Systemy liniowe stacjonarne – modele różniczkowe i różnicowe Systemy dynamiczne Systemy liniowe stacjonarne – modele różniczkowe i różnicowe W dziedzinie czasu relacja pomiędzy wejściem a wyjściem systemu liniowego stacjonarnego może być często opisana za pomocą: system ciągły – równania różniczkowe zwyczajne liniowe o stałych współczynnikach system dyskretny – równania różnicowe liniowe o stałych współczynnikach

Modele wejście – wyjście System ciągły; model wejście - wyjście: System dyskretny; model wejście - wyjście:

Modele przestrzeni stanu System ciągły; model przestrzeni stanu Jeżeli mamy p wejść, n stanów, q wyjść x – stany u – wejścia y - wyjścia – macierz stanu – macierz sterowania – macierz wyjścia – macierz bezpośredniego sterowania

System dyskretny; model przestrzeni stanu Jeżeli mamy p wejść, n stanów, q wyjść x – stany u – wejścia y - wyjścia – macierz stanu – macierz sterowania – macierz wyjścia – macierz bezpośredniego sterowania

System ciągły; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) - odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Odpowiedź stanu – w dziedzinie czasu Składowa swobodna Składowa wymuszona Składowa przy zerowym wymuszeniu (Zero Input ZI) Składowa przy zerowym stanie początkowym (Zero State ZS) Odpowiedź wyjścia – w dziedzinie wyjścia

Odpowiedź stanu – w dziedzinie zmiennej zespolonej s Odpowiedź wyjścia – w dziedzinie zmiennej zespolonej s

Kluczowy problem – obliczenie - macierz tranzycji stanu, macierz fundamentalna I sposób – z definicji szeregu wykładniczego II sposób – z porównania odpowiadających składników odpowiedzi w dziedzinie czasu i zmiennej zespolonej s

Funkcja przejścia - transmitancja Związki opisu w przestrzeni stanu z transmitancją Dla układu SISO: Odpowiedź wyjścia: Funkcja tranzycji stanu Funkcja przejścia - transmitancja Otrzymujemy:

Poszukujemy rozwiązań System dyskretny; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) – odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Przyjmuje się: Odpowiedź stanu – w dziedzinie czasu Porównanie odpowiedzi stanu Składowa swobodna Składowa wymuszona Odpowiedź wyjścia – w dziedzinie czasu

Odpowiedź stanu – w dziedzinie zmiennej zespolonej z Odpowiedź wyjścia – w dziedzinie zmiennej zespolonej z

Obliczenie macierzy tranzycji stanu Jest to odpowiednik w dziedzinie czasu ciągłego macierzy I sposób – z rozwiązania odpowiedzi stanu II sposób – z porównania odpowiadających składników odpowiedzi w dziedzinie czasu i zmiennej zespolonej z

Funkcja przejścia - transmitancja Związki opisu w przestrzeni stanu z transmitancją Dla warunku początkowego Funkcja przejścia - transmitancja Wyjście Wejście Transmitancja systemu dyskretnego

Sterowanie ze sprzężeniem od stanu – metoda alokacji biegunów Stosowane dalej oznaczenia System MIMO Przy czym: wymiar wymiar wymiar wymiar wymiar wymiar wymiar oraz rząd ; rząd Przy ekstrapolacji zerowego rzędu i czasie zatrzaśnięcia Ts jeżeli istnieje

: macierz systemu, stała, rzeczywista, wymiaru , Sformułowanie problemu Zasadniczo rozważa się przypadki, kiedy gdzie: : macierz systemu, stała, rzeczywista, wymiaru , tzn. : wektor stanu, rzeczywisty, wymiaru , tzn. : wektor wejścia, rzeczywisty, wymiaru , tzn. : macierz wejścia, stała, rzeczywista, wymiaru , tzn. : wektor wyjścia lub obserwacji, rzeczywisty, wymiaru , tzn. : macierz wyjścia lub obserwacji, stała, rzeczywista, wymiaru , tzn.

Zadanie sterowania: System będący w chwili początkowej ( dla systemów stacjonarnych) w stanie początkowym , należy przeprowadzić do pożądanego stanu końcowego, lub operacyjnego , zapewniając w stanie przejściowym spełnienie określonych wymagań dynamicznych takich jak np. czas narastania, przeregulowania, oscylacyjność … . Po osiągnięciu stanu operacyjnego , wartość wyjścia musi być zwykle równa narzuconej wartości zadanej

Propozycja rozwiązania – z zastosowaniem sprzężenia w przód: Na system działają dwie wielkości zewnętrzne - stan początkowy - sygnał wartości zadanej Przesłanie zwrotne wektora stanu na wejście z wykorzystaniem macierzy sprzężenia zwrotnego od stan - działanie regulacyjne Przesłanie w przód wektora wartości zadanej na wejście z wykorzystaniem macierzy sprzężenia w przód - działanie śledzące

