych równań z NPK (dla b-n+1 odpowiednio wybranych pętli) Ogólna liczba liniowo niezależnych równań jakie można napisać dla obwodu o n węzłach i b gałęziach wynosi: OE1 2014

Twierdzenie Tellegena OE1 2014

OE1 2014

STOSUJEMY DO KAŻDEGO SKŁADNIKA SUMY POGRUPUJEMY SKŁADNIKI ZAWIERAJĄCE K-TE POTENCJAŁY OE1 2014

PONIEWAŻ WSZYSTKIE PRĄDY WYSTĘPUJĄCE Liczba gałęzi w k-tym węźle PONIEWAŻ WSZYSTKIE PRĄDY WYSTĘPUJĄCE W SUMIE DLA K-TEGO WĘZŁA WYPŁYWAJĄ Z NIEGO, NA PODSTAWIE PPK: CZYLI: OE1 2014

SUMA MOCY CHWILOWYCH WSZYSTKICH GAŁĘZI OBWODU JEST RÓWNA ZERU. WNIOSEK 1 SUMA MOCY CHWILOWYCH WSZYSTKICH GAŁĘZI OBWODU JEST RÓWNA ZERU. WNIOSEK 2 NAPIĘCIA uk ORAZ PRĄDY ik NIE MUSZĄ DOTYCZYĆ TEGO SAMEGO OBWODU, A JEDYNIE OBWODÓW O TEJ SAMEJ TOPOLOGII, tzn. POSIADAJĄCYCH TEN SAM GRAF. OE1 2014

Ilustracja twierdzenia Tellegena WNIOSEK 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 OE1 2014

Ilustracja twierdzenia Tellegena WNIOSEK 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 OE1 2014

Elementy obwodów Oporniki liniowe nieliniowe Źródła niezależne napięciowe prądowe Źródła sterowane (zależne) OE1 2014

Uwaga: Wartości chwilowe wielkości obwodowych, np.prądów i napięć (funkcje czasu) oznaczamy zawsze małymi literami np. u(t), i(t), p(t), w(t) OE1 2014

Jednostki Stosujemy jednostki podstawowe układu SI: Jednostka napięcia Jednostka natężenia prądu: Jednostka oporu (rezystancji): Jednostka mocy: Jednostka energii: OE1 2014

Będziemy rozważać elementy SLS: skupione (S) liniowe (L) stacjonarne (S) OE1 2014

Moc i energia i u Moc chwilowa Energia Związek między mocą i energią: OE1 2014

Opornik liniowy Równania Symbole Jednostki Charakterystyka prądowo-napięciowa OE1 2014

Opornik liniowy Obliczanie rezystancji Długość przewodu konduktywność  przewodność rezystywność  oporność właściwa pole powierzchni poprzecznej przewodu OE1 2014

Rezystywność i konduktywność przewodników Materiał Rezstywność  Konduktywność  m mm2/m S/m m/(mm2) SREBRO 1.6210-8 0.0162 62.5106 62.5 MIEDŹ 1.7510-8 0.0175 57 106 57 ALUMINIUM 2.8310-8 0.0283 35.3 106 35.3 CYNA 1210-8 0.12 8.33 106 8.33 PLATYNA 11.1 10-8 0.111 9 106 9 MANGANIN 44 10-8 0.44 2.3 106 2.3 KONSTANTAN 48 10-8 0.48 2.1 106 2.1 CHROMONIKIELINA 110 10-8 1.1 0.91 106 0.91 CYNK 6.3 10-8 0.63 15.9 106 15.9 OE1 2014

Parametry rezystorów Rezystancja znamionowa  wskaźnik wartości rezystancji. Podawana z największym dopuszczalnym odchyleniem rezystancji rzeczywistej od rezystancji znamionowej. (Dopuszczalne odchyłki zawarte w przedziale 0,1 – 20 %) Moc znamionowa  największa dopuszczalna moc możliwa do wydzielenia w rezystorze. Moc ta jest zależna od powierzchni rezystora, sposobu odprowadzenia ciepła, maksymalnej dopuszczalnej temperatury pracy i temperatury otoczenia. Napięcie znamionowe  największe dopuszczalnym napięciem, które może być przyłożone do rezystora bez zmiany jego właściwości (bez jego uszkodzenia). Typowe wartości znamionowe: od kilkudziesięciu do kilkuset woltów. OE1 2014

