Ekonometryczne modele nieliniowe Wykład 5 Progowe modele regresji

Literatura Hansen B. E. (1997) Inference in TAR Models, Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics, 2. Tekst na stronie internetowej wykładu

Dodatkowa literatura Hansen B. E. (1996) Inference When a Nuisance Parameter Is Not Identified Under the Null Hypothesis, Econometrica 64, 413-430. Hansen B. E. (2000) Sample Splitting and Threshold Estimation, Econometrica 68, s.575-603.

Dodatkowa literatura Pruska K. (1996) Metody regresji przełącznikowej i ich zastosowanie, Wyd. UŁ, Łódź.

Model progowy Ogólna postać: parametry progowe

Model progowy W ustalonym reżimie r – model liniowy:

Model progowy Model z dwoma reżimami: w zapisie macierzowym: czyli

Estymacja Jeśli g znany: gdzie zawiera kolejne obserwacje zmiennych

Estymacja Jeśli g nieznany: Szacunek g : oszacowanie parametrów b modelu dla wartości przyjmujących kolejno każdą wartość ze zbioru G

Klasyfikacja reżimów Źródło: Hansen (1997)

Założenia i własności Zmienna progowa egzogeniczna Wariancja składnika losowego stała między reżimami Estymator zgodny

Precyzja oszacowań Jeśli istnieją dwa reżimy, to dla b można wyliczać standardowe błędy szacunku (rozkłady szacunków parametrów b są asymptotycznie normalne) Dla g wyznacza się asymptotyczny przedział ufności

Przedział ufności dla g Wyznaczamy statystykę LR: oszacowanie wariancji składnika losowego w modelu progowym dla nieznanego g oszacowanie wariancji dla modelu progowego, w którym wyznaczono

Przedział ufności dla g Statystyka LR może służyć do testowania hipotezy Niech zmienna losowa x ma dystrybuantę: Rozkład statystyki LR asymptotycznie dąży do rozkładu zmiennej losowej x

Przedział ufności dla g można wyznaczyć taką wartość krytyczną c(w), że zbiór jest asymptotycznym przedziałem ufności dla parametru g przy poziomie istotności równym w. Jeśli zbiór G(w) nie stanowi pojedynczego przedziału:

Przedział ufności dla g Źródło: Hansen (1997)

Przedziały ufności Konserwatywne przedziały ufności dla b: dla różnych wartości g wybranych z pewnego przedziału G(w*) budowane są przedziały ufności z poziomem istotności w dla poszczególnych parametrów b. najmniejsze i największe elementy dla każdego parametru w wektorze b w* - dodatkowy parametr, wpływający na „poziom konserwatyzmu” (najlepiej 0,8 – Hansen [1997])

Testowanie liczby reżimów Model progowy czy model liniowy? H0: H1: Jeśli znana wartość parametru g, to można stosować statystyki F, Walda, LR, LM – mają standardowe rozkłady (por. wykład 2)

Testowanie liczby reżimów Jeśli nieznana wartość parametru g : szacunek wariancji składnika losowego w oszacowanym modelu progowym szacunek wariancji składnika losowego w oszacowanym modelu liniowym

Testowanie liczby reżimów Statystyka F nie ma standardowego rozkładu Niech zbiór G* stanowi podzbiór zbioru G z którego usunięto m elementów (np. 15%) o największych wartościach i m elementów o najmniejszych wartościach najmniejsza  wartość F(g) największa.

Testowanie liczby reżimów Procedura „bootstrap”: Losowane N niezależnych liczb ut z rozkładu N(0,1) oraz zdefiniowany wektor obserwacji zmiennej objaśnianej z tych liczb. Szacowane są parametry b i g modelu Ocena wariancji składnika losowego Statystyka

Testowanie liczby reżimów Procedura „bootstrap” (c.d.): Wielokrotnie (na przykład 1000 razy) powtarzane kroki od 1 do 3. Empiryczny rozkład - przybliżenie asymptotycznego rozkładu statystyki Obliczony empiryczny poziom istotności statystyki Podobnie można stosować testy LM, LR

Testowanie liczby reżimów Gdy składnik losowy heteroskedastyczny: S(g) - na głównej przekątnej kolejne kwadraty reszt, a poza nią 0. zastąpienie ut przez (t=1, ..., N) w wektorze y* (et – reszty)

Przykład Progowy model kursu walutowego Model liniowy

Wybór zmiennej progowej Można też stosować kryterium informacyjne

Wyniki oszacowań i testów

Wyniki oszacowań i testów

Dodatkowe statystyki

Wyniki oszacowań i testów

Wyniki oszacowań i testów