Niepewności pomiarowe, cz. I Wykład II Niepewności pomiarowe, cz. I

Plan wykładu o błędzie pomiarowym; przedział niepewności pomiarowej; błąd systematyczny; model deterministyczny.

Zawsze możemy oszacować niedokładność wyniku pomiaru. O błędzie pomiaru Pomiar jest operacją niedokładną, to znaczy wynik pomiaru wielkości mierzonej* różni się od jej wartości prawdziwej. Równość estymaty i wartości estymowanej jest zdarzeniem wyjątkowym, a fakt jego zajścia pozostaje nieznany. Zawsze możemy oszacować niedokładność wyniku pomiaru. Oznacza to, że zawsze można określić „odległość” pomiędzy znanym wynikiem pomiaru, a nieznaną wartością prawdziwą wielkości mierzonej. Szacowanie niedokładności pomiaru jest jedną z podstawowych czynności, która powinna być wykonywana w procesie mierzenia. *inaczej mezurand (ang. measure) – wielkość mierzona; wielkość fizyczna będąca przedmiotem pomiaru.

O błędzie pomiaru Aby opisać różnicę pomiędzy znanym wynikiem pomiaru a nieznaną wartością prawdziwą wielkości mierzonej posługujemy się następującymi pojęciami podstawowymi: błąd bezwzględny Dx – jest to różnica między wartością mierzoną x a wartością rzeczywistą wielkości mierzonej xr , wyrażona w jednostkach wielkości mierzonej: (1) błąd względny dx - jest to stosunek błędu bezwzględnego do wartości rzeczywistej wielkości mierzonej i zwykle wyraża się go w procentach (2) poprawka p - błąd bezwzględny ze znakiem przeciwnym (3)

Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement Przedział niepewności pomiarowej W 1986 r. Międzynarodowy Komitet Miar - Comité International des Poids et Mesures (CIPM) zalecił wszystkim uczestnikom prac wykonywanych pod jego auspicjami ocenianie niedokładności pomiaru za pomocą niepewności. W 1993 r. Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna - Intemational Organization for Standardization (ISO), występując w imieniu siedmiu organizacji międzynarodowych działających w dziedzinie metrologii, elektrotechniki, chemii, fizyki i normalizacji, wydała Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement GUM stanowi kompendium wiedzy na temat niepewności pomiaru. W dalszej części wykładu będę używał nazwy „Przewodnik”.

Przedział niepewności pomiarowej Joint Committee for Guides in Metrology (JCGM) http://www.bipm.org/utils/common/documents/jcgm/JCGM_100_2008_E.pdf

Przedział niepewności pomiarowej Niepewność jest obecnie stosowana przez wytwórców sprzętu pomiarowego do opisu niedokładności swoich produktów. Niepewność jest zdefiniowana w Przewodniku jako: parametr, związany z wynikiem pomiaru, charakteryzujący rozrzut wartości, który można w uzasadniony sposób przypisać wielkości mierzonej.

leży ona wewnątrz przedziału niepewności. Przedział niepewności pomiarowej Wyróżniamy dwa modele niedokładności pomiaru: model deterministyczny oraz model losowy. Model deterministyczny zakłada, że prawdziwa wartość mierzona jest nieznana, ale wiadomo o niej, że leży ona wewnątrz przedziału niepewności.

Przedział niepewności pomiarowej Model ten zakłada także, że powtarzanie pomiaru daje zawsze takie same wartości, obarczone takim samym błędem prawdziwym, nieznanym co do wartości, tzn.: estymata (ang. estimate – ocenić) jest niezmienna, błąd prawdziwy jest niezmienny (ale pozostaje nieznany), błąd graniczny jest niezmienny, przedział niepewności wyniku pomiaru jest niezmienny. Błąd szacowany według tego modelu nazywamy błędem systematycznym.