Rodzaje rezystorów OE1 2014

Rezystory (cd) Drutowe: z przewodu cylindrycznego lub taśmowego nawiniętego na korpusie ceramicznym Warstwowe: elementem oporowym jest cienka warstwa przewodząca (węglowa lub metalowa) nałożona na nieprzewodzącą część konstrukcyjną Objętościowe (masowe): przewodzą prąd całym przekrojem. OE1 2014

Przykład: 4K74700 (węglowy) Pasek 1, pole # Pasek 2, pole # Pasek 4, tolerancja w % Pasek 3, mnożnik (ile zer?) PASEK 1: żółty  4..............4 PASEK 2: fiolet 7...............7 PASEK 3: czerwony 2.......00 PASEK 4: złoty 5%(tol.) 4700  OE1 2014

Przykład kodu wartości 1-szy pasek: pomarańczowy = 3 2-gi pasek: pomarańczowy = 3 3-i pasek: czerwony = 2 ( 102) 4-ty pasek: czerwony = 2% 33 x 102 = 3300 = 3.3 k OE1 2014

Oporniki nieliniowe: rezystancja statyczna Proporcjonalna do tangensa nachylenia siecznej w danym punkcie OE1 2014

Oporniki nieliniowe: rezystancja dynamiczna Proporcjonalna do tangensa nachylenia stycznej w danym punkcie OE1 2014

Oporniki nieliniowe uzależnione napięciowo i prądowo Opornik, dla którego u jest jednoznaczną funkcją prądu i dla i(-;+ ) nazywamy uzależnionym prądowo. Opornik, dla którego i jest jednoznaczną funkcją napięcia u dla u(-;+ ) nazywamy uzależnionym napięciowo. termistor Dioda tunelowa OE1 2014

Oporniki nieliniowe nieuzależnione Opornik, dla którego u jest jednoznaczną funkcją prądu i dla i(-;+ ) oraz dla i jest jednoznaczną funkcją napięcia u dla u(-;+ ) nazywamy nieuzależnionym. Żarówka z włóknem wolframowym OE1 2014

Charakterystyki elementów nieliniowych: OE1 2014

L Cewka i u i indukcyjność Strumień magnetyczny przenikający przez uzwojenie jest proporcjonalny do prądu gdy charakterystyka strumieniowo-prądowa cewki liniowej jest linią prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych. i OE1 2014

L - indukcyjność cewki Dla cewki, która ma z zwojów wprowadzamy pojęcie „strumień skojarzony” z uzwojeniem: OE1 2014

Kondensator i u C q u pojemność Ładunek elektryczny na okładkach kondensatora jest proporcjonalny do napięcia gdy q charakterystyka napięciowo-ładunkowa kondensatora liniowego jest linią prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych. u OE1 2014

C - pojemność kondensatora OE1 2014

Elementy pasywne i aktywne obwodów Element pasywny pobiera energię Element aktywny dostarcza ją do obwodu pasywny aktywny OE1 2014

Źródła napięciowe Źródłem napięciowym jest dwukońcówkowy element posiadający na swoich zaciskach zadane napięcie uz(t) niezależne od wartości prądu płynącego przez źródło. Symbole: OE1 2014

Źródła napięciowe (idealne): charakterystyki OE1 2014

Rzeczywiste źródło napięciowe Symbole: OE1 2014

Stany pracy źródła napięciowego Obciążenie: obciążenie OE1 2014

Charakterystyka napięciowo-prądowa źródła napięciowego (rzeczywistego) Stan jałowy Stan zwarcia OE1 2014

Stany pracy źródła napięciowego (cd) Stan jałowy(rozwarcie) Zwarcie OE1 2014

Dopasowanie odbiornika do źródła Prąd w obwodzie: Moc odbiornika: OE1 2014

Dopasowanie odbiornika do źródła (cd) Warunek dopasowania odbiornika do źródła OE1 2014

Przykładowy wykres mocy odbiornika: OE1 2014

Sprawność ukladu odbiornikźródło 0.5 dopasowanie OE1 2014

Źródła prądowe Źródłem prądowym jest dwukońcówkowy element przez którego zaciski płynie zadany prąd iz(t) niezależnie od wartości napięcia panującego na jego zaciskach. Symbole: oznaczenia DC: OE1 2014

Źródła prądowe (idealne): charakterystyki OE1 2014

Rzeczywiste źródło prądu (model praktyczny) OE1 2014

Rzeczywiste źródło prądu (stan zwarcia) OE1 2014

Rzeczywiste źródło prądu (obciążenie) OE1 2014

Charakterystyka u-i źródła prądowego Stan zwarcia Stan jałowy OE1 2014

Źródła zależne (sterowane) Źródło napięcia sterowane prądem Prąd sterujący Model czwórnikowy Przypadek liniowy OE1 2014

