Filtr Kalmana (z ang. Kalman Filter w skrócie KF) Tematem naszej prezentacji jest filtr Kalmana, został on przedstawiony w 1960r przez Rudolfa Kalmana, opublikował on wtedy pracę w której zaprezentował metodę filtracji dynamicznej, która stała się jedną z najpopularniejszych metod estymacji statycznie optymalnej. Filtr Kalmana znalazł zastosowanie w ogromnej liczbie dziedzin techniki, do których należą m.in.: automatyka, robotyka, elektronika, teoria sterowania, przetwarzanie sygnałów, inżynieria dźwięku i obrazu, i wiele innych. Stosuje sie je także w ekonomii do prognozowania wskaźników gospodarczych. Sebastian Reimus Krzysztof Biszof

Plan prezentacji: Definicja Własności KF Równania Kalmana Algorytm filtru Rozszerzony KF Przykłady zastosowań KF

Filtr Kalmana jest zbiorem matematycznych równań, które dostarczają wydajnego rekursywnego sposobu do wyestymowania stanu procesu, w sposób który minimalizuje błąd średniokwadratowy Można go stosować do estymacji przeszłych, teraźniejszych i przyszłych stanów Filtr Kalmana jest zbiorem matematycznych równań, przy pomocy których można w sposób rekurencyjny wyestywomać stan procesu, w taki sposób aby zminimalizować błąd średniokwadratowy Można go stosować do estymacji przeszłych, teraźniejszych i przyszłych stanów Przyjmuje się założenie, że zarówno pomiar, jak i proces przetwarzania wewnątrz układu jest obarczony błędem o rozkładzie gaussowskim. Proces jest procesem liniowym dającym się zapisać w postaci układu równań rekurencyjnych. Proces obserwuje się tylko od pewnego momentu.

Własności KF KF jest optymalnym estymatorem, Filtr korzysta ze wszystkich dostępnych pomiarów, na ich podstawie dokonuje najlepszej estymacji stanu, FK jest algorytmem typu rekursywnego, Jest to algorytm przetwarzania danych. KF jest optymalnym estymatorem, gdyż przy konkretnych założeniach może on spełniać pewne kryterium np minimalizacja błędu średniokwadratowego estymowanych parametrów . Kolejna cecha, która świadczy o optymalności filtru to fakt, ze korzysta on z wszystkich dostępnych pomiarów bez względu na to, z jaka dokładnością i precyzja zostały one wykonane. Ostatecznie na ich podstawie dokonuje najlepszej estymacji stanu. FK jest algorytmem typu rekursywnego. Nie przechowuje on wszystkich danych z przeszłości i nie dokonuje on w każdym korku ich przeliczenia. Informacje są przetwarzane sukcesywnie, bazując na wartościach obliczonych w poprzednim kroku. Jest to algorytm przetwarzania danych. Znając wejście i wyjście systemu można uzyskać niedostępne (niemierzalne) wartości na podstawie dostępnych (mierzalnych) danych, np z sensorów. W teorii systemów liniowych mówimy o obserwowalności układu. Metodę nazywamy filtrem, gdyż jest on optymalnym estymatorem stanu tzn., ze uzyskamy możliwie optymalna wartość, na podstawie wielu pomiarów pochodzących z zaszumionego środowiska.

Równania Kalmana Proces do estymacji Równanie pomiaru Rozkład błędów procesu i pomiaru p(w)~N(0,Q) p(v) ~N(0,R) Xk – wartość wektora stanu w chwili k Xk-1 – wartość wektora stanu w chwili k-1 Wk - jest to szum procesu Vk – jest to szum pomiaru A – jest to macierz wiążąca poprzedni stan procesu z aktualnym , macierz układu B – jest to opcjonalna macierz wejściowa wiążąca aktualnym stanem uk-1-obserwacja w chwili k-1 C – jest to macierz wiążąca stan procesu z jego pomiarem Yk – jest to wektor pomiarowy Błąd procesu i błąd pomiaru mają rozkład normalny o wartośći średniej równej 0 i wariancji Q i R. Do opisu zarówno procesu jak i systemu pomiarowego stosuje sie powyższe modele matematyczne. Pierwsze równanie różnicowe to model procesu, który częściowo jest deterministyczny a częściowo losowy. Jest to powiązanie poprzedniego stanu z aktualnym poprzez macierz A. Macierz B to wymuszenie stanu (sterowanie), wk to tzw. szum procesu (cześć losowa). Drugie równanie to model pomiaru, gdzie H jest macierzą wiążącą pomiar ze stanem (wyjście filtru), a vk to zakłócenia. Zarówno wk jak i vk reprezentują białe szumy Gausa

Objaśnienie Wk, Vk – Zmienne losowe reprezentujące szum procesu i pomiaru Q,R – Macierze kowariancji błędów procesu i pomiaru (const.) A – Macierz wiążąca poprzedni stan procesu z aktualnym (const.) B – Opcjonalna macierz wiążąca „option controll input”z aktualnym stanem (const.) C – Macierz wiążąca stan procesu z jego pomiarem (const.)