Przedział niepewności pomiarowej W modelu deterministycznym, głównym elementem opracowania wyniku pomiaru jest wyznaczenie granicznego błędu pomiaru. Błąd graniczny pomiaru wyznaczany jest na podstawie danych o stosowanych przyrządach pomiarowych. Model deterministyczny niedokładności pomiaru przyjmowany jest wtedy, gdy powtarzanie pomiarów w warunkach powtarzalności prowadzi do wszystkich wyników identycznych lub prawie identycznych.

Przedział niepewności pomiarowej Warunki powtarzalności pomiaru występują wtedy, gdy zachowana jest: ta sama procedura pomiaru, ten sam obiekt mierzony, te same warunki otoczenia, ten sam obserwator, ten sam przyrząd pomiarowy. Za wyniki prawie identyczne uznaje się te, dla których moduły wszystkich różnic pomiędzy poszczególnymi wynikami są znacznie mniejsze od granicznego błędu pomiaru obliczonego przy założeniu modelu deterministycznego.

Przedział niepewności pomiarowej Wartość zmierzona wielkości mierzonej x różni się od jej wartości prawdziwej xr . Oznacza to, że wynik pomiaru jest liczbą przybliżoną, a więc może być interpretowany jako przedział, wewnątrz którego znajduje się wartość prawdziwa wielkości mierzonej xr. Przedział ten nazywamy przedziałem niepewności wyniku pomiaru. Najczęściej przyjmuje się, że jest to przedział symetryczny, tzn.: (4) W ogólności, wynik pomiaru wielkości mierzonej x podawany jest w postaci: (5)

Przedział niepewności pomiarowej Wartości nazywamy błędami granicznymi lub granicami błędu (ew. niepewnościami granicznymi lub niepewnościami rozszerzonymi). Wynik pomiaru na tle przedziału niepewności: (a) wartość prawdziwa xr wielkości mierzonej leży wewnątrz przedziału niepewności wyniku pomiaru; (b) błąd prawdziwy x leży wewnątrz przedziału niepewności błędu. a) Dx b)

Przedział niepewności pomiarowej Błąd zdefiniowany równaniem (1) nazywamy prawdziwym błędem pomiaru. Mieści się on w przedziale (6) który nazywamy przedziałem niepewności błędu pomiaru. Błąd prawdziwy względny: (7) Błąd graniczny względny: (8)

Model deterministyczny Pomiar bezpośredni to pomiar, w którym estymatę wielkości mierzonej wyznacza się wprost ze wskazania przyrządu pomiarowego. Błąd pomiaru bezpośredniego ma następujące składowe: błąd instrumentalny wnoszony przez zastosowany przyrząd pomiarowy, błąd metody powodowany nieidealnym sprzężeniem informacyjnym między przyrządem a obiektem mierzonym, błąd odczytu popełniany przez człowieka przy odczytywaniu wskazania przyrządu.

Model deterministyczny Błąd odczytu wskazania przyrządu cyfrowego jest równy zeru. Błąd odczytu wskazania przyrządu analogowego jest zwykle wliczany do błędu granicznego określonego w danych przyrządu. Błąd metody zależy od szczegółowych warunków pomiaru.

Model deterministyczny Błąd instrumentalny Dx można traktować jako błąd systematyczny. Błąd instrumentalny jest nieznany co do wartości, lecz wiadomo o nim, że spełnia warunek: (9) gdzie jest granicznym błędem przyrządu pomiarowego określonym przez producenta.

Model deterministyczny Każdy miernik z natury jest niedokładny, wskazanie miernika xw różni się od wartości prawdziwej xr wielkości mierzonej. Producent gwarantuje, że błąd wskazania miernika nie przekracza podanej przez niego wartości błędu granicznego!