Źródła zależne (sterowane) Źródło napięcia sterowane napięciem napięcie sterujące Model czwórnikowy Przypadek liniowy OE1 2014

Źródła zależne (sterowane) Źródło prądu sterowane prądem Prąd sterujący Model czwórnikowy Przypadek liniowy OE1 2014

Źródła zależne (sterowane) Źródło prądu sterowane napięciem napięcie sterujące Model czwórnikowy Przypadek liniowy OE1 2014

Wzmacniacz operacyjny OE1 2014

Wzmacniacz operacyjny OE1 2014

OE1 2014

OE1 2014

Przykład 1 OE1 2014

Układy równoważne (definicja) OE1 2014

Układy P i Q nazywamy równoważnymi, jeżeli ich opis matematyczny jest taki sam. Opis obwodu P Opis obwodu Q OE1 2014

Przykład 1 OE1 2014

Przykład 2 (gwiazda) 1 2 3 OE1 2014

Przykład 2 (trójkąt) 1 2 3 OE1 2014

trójkąt  gwiazda Porównując równania opisujące oba układy otrzymuje się zależności: OE1 2014

Gwiazda trójkąt Podobnie, rozwiązując poprzednie zależności względem R12,R23,R31 otrzymamy: OE1 2014

Obliczanie prostych obwodów Połączenie szeregowe oporników liniowych Połączenie szeregowe elementów nieliniowych (charakterystyka wypadkowa) Połączenie równoległe oporników liniowych. Połączenie równoległe oporników nieliniowych (charakterystyka wypadkowa) Dzielnik prądu Dzielnik napięcia; układy z potencjometrem Układanie i rozwiązywanie równań napisanych na podstawie PPK i NPK OE1 2014

Połączenie szeregowe oporników liniowych OE1 2014

Połączenie szeregowe oporników nieliniowych Zadanie: znając charakterystyki napięciowo-prądowe obu oporników nieliniowych wyznaczyć wypadkową charakterystykę połączenia szeregowego tych elementów. OE1 2014

Charakterystyki u-i oporników 5 1 -4 3 -1 OE1 2014

Dodawanie napięć (punkt i=-1) 5 1 -5 -4 3 Dla i=-1 -1 OE1 2014

Dodawanie napięć (punkt i=1 oraz i=2) 5 2 1 3 -1 OE1 2014

Charakterystyka wypadkowa 5 2 1 3 -1 3 OE1 2014

Podsumowanie Aby wyznaczyć wypadkową charakterystykę elementów nieliniowych połączonych szeregowo należy dla wszystkich (lub wybranych z określoną dokładnością) wartości prądu dodać wartości napięć elementów składowych. W przypadku układów odcinkowo-liniowych operację wystarczy przeprowadzić jedynie dla wszystkich punktów załamania charakterystyk (+dodatkowo dla dwóch punktów wybranych z segmentów zewnętrznych) OE1 2014

Połączenie równoległe oporników liniowych OE1 2014

Połączenie równoległe oporników nieliniowych Zadanie: znając charakterystyki napięciowo-prądowe obu oporników nieliniowych wyznaczyć wypadkową charakterystykę połączenia równoległego tych elementów. OE1 2014

Połączenie równoległe oporników nieliniowych: OE1 2014

Podsumowanie Aby wyznaczyć wypadkową charakterystykę elementów nieliniowych połączonych równolegle należy dla wszystkich (lub wybranych z określoną dokładnością) wartości napięcia dodać wartości prądów elementów składowych. W przypadku układów odcinkowo-liniowych operację wystarczy przeprowadzić jedynie dla wszystkich punktów załamania charakterystyk (+dodatkowo dla dwóch punktów wybranych z segmentów zewnętrznych) OE1 2014

Dzielnik prądu Wyznaczyć prądy połączonych równolegle oporników jeśli znamy ich wartości oraz prąd dopływający do połączenia: OE1 2014

Dzielnik napięcia OE1 2014

Potencjometr 1 2 3 R 1 2 3 R OE1 2014

1 2 3 R OE1 2014

OE1 2014

Rozwiązywanie układów rozgałęzionych: algorytm pisania równań PPK i NPK Liczba węzłów: n=5 Liczba gałęzi: b=8 Niewiadome: OE1 2014

