Błędy pomiarów i niepewność pomiaru

Błąd pomiaru Błąd pomiaru definiuje się jako niezgodność wyniku pomiaru z wartością prawdziwą wielkości mierzonej. Tę niezgodność wyraża się ilościowo jako różnicę między wynikiem pomiaru y a wartością prawdziwą wielkości mierzonej yrz  = y - yrz

Klasyfikacja błędów pomiaru Wg rodzaju (charakteru): systematyczne, przypadkowe, nadmierne.

Klasyfikacja błędów pomiaru Wg pochodzenia (przyczyny): wyposażenie pomiarowe (przyrządy, wzorce, ...), warunki środowiskowe, człowiek, mierzony przedmiot

Błędy systematyczne - przyczyny Odształcenia sprężyste elementów przyrządu i/lub przedmiotu pod wpływem nacisku pomiarowego lub grawitacji Temperatura przyrządu i/lub przedmiotu różna od 20 C Mimośrodowe ustawienie osi obrotu wskazówki względem podzielni (np. czujnik zębaty)

Ugięcie i skrócenie pręta

Odkształcenia sprężyste

Odkształcenia kula - płaszczyzna Da1 — w miejscu zetknięcia się końcówki pomiarowej z powierzchnią pomiarową płytki wzorcowej pod wpływem nacisku pomiarowego — styk kuli z płaszczyzną (błąd podczas wzorcowania); uwzględniając, że nacisk pomiarowy wynosi 2 N, a promień zaokrąglenia (kulistej) końcówki pomiarowej — 50 mm, otrzymuje się

Odkształcenia walec - płaszczyzna Da2 — wzdłuż styku mierzonego wałka ze stolikiem pomiarowym pod wpływem nacisku pomiarowego i ciężaru wałka — styk walca z płaszczyzną (błąd podczas pomiaru); przyjmując ciężar wałka 0,6 N, średnicę 20 mm, długość 25 mm i uwzględniając, że ze względu na rowki nacięte na powierzchni stolika pomiarowego długość styku wałka ze stolikiem wynosi 41,7% długości wałka (0,417 L), otrzymuje się

Odkształcenia kula - walec Da3 — w miejscu zetknięcia się końcówki pomiarowej z mierzonym walcem pod wpływem nacisku pomiarowego — styk kuli z walcem (błąd podczas pomiaru)

Ugięcie łoża mikroskopu

Błąd temperaturowy Większość materiałów rozszerza się lub kurczy przy wzroście lub spadku temperatury. Liniowe wydłużenie lub skrócenie cieplne opisuje zależność gdzie: l — długość, a — współczynnik rozszerzalności cieplnej, – różnica temperatur

Współczynniki rozszerzalności (1/K) Aluminium (2324)10–6 Stal 11,510–6 Szkło (Schott F7) 10,210–6 Węgliki spiekane wolframu 510–6 Węgliki spiekane chromu 810–6 Zerodur 00,0510–6

Błąd temperaturowy – metoda bezpośrednia Błąd temperaturowy w pomiarze metodą bezpośrednią, spowodowany odstępstwem temperatury wzorca i mierzonego przedmiotu od temperatury odniesienia, Ls — długość wzorca w temp. 20°C , L — długość mierzonego przedmiotu w temp = 20°C,

Pomiar różnicowy

Błąd temperaturowy – metoda różnicowa Błąd temperaturowy w pomiarze metodą różnicową: ΔL — zmierzona różnica długości przedmiotu i wzorca, c — indeks kalibracji (wzorcowania, c — ang.: calibration), m — indeks pomiaru (m — ang.: measurement), s — indeks wzorca (s — ang.: standard), e — indeks przyrządu pomiarowego (e — ang.: equipment), L — długość mierzonego przedmiotu w temperaturze 20°C, Ls — długość wzorca w temperaturze 20°C, Le — długość przyrządu pomiarowego w temperaturze 20°C

