B R Y Ł Y

SPIS TREŚCI *GRANIASTOSŁUP *OSTROSŁUP* *PROSTOPADŁOŚCIAN* *SZEŚCIAN* *BRYŁY OBROTOWE*: -walec -stożek -beczka -kula -torus -elipsoida *CIEKAWOSTKI*

*GRANIASTOSŁUP*                                                                   Graniastosłup to wielościan, którego wszystkie wierzchołki są położone na dwóch równoległych płaszczyznach, zwanych podstawami graniastosłupa i którego wszystkie krawędzie leżące poza tymi podstawami są do siebie równoległe. Wysokość graniastosłupa to odległość między jego podstawami. Graniastosłup prosty to graniastosłup o prostokątnych ścianach bocznych. W przeciwnym wypadku jest to tzw. graniastosłup pochyły. Objętość graniastosłupa prostego dana jest wzorem V=Sh, gdzie S to powierzchnia podstawy a h to wysokość graniastosłupa. Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty o podstawach będących wielokątami foremnymi. Graniastosłupy prawidłowe tworzą obok antygraniastosłupów jedną z dwóch nieskończonych serii wielościanów półforemnych. Graniastosłup archimedesowy to graniastosłup o krawędzi podstawy tej samej długości co wysokość. Taki graniastosłup jest wielościanem półforemnym czyli archimedesowym OBJĘTOŚĆ I POLE : V=Pp•H Pc=Pp+Pb                                                                               

*OSTROSŁUP* Ostrosłup - bryła geometryczna w postaci wielościanu, którego wszystkie ściany prócz podstawy zbiegają się w jednym punkcie zwanym wierzchołkiem (czyli są trójkątami o wspólnym wierzchołku). Wysokość ostrosłupa to odległość od wierzchołka do płaszczyzny podstawy. Ostrosłup foremny, ostrosłup prawidłowy posiada podstawę w postaci wielokąta foremnego, a jego wierzchołek znajduje się na prostej prostopadłej do podstawy i przechodzącej przez środek podstawy (dokładniej: prosta ta przechodzi przez środek okręgu opisanego na podstawie). Ściany ostrosłupa foremnego są trójkątami równoramiennymi). Ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego podstawą jest kwadrat, bywa czasem nazywany piramidą (taki bowiem kształt miały piramidy egipskie). Ostrosłup ścięty jest częścią ostrosłupa zawartą pomiędzy podstawą a płaszczyzną przecinającą ten ostrosłup równolegle do podstawy. Objętość ostrostosłupa dana jest wzorem: V = 1 / 3 * h * S   albo                                , gdzie h to wysokość ostrosłupa a S to pole powierzchni jego podstawy.

*PROSTOPADŁOŚCIAN* Prostopadłościan to równoległościan o ścianach prostopadłych. Pole powierzchni: S = 2ab + 2bc + 2ac Objętość: V = abc

*SZEŚCIAN* Sześcian (właściwie sześcian foremny, in. heksaedr) to wielościan foremny o sześciu ścianach w kształcie identycznych kwadratów. Posiada 12 krawędzi i 8 wierzchołków. Scinając wierzchołki sześcianu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie sześcian ścięty. Na ilustracji po prawej stronie sześcian celowo został obrócony, dla pokazania, że nie musi on mieć krawędzi równoległych do osi przyjętego układu współrzędnych (częsty błąd uczących się matematyki). Całkowite pole powierzchni sześcianu o krawędzi długości a: Objętość: V = a3            .

*BRYŁY OBROTOWE* Bryłami obrotowymi nazywamy bryły, które powstają w wyniku obrotu figur płaskich wokół osi obrotu.

*WALEC* Walec jest bryłą geometryczną powstałą w wyniku obrotu prostokąta wokół jednego z jego boków. Pole powierzchni podstawy (koła) Pp = πr2 Pole powierzchni bocznej Pb = 2πrh Pole powierzchni całkowitej Pc = 2Pp + Pb = 2πr2 + 2πrh = 2πr(r + h) Objętość V = πr2h Walcami określa się również inne bryły i powierzchnie, których podstawą może być elipsa, hiperbola, lub parabola, czyli krzywe stożkowe. Mówimy wówczas odpowiednio o walcu eliptycznym, hiperbolicznym i parabolicznym, przy czym jedynie pierwszy z nich może stanowić bryłę, a pozostałe dwa to powierzchnie nieskończone.