Macierz kompensacji wzmocnień statycznych (macierz sprzężenia w przód) Rozwiązanie - struktura Przypadek ciągły: Obiekt Sterownik (prawo sterowania) Macierz kompensacji wzmocnień statycznych (macierz sprzężenia w przód)

Równania opisujące system zamknięty: Stąd: Równanie stanu systemu zamkniętego i macierz systemu zamkniętego CL – close loop oraz macierz wejścia

Przypomnienie: na system działają dwie wielkości zewnętrzne - stan początkowy - sygnał wartości zadanej Rozważamy systemy liniowe – zasada superpozycji upoważnia do rozdzielnego rozważania

Przypadek ciągły – działanie regulacyjne Działanie regulacyjne ma na celu przeprowadzenie wektora stanu systemu ze stanu początkowego do stanu operacyjnego (końcowego) przy zadanych warunkach tego przejścia i/lub osłabieniu wpływu zakłóceń tak, aby osiągnąć stan ustalony Będzie to wynikać z odpowiedniego doboru macierzy Dla obliczenia macierzy przyjmujemy (zgodnie z zasadą superpozycji) Równanie Redukuje się do postaci Wymaganie minimalne – stabilność: wszystkie wartości własne macierzy w lewej półpłaszczyźnie - zapewnienie odwracalności i osiągnięcie stanu równowagi

Macierz jest stałą macierzą o wymiarze i nazywana jest macierzą wzmocnień sterownika Cechy: - w skrajnym przypadku ma elementów, - jako macierz stała związana ze stanem pełni rolę sterownika proporcjonalnego - poprzez związek pełni też rolę sterownika różniczkującego - nie daje sprzężenia o charakterze całkującym

Przypadek ciągły – działanie śledzące Działanie śledzące ma na celu uzyskanie w stanie ustalonym ( ) spełnienie warunku Równanie stanu systemu zamkniętego sprowadza się do stąd Równanie wyjścia systemu zamkniętego przyjmuje postać stąd - warunek jednostkowego wzmocnienia

Macierz kompensacji wzmocnień statycznych (macierz sprzężenia w przód) Rozwiązanie - struktura Przypadek dyskretny: Obiekt Sterownik (prawo sterowania) Macierz kompensacji wzmocnień statycznych (macierz sprzężenia w przód) Opóźnienie

Równania opisujące system zamknięty: Stąd: Równanie stanu systemu zamkniętego i macierz systemu zamkniętego CL – close loop oraz macierz wejścia

Przypadek dyskretny – działanie regulacyjne Podobnie jak w przypadku ciągłym, przyjmujemy Problem sterowania sprowadza się do określenia sekwencji wartości otrzymywanych dla z zależności , która przeprowadzi system ze stanu początkowego w stan końcowy

Przypadek dyskretny – działanie śledzące Działanie śledzące ma na celu uzyskanie w stanie ustalonym ( ) spełnienia warunku Równanie stanu systemu zamkniętego sprowadza się do stąd Równanie wyjścia systemu zamkniętego przyjmuje postać stąd - warunek jednostkowego wzmocnienia

Metody projektowania macierzy sterowania (sprzężenia zwrotnego) L  Metody alokowania biegunów (metody rozmieszczania biegunów) Dane jest a priori rozmieszczenie biegunów systemu zamkniętego (na płaszczyźnie s lub z) i macierz L jest wyznaczana tak, aby system zamknięty posiadał rzeczywiście takie bieguny

Schemat sterowania systemu ze sprzężeniem od stanu Metoda alokacji biegunów Podstawy metody Metoda związana z działaniem regulacyjnym (związane z warunkiem początkowym , przy przyjęciu Nie bierze się pod uwagę równania wyjścia , gdyż brane jest ono pod uwagę przy projektowaniu macierz kompensacji wzmocnień lub Schemat sterowania systemu ze sprzężeniem od stanu

Projektowanie metodą alokacji biegunów polega znalezieniu stałej macierzy sprzężenia zwrotnego (od stanu) takiej, że wartości własne systemu zamkniętego zarówno systemu ciągłego jak i dyskretnego, znajdują się w danych położeniach na płaszczyźnie s lub z

Warunki istnienia macierzy Wszystkie wartości własne systemu mogą być przemieszczone do nowych dowolnych położeń wtedy i tylko wtedy, gdy system jest całkowicie sterowalny Sterowalność, warunki sterowalności, dekompozycja kanoniczna sterowalności

Ogólna procedura wyznaczania macierzy L Przy warunku równanie stanu systemu zamkniętego Wartości własne macierzy systemu zamkniętego , które zostały wybrane, są zerami wielomianu charakterystycznego systemu zamkniętego gdzie, oznacza, że współczynnik wielomianu zależy od elementów nieznanej macierzy Z drugiej strony, arbitralny wybór wartości własnych jest równoważny arbitralnemu wyborowi współczynników wielomianu, ponieważ