Model obrazujący działanie filtru Kalmana Model obrazujący działanie filtru Kalmana. Okręgi to wektory, prostokąty to macierze, a gwiazdki reprezentują szum z przypisaną kowariancją w kwadracie po prawej stronie Jest to graficzne przedstawienie poprzednich wzorów

Algorytm filtru KF jest dwufazowym rekursywnym algorytmem. Pierwsza faza algorytmu nazywana jest predykcją. Równania wykonywane w trakcie tej fazy nazywane są aktualizacją czasową. Drugą fazę nazywa się korekcją, a jej równania to aktualizacja pomiarowa. Pierwsza faza algorytmu nazywana jest predykcją. Równania wykonywane w trakcie tej fazy nazywane są aktualizacją czasową. Drugą fazę nazywa się korekcją, a jej równania to aktualizacja pomiarowa. Filtr Kalmana estymuje proces używając pewnej formy sprzężenia zwrotnego. Filtr estymuje stan procesu w pewnej chwili, po czym otrzymuje sprzężenie zwrotne w postaci zaburzonego pomiaru. W trakcie predykcji, bazując na stanie z poprzedniego kroku, wyznacza się estymowaną wartość stanu oraz jego kowariancje i są to wartości a priori. Pomiar w drugiej fazie jest pewną formą sprzężenia zwrotnego. Na jego podstawie dokonuje się wyznaczenia wartości a posteriori dla stanu i jego kowariancji. Algorytm jest dosyć prosty i nie wymaga skomplikowanych, czasochłonnych obliczeń. Jedynie, co należy wykonać to opisać proces i system pomiarowy odpowiednimi równaniami. Posługując się tym narzędziem, można wyznaczyć pomiarowo niedostępne zmienne jedynie na podstawie bieżących wartości wielkości pomiarowo dostępnych oraz znajomości modelu matematycznego łączącego ze sobą obydwie te grupy pomiarów.

Zdefiniujmy błędy szacowania: - estymowany stan a priori uzyskany z procesu - estymowany stan a posteriori uwzględniający pomiar zk - błąd a priori - błąd a posteriori Na tym slajdzie przedstawione są błędy szacowania (estymaty) Są to różnice pomiędzy rzeczywistym stanem a wartością estymowana. W praktyce rzeczywiste wartości stanu xk nie sa znane. a priori (przed pomiarem) i a posteriori (po pomiarze) Błąd szacowania a priori jest różnicą wartość wektora stanu w chwili k i estymowanego stanu a priori w chwili k Błąd szacowania a posteriori jest różnicą wartość wektora stanu w chwili k i estymowanego stanu a posteriori (uwzględniający pomiar) w chwili k

- macierz kowariancji a priori - macierz kowariancji a posteriori Macierze kowariancji (zależności wariancji składowych wektora stanu) to: - macierz kowariancji a priori - macierz kowariancji a posteriori Macierze kowariancji (zależności wariancji składowych wektora stanu)

- prognozowane wartości stanu i kowariancji a priori Równania pierwszej fazy: - prognozowane wartości stanu i kowariancji a priori - optymalne szacowane wartości a posteriori wykonane w poprzednim kroku Na slajdzie przedstawione są równania pierwszej fazy algorytmu Filtru Kalmana, gdzie ˆx−k i P−k to prognozowane wartości stanu i kowariancji a priori, ˆxk−1 i Pk−1 to optymalne szacowane wartości a posteriori wykonane w poprzednim kroku.

Równania drugiej fazy: wzmocnienie Kalmana: optymalne skorygowanie prognozy w czasie k: macierz kowariancji: Na slajdzie przedstawione są równania drugiej fazy algorytmu Filtru Kalmana. Wzmocnienie Kalmana można przedstawić jako rodzaj wagi z jaka wpłynie faza korekcji na estymowany stan. Równanie za pomocą, które przedstawia jakie jest optymalne skorygowanie prognozy w czasie k, bazujące na wszystkich dotychczasowych pomiarach ma następującą postać: ˆxk = ˆx−k + Kk(zk − H ˆx−k ) Macierz kowariancji opisana jest natomiast następującym wzorem: Pk = (I − Kk H)Pk− ,gdzie I jest macierzą jednostkową.