Usuwanie błędów systematycznych

Likwidacja źródła błędu wprowadzenie klimatyzacji pomieszczenia laboratoryjnego w celu uniknięcia błędów temperaturowych, zredukowanie do zera lub ograniczenie nacisków pomiarowych (w pomiarach metodą stykową), aby uniknąć odkształceń sprężystych stosowanie odpowiednich rozwiązań konstrukcyjnych przyrządów pomiarowych (np. zapewnienie stałego nacisku pomiarowego, niezależnie od położenia końcówki pomiarowej)

Kompensacja błędu Pomiar podziałki, kąta i średnicy podziałowej gwintu

Korekcja błędu 1 Doświadczalne wyznaczenie poprawki przez zmianę przyczyny błędu Należy zmierzyć długościomierzem pionowym ABBE 200 (Zeiss) średnicę zewnętrzną cienkościennego pierścienia. Pod wpływem nacisku pomiarowego pierścień odkształci się, a wynik pomiaru powinien być wartością średnicy nieodkształconego pierścienia. Wiadomo, że odkształcenie pierścienia jest proporcjonalne do nacisku pomiarowego P. Jeśli zatem wykona się dwa pomiary przy różnych naciskach (przez zmianę ciężarków w przesuwnym trzpieniu długościomierza pionowego uzyskuje się dwa naciski pomiarowe P1 = 0,5 N i P2 = 1,5 N), wówczas błędy odkształcenia można zapisać w postaci gdzie c jest nieznanym współczynnikiem proporcjonalności.

Korekcja błędu 1 cd Doświadczalne wyznaczenie poprawki przez zmianę przyczyny błędu – cd. Oczywiście po dwóch pomiarach wykonanych z różnymi naciskami pomiarowymi można poznać tylko różnicę a Stąd Błędy a1 i a2 można — wobec znanego już współczynnika c — obliczyć. Jako wynik pomiaru bez wprowadzonej poprawki przyjmuje się jeden z dwóch wyników, tj. d1 lub d2. Poprawki są równe błędom z przeciwnymi znakami, zatem średnica zewnętrzna cienkościennego pierścienia wynosi

Korekcja błędu 2 Obliczenie poprawki na podstawie wartości wielkości wpływających temperaturowe — po uprzednim zmierzeniu temperatury przyrządu i przedmiotu oraz dokonaniu niezbędnych obliczeń według znanego wzoru odkształceń sprężystych — przy znanych naciskach pomiarowych i po dokonaniu niezbędnych obliczeń

Błędów systematycznych nie można wyeliminować w całości Nie można w całości zlikwidować źródła błędu Nie można w pełni skompensować błędu Nie można dokładnie obliczyć dokładnej poprawki (błędy modelu, brak dokładnych danych liczbowych)

Błędy systematyczne czy przypadkowe Podział na błędy systematyczne i przypadkowe jest umowny Natura błędów jest systematyczna

Błędy odczytania Powstawanie błędów odczytania: a) interpolacja, b) koincydencja

Błędy środkowego położenia kresy w bisektorze

Błąd paralaktyczny

Błędy nastawienia optycznego

Błędy nadmierne 6,672 czy 6,172 6,672 czy 13,172

Błędy przypadkowe Błędy z natury są systematyczne: określona przyczyna powoduje określony skutek Kiedy błędy traktuje się jako przypadkowe - przykłady: Wiadomo, że zjawisko rozszerzalności cieplnej powoduje błędy temperaturowe ale nie jest możliwe doprowadzenie do wyrównania temperatury w całej objętości przedmiotu Temperatura pomieszczenia w którym wykonuje się pomiar, temperatura przyrządu i temperatura przedmiotu ciągle się zmieniają Spodziewając się, że błąd temperaturowy nie będzie miał istotnego wpływu na błąd pomiaru rezygnujemy z pomiaru temperatur i stosowania korekcji

Błędy przypadkowe Błędy przypadkowe modeluje się za pomocą rozkładu prawdopodobieństwa – zwykle rozkładu normalnego