Przyrównując do siebie współczynniki powyższych wielomianów, otrzymujemy układ równań () t.j. układ n równań (określone ) o p x n niewiadomych (wymiar macierzy L) Konsekwencje:  p = 1, system jednowymiarowy, układ określony, istnieje jednoznaczne rozwiązanie  p > 1, system wielowymiarowy, układ niedookreślony, nie istnieje jednoznaczne rozwiązanie

Przykład – mały silnik p. s Przykład – mały silnik p.s. z obciążeniem inercyjnym i pomijalną indukcyjnością obwodu twornika i sztywnym wałem k = , L = 0 Zmienne modelu: - zmienne stanu - zmienna wyjścia

Równania stanu w postaci macierzowej: Równania wyjścia w postaci macierzowej: Schemat blokowy analogowy modelu silnika PS

Silnik używany do sterowania położeniem kątowym lub liniowym Przykład – pozycjonowanie głowicy plotera Model w postaci nie-macierzowej Transformacja Laplace’a

Transmitancja operatorowa

gdzie, - wzmocnienie w torze napięcie – położenie, - stała czasowa silnika W wielu przypadkach

gdzie, - wzmocnienie w torze napięcie – położenie, - stała czasowa silnika W wielu przypadkach

Pożądany obszar alokacji biegunów systemu zamkniętego Wówczas i Równania stanu dla tych warunków Chcemy umieścić wartości własne systemu zamkniętego w określonych miejscach Pożądany obszar alokacji biegunów systemu zamkniętego Linie stałej wartości współczynnika tłumienia i pulsacji drgań nietłumionych systemu rzędu drugiego

Wybierzmy Postulowany wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Jest to też wielomian charakterystyczny macierzy systemu zamkniętego Równania opisujące system zamknięty: Stąd Równanie stanu systemu zamkniętego i macierz systemu zamkniętego

Wielomian charakterystyczny macierzy systemu zamkniętego wyrażony przez parametry systemu W przykładzie Stąd

Z porównania dwóch wielomianów charakterystycznych i stąd Wybierając możemy określić Z klasycznej teorii:  odwrotność stałej czasowej – pulsacja załamania

 Dla systemu drugiego rzędu oraz Gdyby np. pulsacja drgań nietłumionych miałaby być pięciokrotnie większa od pulsacji załamania, a współczynnik tłumienia stąd i wzmocnienia

Schemat zbudowanego systemu sterowania Silnik

Propozycja rozwiązania – wykorzystanie działania całkującego Zastosowanie macierzy kompensacji M pozwala zapewnić wzmocnienie w torze wartość zadana – wartość aktualna wyjścia równą jeden, inaczej mówiąc równość tych dwóch wielkości Wada: rozwiązanie takie nie gwarantuje zerowej wartości uchybu ustalonego, np. w sytuacjach, kiedy model systemu nie jest dokładnie znany Alternatywa: dodanie jednego lub kilku integratorów (elementów całkujących) w pętli sterowania

Rozwiązanie - struktura Przypadek ciągły: Dla zlikwidowania uchybu ustalonego, - wprowadzamy integratory w liczbie na wyjściu komparatora (elementu porównującego) wartości zadanej (referencyjnej) i aktualnej wielkości wyjściowej systemu – po jednym dla każdej składowej wektora wielkości referencyjnej - poprzez macierz zamykamy sprzężenie zwrotne (ujemne) - sprzężenie od wektora stanu realizowane jest jak poprzednio za pomocą macierzy oznaczonej

Pojawiają się nowe zmienne stanu będące skutkiem wprowadzenia integratorów Niech system jest dany jako Nowe zmienne stanu Łącząc zmienne stanu otrzymujemy system rozszerzony Równania stanu systemu rozszerzonego

Pełny opis systemu rozszerzonego (otwartego) Macierze wzmocnień dla działania regulacyjnego wprowadzamy jak poprzednio

Równania stanu systemu po zamknięciu sprzężenia Pełny opis systemu po zamknięciu sprzężenia

Projektowanie sterowania ze sprzężeniem od stanu Opis systemu rozszerzonego może być dany gdzie

Problem polega teraz na określeniu rozszerzonej macierzy wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu tak, aby system zamknięty realizujący prawo sterowania i mający macierz systemu posiadał wymagane własności dynamiczne Rozwiązanie problemu – jak dla podejścia ze sprzężeniem w przód

Rozwiązanie – struktura Przypadek dyskretny: Opóźnienie

Wyście integratora (dyskretnego) gdzie, zmienne reprezentują dodatkowych zmiennych stanu Równania systemu rozszerzonego Pełny opis systemu rozszerzonego (otwartego)

Sterowanie przez sprzężenie zwrotne od stanu Prawo sterowania System z zamkniętą pętlą sterowania Uchyb sterowania w stanie równowagi Stan równowagi

Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę