Leonardo z Pizy inaczej Leonardo Fibonacci Leonardo z Pizy inaczej Leonardo Fibonacci . Urodził się około 1175 a zmarł około 1250 . Był włoskiem matematykiem, który wymyślił ciąg liczb zwany jego imieniem- ciągiem Fibonacciego . Jego największym dziełem było ,,Liber Abaci” ,gdzie opisał system pozycyjny liczb i wyłożył podstawy arytmetyki.

Pierwsze dwa wyrazy tego ciągu są równe 1 , a każdy następny wyraz jest sumą dwóch wyrazów poprzednich 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 ,377,610,987…

Wzór ogólny ciągu Fibonacciego formuła Bineta lub też wzór Eulera-Bineta 1. Rekurencyjne określenie ciągu Fibonacciego. F(1)=1 F(2)=1 F{n+1}=F{n}+F{n-1} Jest to prosta rekurencja - każda liczba zależy od dwóch poprzednich - jest ich sumą.

Złota liczba była znana już starożytnym Grekom Złota liczba była znana już starożytnym Grekom. Jest ona ściśle związana z tak zwanym złotym podziałem. Podział ów polega na takim podzieleniu odcinka na dwie części, aby stosunek długości dłuższego odcinka do długości krótszego odcinka był taki sam jak stosunek długości dłuższego odcinka do długości całego odcinka (|dłuższy| + krótszy|). Poniższy rysunek przedstawia graficznie powyższe zadnie.

Złotą liczbę często oznacza się symbolami greckiej litery „Fi”: Φ(fi duże) lub φ(fi małe). Możemy rozwiązać powyższe równanie, i obliczyć ile faktycznie wynosi ta złota liczba.

Po przeliczaniu dowiadujemy się, że Złota Liczba wynosi w przybliżeniu 1,618033988… Liczba Fi ma to do siebie, że jeżeli podniesiemy ją do kwadratu, otrzymamy liczbę dokładnie… o jeden większą. Natomiast jeżeli byśmy porównali odwrotność Złotej Liczby do jej samej, otrzymamy Złotą liczbę pomniejszoną o jeden. Drugie rozwiązanie tutaj możemy odrzucić, bo równanie tyczyło się długości odcinka, a z założenia długość taka musi być większa od zera. Mimo to warto też się nad nim zastanowić. Wynosi ono -0,618033988… Czyli tyle ile ile wynosi liczba przeciwna do odwrotności Złotej Liczby. Całość jest bardzo ciekawa, ze względu na to, że złoty podział odcinka możemy stosować w nieskończoność, a stosunki pomiędzy odpowiednimi odcinkami będą Złotą Liczbą podniesioną do odpowiedniej potęgi. Wzór na ciąg Fibonacciego z użyciem fi

Patryk Rzeszewicz Bartek Wrześniewski Wykonali: Patryk Rzeszewicz Bartek Wrześniewski