Centralne twierdzenie graniczne Suma dużej liczby zmiennych losowych (o dowolnych rozkładach) jest zmienną losową o rozkładzie normalnym. Parametr  wynikowego rozkładu normalnego jest równy sumie wartości oczekiwanych a parametr  jest równy pierwiastkowi z sumy wariancji składowych zmiennych losowych

Niepewność pomiaru – definicja klasyczna Niepewność pomiaru jest to przedział wartości rozłożony symetrycznie względem wyniku pomiaru, w którym (przedziale) z określonym prawdopodobieństwem jest zawarty błąd pomiaru. Wartość niepewności pomiaru umożliwia wyznaczenie dwóch wartości, między którymi jest zawarta wartość rzeczywista wielkości mierzonej. W metrologii wielkości geometrycznych niepewność pomiaru, tradycyjnie wiąże się z prawdopodobieństwem 0,95.

Niepewność pomiaru Niepewność rozszerzona (U) to wielkość określająca powiązany z pewnym poziomem ufności przedział wokół wyniku pomiaru, od którego to przedziału oczekuje się, że obejmie dużą część rozkładu wartości, które w zasadniczy sposób można przypisać wielkości mierzonej. Do obliczania niepewności wykorzystuje się dwie metody. Metoda A polega na obliczaniu niepewności drogą analizy statystycznej serii pojedynczych wyników pomiarów; metoda B wykorzystuje inne sposoby niż analiza serii obserwacji.

Składniki niepewności pomiaru Składniki niepewności pomiaru wg pochodzenia błędów: Wyposażenie pomiarowe (przyrząd, wzorzec) Człowiek (wiedza, doświadczenie, strategia pomiaru) Warunki środowiskowe (temperatura, drgania) Mierzony przedmiot (sztywność, chropowatość, masa) Strategia pomiaru (m.in. różnego rodzaju uproszczenia)

Niepewność od wyposażenia pomiarowego Błędy wzorca Błąd wskazań przyrządu pomiarowego Błędy odczytania Ograniczona sztywność (odkształcenia elementów przyrządu)

Niepewność od warunków środowiskowych Błędy temperaturowe Ciśnienie i wilgotność (w pomiarach interferencyjnych) Drgania Zakłócenia elektryczne Zanieczyszczenia Oświetlenie Dostęp do mierzonego elementu

Niepewność od operatora Wyczyszczenie przedmiotu i przyrządu Prawidłowa obsługa Wprawa, doświadczenie

Niepewność od mierzonego przedmiotu Odchyłki kształtu Chropowatość powierzchni Ograniczona sztywność, podatność Kolor, odbijanie lub rozpraszanie światła Masa przedmiotu

Wpływ odchyłki okrągłości

Niepewność standardowa pomiaru Niepewność standardowa (u) – niepewność wyrażona w formie odchylenia standardowego. Niepewność standardowa złożona (uc) – niepewność standardowa wyniku pomiaru, gdy wynik ten jest otrzymany z wartości pewnej liczby innych wielkości (w pomiarze pośrednim). Niepewność rozszerzona (U) to wielkość powiązana z pewnym poziomem ufności U = k u

Metoda A – przypadek 1 jeżeli w pomiarach nie ma błędów systematycznych i jeżeli wykonano n (n  10) pomiarów, dla których obliczono wartość średnią i odchylenie standardowe eksperymentalne s, to związany z powtarzalnością składnik niepewności standardowej u oblicza się wg wzoru u=s/n 0,5

Metoda A – przypadek 2 jeżeli w pomiarach nie ma błędów systematycznych i jeżeli wykonano n (n  1) pomiarów i jeżeli dostępna jest wartość sp (obliczona na podstawie wykonanych wcześniej eksperymentów pod dobrą kontrolą statystyczną), to składnik niepewności standardowej u oblicza się wg wzoru u= sp /n 0,5

Metoda B Na podstawie znajomości zjawiska przyjmuje się jako model jeden z wymienionych rozkładów: normalny, trójkątny, jednostajny (równomierny, prostokątny), antymodalny V, antymodalny U.