Na slajdzie przedstawiony jest kompletny algorytm Kalmana Na slajdzie przedstawiony jest kompletny algorytm Kalmana. Przedstawione są równania algorytmu wykorzystywane w poszczególnych fazach, jak i relacje pomiędzy poszczególnymi fazami.

Rozszerzony Filtr Kalmana Zazwyczaj Filtr Kalmana stosowany jest w dyskretnych procesach do optymalnej estymacji stanu. Zarówno proces, jak i związek pomiędzy pomiarem i procesem, opisuje sie liniowymi równaniami. W przypadku nieliniowych równań stanu można skorzystać z tzw. rozszerzonego filtra Kalmana, w którym równania stanu są zlinearyzowane poprzez zastąpienie nieliniowych funkcji ich rozwinięciami w szereg Taylora.

Pomiar stałego zaszumionego napięcia A = 1 - stan się nie zmienia, u = 0, H = 1 Otrzymujemy równania KF: Na slajdzie przedstawiony jest prosty pomiar stałego zaszumionego napięcia. Przyjęto, ze szum jest typu białego. W systemie tym przyjmujemy, ze A = 1 ponieważ stan sie nie zmienia, gdyż jest to pomiar stałego napięcia. Dlatego szacujemy, ze w każdym kroku napięcie powinno mieć tą samą wartość. Nie ma żadnego wejścia sterującego zatem u = 0. Z uwagi na to, ze zarówno pomiar jak i stan maja wymiar równy jeden macierz H = 1. Z pewnością wątpliwość budzi obecność wariancji Q w fazie predykcji. Wariancja Q powinna być równa zero. Przyjecie za Q, dla stałych procesów, nawet bardzo małej wartości rzędu 10e−5 powoduje, że lepiej sie wtedy dostraja filtr.

Pomiar napięcia dla wariancji R = 0, 01 i Q = 10e − 5. Na wykresie przedstawiony jest na niebiesko przebieg napięcia przed filtrem, natomiast na czerwono przebieg napięcia na wyjściu FK.

Przykłady zastosowań Inżynieria - robotyka, promy kosmiczne, samoloty, samochody Komputery - namierzanie, grafika czasu rzeczywistego, computer vision Ekonomia - przewidywanie mierników ekonomicznych Inne - telefonia, elektryczność Filtry Kalmana znalazły zastosowanie w wielu dziedzinach nauki. Najczęściej są stosowane w inżynierii, głównie w układach sensorycznych: robotów, samolotów oraz promów kosmicznych. Znalazły zastosowanie także w technikach komputerowych do przetwarzania obrazów oraz w ekonomii do prognozowania wskaźników gospodarczych. Metoda ta jest chętnie wykorzystywana w robotyce, gdzie układy percepcji otoczenia odgrywają istotna role. Są często jedynym źródłem informacji o środowisku, w którym znajduje sie urządzenie

Podsumowanie rekurencyjna postać, równania nie zmieniają swojej postaci w przypadku, gdy układ jest niestacjonarny algorytm jest dosyć prosty i nie wymaga skomplikowanych, czasochłonnych obliczę. •FK korzysta z wszystkich dostępnych pomiarów bez względu na to, z jaka dokładnością i precyzja zostały one wykonane. Ostatecznie na ich podstawie dokonuje najlepszej estymacji stanu. • FK jest algorytmem typu rekursywnego. Nie przechowuje on wszystkich danych z przeszłości i nie dokonuje on w każdym korku ich przeliczenia. Informacje są przetwarzane sukcesywnie, bazując na wartościach obliczonych w poprzednim kroku. • Znając wejście i wyjście systemu można uzyskać niedostępne wartości na podstawie dostępnych danych, np z sensorów. • Metodę nazywamy filtrem, gdyż jest on optymalnym estymatorem stanu tzn, ze uzyskamy możliwie optymalna wartość, na podstawie wielu pomiarów pochodzących z zaszumionego środowiska. • Równania nie zmieniają swojej postaci w przypadku, gdy układ jest niestacjonarny.

Bibliografia Greg Welch, Gary Bishop, An Introduction To The Kalman Filter, Department Of Computer Science, University Of North Carolina At Chapel Hill Frida Lie, Robert Brooks And Robert Faff, Modelling The Equity Beta Risk Of Australian Financial Sector Companies, Blackwell Publishers Ltd, Wikipedia: The Free Encyclopedia. 9 April 2005. Wikimedia Foundation. <http://en.wikipedia.org/wiki/Kalman_filter>

Dziękuję za uwagę