Jak ułożyć komplet równań liniowo niezależnych ? Ustalamy zmienne obwodowe: prądy gałęziowe (elementów rezystancyjnych i źródeł napięciowych) oraz napięcia idealnych źródeł prądowych Piszemy równania PPK dla n-1 spośród n węzłów obwodu Piszemy równania NPK dla b-n+1 pętli obwodu: Piszemy równanie dla dowolnej (pierwszej) pętli Piszemy równania dla kolejnych (nowych) pętli w taki sposób aby nowa pętla zawierała co najmniej jedną zmienną dotychczas niewykorzystaną Powtarzamy ten etap tak aby liczba równań wynosiła maksymalnie b-n+1 UWAGA: można napisać b-n+1 równań liniowo niezależnych dla oczek (pętli nie zawierających żadnych gałęzi wewnętrznych) OE1 2014

n-1 (4) równań na podstawie PPK: 2 4 3 OE1 2014

Równania napięciowe, pierwsza pętla: 1 OE1 2014

Równania napięciowe, druga pętla: Nowe gałęzie: 3,5 2 OE1 2014

Równania napięciowe, pętla trzecia: Nowe gałęzie: 6,8 3 OE1 2014

Równania napięciowe, pętla czwarta i ostatnia: Nowa gałąź: 7 4 OE1 2014

Przykład prostego obwodu z rozwiązaniem Oblicz prądy gałęziowe w układzie z powyższego rysunku. Przyjmując, że opornik R2 jest jedynym odbiornikiem, wyznacz sprawność układu. Potwierdź słuszność twierdzenia Tellegena. OE1 2014

1 2 3 OE1 2014

+ + OE1 2014

OE1 2014

Weryfikacja Twierdzenia Tellegena OE1 2014

Zasada superpozycji Odpowiedź układu liniowego na sumę wymuszeń działających jednocześnie jest równa algebraicznej sumie odpowiedzi układu na poszczególne wymuszenia działające osobno. Zasada ta stanowi, że odpowiedź obwodu liniowego (tzn. prąd, napięcie) na wszystkie niezależne źródła działające jednocześnie w obwodzie, jest równa sumie odpowiedzi na poszczególne źródła działające osobno (tzn. przy przyrównaniu pozostałych do zera). OE1 2014

Usunięcie źródła prądowego oznacza pozostawienie jego rezystancji wewnętrznej równej  czyli rozwarciu jego zacisków: OE1 2014

Usunięcie źródła napięciowego oznacza pozostawienie jego rezystancji wewnętrznej równej 0 czyli zwarciu jego zacisków: OE1 2014

Przykład 1 (ogólny) OE1 2014

i = i’ + i” OE1 2014

OE1 2014

Thev OE1 2014

Zastępownie gałęzi źródłem napięcia lub prądu

Obwód z wyodrębnioną k-tą gałęzią OE1 2014

OE1 2014

Jeśli e = uk uAC = 0 Gałąź obwodu, na której występuje napięcie uk można zastąpić idealnym źródłem napięcia o napięciu źródłowym e = uk OE1 2014

Dla wyodrębnionej gałęzi z prądem ik: OE1 2014

Gałąź obwodu, wiodącą prąd ik można zastąpić idealnym źródłem prądu Jeśli j = ik ik-j+j  j Gałąź obwodu, wiodącą prąd ik można zastąpić idealnym źródłem prądu j = ik OE1 2014

Włączanie i przenoszenie źródeł Twierdzenie o włączaniu dodatkowych źródeł

Jeżeli we wszystkich gałęziach zbiegających się w dowolnym węźle umieścimy źródła napięcia o tym samym napięciu źródłowym i takiej orientacji względem węzła to rozpływ prądów w układzie nie ulegnie zmianie. NPK nie ulega zmianie!!! OE1 2014

Jeżeli w dowolnej pętli obwodu, równolegle do każdej gałęzi, włączymy między kolejne węzły źródła prądu o jednakowym zwrocie względem obiegu pętli i jednakowych wartościach to rozkład napięć w układzie nie ulegnie zmianie. OE1 2014

Przenoszenie źródeł (1) OE1 2014

Przenoszenie źródeł (2) OE1 2014

OE1 2014

Twierdzenie o kompensacji

Rozpatrujemy obwód liniowy: OE1 2014

OE1 2014

Po zastosowaniu twierdzenia o zastępowaniu gałęzi źródłem napięciowym: OE1 2014

Z SUPERPOZYCJI OE1 2014

PONIEWAŻ OE1 2014

Twierdzenie Thevenina-Nortona

L M OE1 2014

OE1 2014

Wyznaczanie parametrów iZ, GZ Niech u=0, wówczas i=-iZ OE1 2014

Rozpatrując stan obwodu, w którym działa jedynie źródło u, (tzn. ek=0 dla k=1...L, oraz jk=0 dla k=1...M) OE1 2014