*STOŻEK* Stożek to bryła wypukła powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych. Przyprostokątna ta tworzy wysokość (h) stożka, druga przyprostokątna staje się promieniem podstawy (r) zaś przeciwprostokątna – tworzącą stożka (l). Stożek w kartezjańskim układzie współrzędnych opisany jest np. równaniem Pole podstawy stożka Pole powierzchni bocznej stożka Pole powierzchni całkowitej stożka Objętość stożka

*BECZKA* Beczka - geometryczna bryła obrotowa powstająca przez obrót figury płaskiej ograniczonej łukiem, dwoma odcinkami jednakowej długości prostopadłymi do osi obrotu i osią obrotu, dookoła tej osi. Gdy łuk jest fragmentem paraboli:

*KULA* Pole powierzchni kuli Objętość3-wymiarowej kuli- KULA– w przestrzeni metrycznej jest zbiorem punktów oddalonych od wybranego punktu (zwanego środkiem kuli) nie bardziej niż o zadaną odległość. Objętość n - wymiarowej kuli o promieniu r:                              Pole powierzchni kuli Objętość3-wymiarowej kuli- Intuicyjnie, w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej, jest to część przestrzeni ograniczona sferą (sfera jest powierzchnią kuli). Kulę można opisać wzorem jako zbiór punktów przestrzeni euklidesowej, których współrzędne (x,y,z) spełniają nierówność:                                                                                                          gdzie (x0,y0,z0) są współrzędnymi środka kuli, a r oznacza jej promień. W przestrzeni n-wymiarowej wzór ten ma natychmiastowe uogólnienie – kula o środku w punkcie                                            i promieniu r to zbiór punktów, których współrzędne spełniają nierówność:                                                                                                                              

*T O R U S * Torus - dwuwymiarowy torus oznaczany często T2 to dwuwymiarowa powierzchnia geometryczna leżąca w przestrzeni trójwymiarowej, powstała przez obrót okręgu wokół osi (dookoła prostej) leżącej w tej samej płaszczyźnie co ten okrąg, i nie przecinającej go (czyli nie mającej z nim wspólnych punktów). Jeśli okrąg ten ma promień r, a odległość prostej od jego środka wynosi R, to pole powierzchni S torusa wynosi S = 4π2rR, a objętość V = 2π2Rr2. Równanie torusa ma postać: .

*ELIPSOIDA* Elipsoida to powierzchnia, której wszystkie przekroje płaskie są elipsami. Szczególnym przypadkiem elipsoidy jest elipsoida obrotowa, powierzchnia ograniczona powstała przez obrót elipsy wokół własnej osi symetrii. Równanie elipsoidy ma postać: Dla a=b=c elipsoida jest sferą o promieniu a. Objętość elipsoidy wyraża się wzorem:                                  Pole powieszchni:

* C I E K A W O S T K I * Bryły platońskie to inna nazwa wielościanów foremnych. Jest ich 5. Platon w swoich teoriach uwzględniał to, że świat tworzą cztery elementy: woda, ogień, ziemia i powietrze. Każdy z tych elementów był wg Platona zbudowany z wielościanów foremnych. I tak np.: czworościan to cząsteczka ognia; sześcian symbolizował ziemię; ośmiościan foremny przedstawiał cząsteczkę powietrza; dwunastościan symbolizował kosmos; dwudziestościan to „uosobienie” cząsteczki wody;

*PRZYGOTOWALI* Uczniowie klasy I a Publicznego Gimnazjum im. Jana Kochanowskiego w Rzepinie : -Anna Staniszewska -Marcin Pych -Katarzyna Sidorowicz -Paweł Sidorowicz -Katarzyna Czaplewska

* K O N I E C *