UKŁAD RÓWNAŃ LINIOWYCH INTERPRETACJA GRAFICZNA Opracowała Anna Mikuć

Równanie I stopnia z dwiema niewiadomymi Przykład: 2x + y = 5 x, y  R Rozwiązaniem równania I stopnia z dwiema niewiadomymi jest każda para liczb spełniających to równanie. Tym rozwiązaniem może być: każda para liczb leżąca na pewnej prostej – równanie oznaczone cała płaszczyzna (dowolna para liczb) – równanie nieoznaczone zbiór pusty – równanie sprzeczne

Układ równań I stopnia z dwiema niewiadomymi w układzie współrzędnych y = –2x + 3 y = 3x – 2 Przykład: Aby rozwiązać graficznie układ równań: wyznacz po dwa punkty spełniające każde z równań: (1,1) x y = –2x + 3 1 2 –1 x y = 3x – 2 –2 2 4  zaznacz te punkty na układzie współrzędnych poprowadź proste przez zaznaczone pary punktów odczytaj współrzędne punktu przecięcia prostych

Układ oznaczony  y = 2x + 1 y = –3x + 6 (1,3) x = 1 y = 3 Rozwiązaniem układu równań I stopnia z dwiema niewiadomymi jest para liczb spełniających obydwa równania. y = 2x + 1 y = –3x + 6  (1,3) Jeśli narysujemy rozwiązania obu równań w układzie współrzędnych, to zauważymy, że istnieje tylko jeden punkt spełniający oba równania – punkt ich przecięcia. Rozwiązaniem powyższego przykładu jest więc para liczb: x = 1 y = 3

Układ sprzeczny y = 2x + 1 y = 2x – 3 Układ równań I stopnia z dwiema niewiadomymi może nie mieć rozwiązania. y = 2x + 1 y = 2x – 3 Jeśli narysujemy rozwiązania tych równań w układzie współrzędnych to zauważymy, że otrzymane proste są do siebie równoległe, więc nie istnieje punkt ich przecięcia. Taki układ równań nie ma rozwiązania.

Układ nieoznaczony y = –3x + 1 (x, –3x + 1) Układ równań I stopnia z dwiema niewiadomymi może mieć nieskończenie wiele rozwiązań. y = –3x + 1 Jeśli narysujemy rozwiązania tych równań w układzie współrzędnych to zauważymy, że otrzymane proste pokrywają się, więc jest nieskończenie wiele ich punktów wspólnych. Rozwiązaniem powyższego przykładu jest więc każda para liczb: (x, –3x + 1)

O czym mówią współczynniki? y = a1x + b1 y = a2x + b2 Jeśli współczynniki spełniają warunki: a1 = a2 oraz b1 = b2 to układ jest nieoznaczony. Jeśli współczynniki spełniają warunki: a1 = a2 oraz b1 ≠ b2 to układ jest sprzeczny. Jeśli współczynniki spełniają warunki: a1 ≠ a2 to układ jest oznaczony. Na rysunku proste pokrywają się. Na rysunku proste są równoległe. Na rysunku proste przecinają się w jednym punkcie.