Model deterministyczny 11.50mm 4.88mm

Model deterministyczny Dla elektrycznych mierników analogowych graniczny błąd bezwzględny i graniczny błąd względny są określone przez klasę dokładności k przyrządu. Klasa dokładności przyrządu jest granicznym błędem bezwzględnym wyrażonym w procentach wielkości jego zakresu. Wyraża się wzorem: (10) Norma polska PN 84/E 06501 Mierniki elektryczne analogowe o działaniu bezpośrednim i ich przybory ustala następujące klasy dokładności: 0.05; 0.1; 0.2; 0.5; 1; 1.5 i 2.5 Klasę dokładności podaje się przeważnie na skali przyrządu pomiarowego.

Model deterministyczny klasa

Model deterministyczny Dla mierników cyfrowych graniczny błąd pomiaru określa się jako sumę: błędu dRx (podanego w procentach) uzależnionego od wartości mierzonej (wskazanej), oraz błędu dFSx wynikającego z braku pewności co do n ostatnich jednostek (kwantów) wskazania cyfrowego. Drugi składnik błędu granicznego jest wyrażony wzorem: gdzie: Nmax oznacza zwiększoną o jeden największą liczbę wskazywaną przez miernik (bez uwzględniania przecinka).

Model deterministyczny Graniczny błąd przyrządu cyfrowego zapisuje się często korzystając ze wzoru: gdzie: rdg (ang. reading) oznacza wartość mierzoną odczytaną z miernika, natomiast dgt (ang. digit) oznacza wartość ostatniej cyfry danego pomiaru. Graniczny błąd bezwzględny oraz względny pomiaru dla tak opisanego miernika cyfrowego wynoszą odpowiednio: (11) gdzie: N - wskazanie cyfrowe wartości mierzonej bez uwzględnienia przecinka, zaś q = Xmax / Nmax.

Model deterministyczny Przykład I Woltomierz analogowy o zakresie [0; 200 V] i klasie dokładności 0.5 wskazał: (1) 297 V, (2) 128 V, (3) 85 V, (4) 14 V Obliczyć graniczne błędy pomiaru bezwzględne i względne oraz podać wyniki pomiaru w pełnej postaci. Graniczny bezwzględny błąd pomiaru jest jednakowy dla wszystkich pomiarów i wynosi DmaxU = 0.005 x 300 V = 1.5 V Graniczne względne błędy pomiaru są różne dla różnych pomiarów, oblicza się je z (10). (1) U = 297,0 V ± 1,5 V U [295,5 V; 298,5 V] δ maxU = 0,505% ≈ 0,5% (2) U = 128,0 V ± 1,5 V U [126,5 V; 129,5 V] δ maxU = 1,172% ≈ 1,2% (3) U = 85,0 V ± 1,5 V U [ 83,5 V; 86,5 V] δ maxU = 1,765% ≈ 1,8% U = 14,0 V ± 1,5 V U [ 12,5 V; 15,5 V] δ maxU=10,714% ≈ 10,8%

Model deterministyczny Z powyższego przykładu widać, że niedokładność pomiaru zależy od wyboru zakresu miernika. Im wskazanie jest bliższe końca zakresu, tym mniejszy graniczny względny błąd pomiaru.

Model deterministyczny Przykład II Woltomierz czterocyfrowy (9999) o błędzie 0.05% rdg + 5 dgt (o dekadowo zmienianych zakresach) wskazał na zakresie pomiarowym 10V: (1) 9,912 V, (2) 5,228 V, (3) 0,119 V. Obliczyć bezwzględne i względne graniczne błędy pomiaru oraz podać wyniki pomiaru w pełnej postaci. Zakres wskazań woltomierza wynosi Nmax = 104 V (9999+1), zaś wartość jego ostatniej cyfry, q = 10–3 V. Graniczne błędy pomiaru, bezwzględny i względny, oblicza się z (11): (1) maxU = 9,95610–3 V  1010–3 V U = (9,912  0,010)V maxU = 0,1004%  0,1% (2) maxU = 7,61410–3 V  810–3 V U = (5,228  0,008) V maxU = 0,1456%  0,15% (3) maxU = 5,50610–3 V  610–3 V U = (0,119  0,006) V maxU = 4,2517%  4,26%

Model deterministyczny