Metoda B – rozkład normalny Na podstawie poziomu ufności P określa się wartość współczynnika k, przez który należy podzielić znaną wartość graniczną błędu a, żeby otrzymać niepewność standardową u. u=a/k Dla poziomów ufności 0,90, 0,95 i 0,99 wartości współczynnika k wynoszą odpowiednio 1,64, 1,96 i 2,58.

Metoda B – różne rozkłady Niepewność standardową u oblicza się według wzoru: u=a/k gdzie 1/k zależy od rodzaju rozkładu i wynosi: dla rozkładu trójkątnego – 0,41, dla rozkładu jednostajnego – 0,58, dla rozkładu antymodalnego V – 0,71, dla rozkładu antymodalnego U – 0,77.

Metoda B – wariancja wzór ogólny dla E(X)=0 dla f(x) parzystej

Rozkład jednostajny – 0,58

Rozkład trójkątny – 0,41

Rozkład antymodalny V – 0,71

Rozkład antymodalny U – ??

Informacja o błędach składowych

Inf. o błędach – suwmiarka Dz.U.M. i P. nr 6 (25 marca 1996), poz. 24

Błąd wskazań – suwmiarka Dz.U.M. i P. nr 6 (25 marca 1996), poz. 24 Błędy wskazań przyrządów suwmiarkowych (nowych) nie powinny przekraczać granic błędów dopuszczalnych podanych w tablicy

Błąd wskazań – suwmiarka Dz.U.M. i P. nr 6 (25 marca 1996), poz. 24 Błędy wskazań przyrządów suwmiarkowych (będących w użytkowaniu) nie powinny przekraczać granic błędów dopuszczalnych podanych w tablicy

Informacje o błędach składowych - suwmiarka Błąd graniczny wskazań (MPE) Suwmiarki klasyczne – 0,1 mm Suwmiarki cyfrowe – 0,03 mm Dopuszczalny błąd płaskości (prostoliniowości) powierzchni pomiarowych 0,01 mm dla suwmiarek nowych 0,015 mm dla suwmiarek używanych

Szczeliny wzorcowe

Błąd wskazań - czujniki Dz.U.M. i P. nr 11 (19 kwietnia 1996), poz. 57 Błędy wskazań przyrządów czujnikowych mechanicznych nie powinny przekraczać granic podanych w tablicy

Błąd wskazań - czujniki Dz.U.M. i P. nr 11 (19 kwietnia 1996), poz. 57 Błędy wskazań przyrządów czujnikowych mechanicznych nie powinny przekraczać granic podanych w tablicy

Błąd wskazań - czujniki Dz.U.M. i P. nr 11 (19 kwietnia 1996), poz. 57 Błędy wskazań przyrządów czujnikowych mechanicznych nie powinny przekraczać granic podanych w tablicy

Informacje o błędach składowych - czujnik Maksymalny dopuszczalny błąd wskazań (MPE) Dla czujników (klasy I) w zakresie 0,1 obrotu 5 m w zakresie 0,5 obrotu 8 m w zakresie 2 obrotów 15 m w całym zakresie 20 m

Histereza - czujniki Dz.U.M. i P. nr 11 (19 kwietnia 1996), poz. 57 Wartość histerezy pomiarowej nie powinna przekraczać wartościpodanch w tablicy

Rozrzut wskazań - czujniki Dz.U.M. i P. nr 11 (19 kwietnia 1996), poz. 57 Wartość zakresu rozrzutu wskazań nie powinna przekraczać wartości podanych w tablicy

Odchyłki płaskości - mikrometr Dz.U.M. i P. nr 12 (20 maja 1996), poz. 67

Odchyłki równoległości - mikrometr

Błędy wskazań - mikrometr Dz.U.M. i P. nr 12 (20 maja 1996), poz. 67

Informacje o błędach składowych - mikrometr Błąd graniczny wskazań (MPE) Dopuszczalny błąd płaskości powierzchni pomiarowych 0,9 m Dopuszczalny błąd równoległości powierzchni pomiarowych 2 m

Budżet niepewności (mikrometr, średnica wałka)

Wpływ poszczególnych składników