OE1 2014

L M OE1 2014

OE1 2014

Wyznaczanie parametrów uZ, RZ Niech i=0, wówczas u=uZ OE1 2014

Rozpatrując stan obwodu, w którym działa jedynie źródło i, (tzn. ek=0 dla k=1...L, oraz jk=0 dla k=1...M) OE1 2014

Pomiarowe wyznaczanie parametrów źródeł zastępczych Jeśli można pomierzyć napięcie uAB na zaciskach A-B oraz prąd zwarcia iZ=iAB płynący między zwartymi zaciskami A-B badanego układu to: OE1 2014

OE1 2014

Podsumowanie : zastępczy dwójnik Nortona Kady liniowy dwójnik aktywny można przedstawić względem wybranej pary zacisków A-B w postaci zastępczego równoległego połączenia idealnego źródła prądu iZ i opornika RZ (GZ). Prąd zastępczego źródła jest równy prądowi jaki popłynie między zwartymi zaciskami A-B rozpatrywanego obwodu Rezystancja Rz (konduktancja GZ) jest równa rezystancji (konduktancji) rozpatrywanego obwodu widzianej względem wybranej pary zacisków A,B po przyrównaniu do zera wszystkich wymuszeń (zwarciu źródeł napięciowych, rozwarciu źródeł prądowych) OE1 2014

Podsumowanie : zastępczy dwójnik Thevenina Każdy liniowy dwójnik aktywny można przedstawić względem wybranej pary zacisków A-B w postaci zastępczego szeregowego połączenia idealnego źródła napięcia uZ i opornika RZ (GZ). Napięcie zastępczego źródła jest równe napięciu uAB jakie panuje między rozwartymi zaciskami A-B rozpatrywanego obwodu Rezystancja Rz (konduktancja GZ) jest równa rezystancji (konduktancji) rozpatrywanego obwodu widzianej względem wybranej pary zacisków A,B po przyrównaniu do zera wszystkich wymuszeń (zwarciu źródeł napięciowych, rozwarciu źródeł prądowych) OE1 2014

Metoda potencjałów węzłowych

Przykład 1 v1 v3 v2 OE1 2014

Równania prądowe v1 v3 v2 OE1 2014

Zależności gałęziowe v1 v3 v2 OE1 2014

Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych  równanie 1 OE1 2014

Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych  równanie 2 OE1 2014

Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych  równanie 3 OE1 2014

Końcowy układ równań v1 v3 v2 OE1 2014

Przykład 2 v2 v1 v3 OE1 2014

Przykład 2 Równania OE1 2014

Przykład 2 równania końcowe spr. v3 v2 v1 OE1 2014

Przykład 2 Równania uproszczone OE1 2014

Przykład 3 v2 v1 v3 OE1 2014

Przykład 3 Równania OE1 2014

Przykład 3 Równania pododaniu 1 i 3 + OE1 2014

Opis algorytmu Wybieramy (dowolnie) jeden z a węzłów jako węzeł odniesienia NIEWIADOME: Potencjały (a-1) węzłów niezależnych oraz prądy wszystkich idealnych źródeł napięciowych. Układamy dla (a-1) węzłów (oprócz węzła odniesienia!) równania na podstawie PPK. Prądy w gałęziach zawierających oporniki oraz napięcia sterujące i prądy sterujące (z gałęzi konduktancyjnych) uzależniamy od napięć węzłowych. Wstawiamy je do równań PPK z p.2 Komplet równań uzupełniamy poprzez uzależnienie od napięć węzłowych napięć źródeł niezależnych i sterowanych napięciowych OE1 2014

OE1 2014

OE1 2014

Przykład 4 u3 1 2 3 4 5 OE1 2014

Zasada wzajemności

OE1 2014

TWIERDZENIE O WZAJEMNOŚCI OCZKOWE OE1 2014

Twierdzenie o wzajemności węzłowe OE1 2014

Twierdzenie o wzajemności hybrydowe OE1 2014

OE1 2014

Dowód DLA KAŻDEJ k-tej GAŁĘZI ZACHODZI: Czyli: Skąd: OE1 2014

Uzasadnienie twierdzenia o wzajemności oczkowego OE1 2014

Uzasadnienie twierdzenia o wzajemności węzłowego OE1 2014

Twierdzenie o wzajemności hybrydowe - dowód OE1 2014