Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Sterowalność i obserwowalność Obok stabilności – dwa podstawowe pojęcia teorii i inżynierii sterowania Przykład 1 Mamy system Liniowy, stacjonarny, 1 – wejście, 1 - wyjście

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2 Transmitancja Zera i bieguny transmitancji Transmitancja po redukcji

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3 Schemat blokowy modelu przestrzeni stanu

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4 Transformacja do postaci diagonalnej Schemat blokowy modelu w nowej przestrzeni stanu

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5 Cztery różne statusy zmiennych stanu: - v 1  można na niego wpływać sterowaniem u i można go obserwować z wyjścia y - v 2  nie można na niego wpływać sterowaniem u, ale można go obserwować z wyjścia y - v 3  można na niego wpływać sterowaniem u, ale nie można go obserwować z wyjścia y - v 4  nie można na niego wpływać sterowaniem u, ani nie można go obserwować z wyjścia y

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6 Można wyróżnić cztery podsystemy: - związany ze zmienną stanu v 1  sterowalny i obserwowalny - związany ze zmienną stanu v 2  niesterowalny, ale obserwowalny - związany ze zmienną stanu v 3  sterowalny, ale nieobserwowalny - związany ze zmienną stanu v 4  niesterowalny i nieobserwowalny Stany niesterowalne i nieobserwowalne mogą być alb stabilne, albo niestabilne System, którego wszystkie stany niesterowalne są stabilne jest nazywany stabilizowalnym System, którego wszystkie stany nieobserwowalne są stabilne jest nazywany wykrywalnym

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7 Sterowalność i osiągalność Sterowalność/osiągalność określa możliwości wpływania na stan (lub wyjście) systemu odpowiednim ukształtowaniem wejścia Ogólnie wyróżnia się dwa określenia sterowalności: 1. Sterowalność do początku (controllability-to-the-origin), nazywana krócej sterowalnością (controllability) 2. Sterowalność od początku (controllability-from-the-origin), nazywana krócej osiągalnością (reachability) Ograniczymy się do zapoznania się z podstawowymi wynikami znanymi dla systemów liniowych, a w szczególności stacjonarnych

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8 Dla systemów liniowych stacjonarnych mówimy: Stan x 0 nazywamy sterowalnym, jeżeli istnieje wejście, które przeprowadza stan systemu x(t) z stanu x 0 do stanu zerowego w pewnym skończonym czasie T Stan zerowy osiągany ze stanu x 0 przy zastosowaniu różnych wejść u 1 (t) i u 2 (t), w różnych skończonych czasach T 1 i T 2 oraz po różnych trajektoriach

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9 Dla systemów liniowych stacjonarnych mówimy: Stan x 1 nazywamy osiągalnym, jeżeli istnieje wejście, które przeprowadza stan systemu x(t) z stanu zerowego do stanu x 1 w pewnym skończonym czasie T Stan x 1 osiągany ze stanu zerowego przy zastosowaniu różnych wejść u 1 (t) i u 2 (t), w różnych skończonych czasach T 1 i T 2 oraz po różnych trajektoriach

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10 Stan sterowalny Stan systemu liniowego jest sterowalny, jeżeli można system przeprowadzić z tego stanu do stanu Sterowalność stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest sterowalny, mówimy, że system jest całkowicie sterowalny lub krócej sterowalny Systemy ciągłe

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11 do stanu zerowego jest sterowalny w skończonym przedziale czasu, jeżeli istnieje wejście, które przeprowadzi system z dowolnego stanu System sterowalny System liniowy Sterowalność systemu Jeżeli istnieje chociaż jeden stan systemu, który jest niesterowalny, wówczas system jest niesterowalny

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12 Sterowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny (twierdzenie SSC LS1) jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz sterowalności, nazywana macierzą sterowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Wymiar macierzy sterowalności: nxnp; n – wymiar stanu, p – wymiar wejścia Dla p=1 macierz sterowalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia sterowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy sterowalności

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13 Przykład 2: Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Konstruujemy macierz sterowalności

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14 Stąd Dla sprawdzenia sterowalności policzymy wyznacznik zatem System jest niesterowalny (względem stanów)

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15 Lewa górna podmacierz macierzy sterowalności ma wyznacznik różny od zera, zatem Przykład 3. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16 Transmitancja systemu Konstruujemy macierz sterowalności stąd

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17 Macierz sterowalności jest niezależna od współczynników licznika transmitancji systemu Wyznacznik macierzy sterowalności Wyznacznik macierzy sterowalności nie zależy od współczynników wielomianu charakterystycznego a 0, a 1 oraz a 2, zatem system o takiej strukturze jest zawsze sterowalny względem stanu

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18 Przykład 4 – powrót do przykładu 1 Konstruujemy macierz sterowalności Dwa stany sterowalne, dwa niesterowalne

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19 Przykład 5 Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Macierz sterowalności System sterowalny

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20 Przykład 6 Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Macierz sterowalności System sterowalny

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21 Inne testy sterowalności systemów ciągłych Dodatek A

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22 Sterowalność a przekształcenia podobieństwa Sterowalność zostaje zachowana podczas transformacji podobieństwa

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23 Stan osiągalny Stan systemu liniowego jest osiągalny, jeżeli można system przeprowadzić do tego stanu ze stanu Osiągalność stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest osiągalny, mówimy, że system jest całkowicie osiągalny lub krócej osiągalny

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24 ze stanu zerowego Jest osiągalny w skończonym przedziale czasu, jeżeli istnieje wejście, które przeprowadzi system do dowolnego stanu System osiągalny System liniowy Osiągalność systemu Jeżeli istnieje chociaż jeden stan systemu, który nie jest osiągalny, wówczas system jest niesterowalny

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25 Osiągalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny (twierdzenie OSC LS1) jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz osiągalności, nazywana macierzą osiągalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Dla systemów ciągłych sterowalność i osiągalność są równoważne

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26 Możemy tą równoważność wypowiedzieć też w następujący sposób: Jeżeli system ciągły posiada cechę sterowalności stwierdzoną w oparciu o podane wyżej twierdzenie, to oznacza to, że będziemy mogli znaleźć trajektorię wejścia, która będzie przemieszczać system z dowolnego stanu początkowego do dowolnego stanu końcowego System ciągły sterowalny  system ciągły osiągalny

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27 Systemy dyskretne Przykład 7. Rozważmy system dyskretny Równania dla poszczególnych stanów maja postać: W świetle podanej definicji system jest sterowalny, bo: Weźmy dowolny stan Wybierając sterowanie

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28 Przeprowadzimy system do stanu dla Zatem system jest sterowalny, w świetle podanej definicji Drugi stan jest równy zero dla wszystkichniezależnie od przyłożonego wejścia i nie można go przeprowadzić gdziekolwiek indziej System nie posiada zatem cechy osiągalności Wniosek z przykładu: Można wskazać systemy dyskretne posiadające cechę sterowalności, ale nie posiadające cechy osiągalności Uzasadnione jest zatem w odniesieniu do systemów dyskretnych stwierdzać posiadanie cechy osiągalności

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29 System dyskretny sterowalny  system dyskretny osiągalny W ogólności zatem Implikacja ta zachodzi jednak tylko dla przypadków, gdy A D jest osobliwa, w przeciwnym przypadku podobnie jak dla systemów ciągłych System dyskretny sterowalny  system dyskretny osiągalny

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30 Stan osiągalny Stan systemu liniowego jest osiągalny, jeżeli można system przeprowadzić do tego stanu ze stanu Osiągalność stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest osiągalny, mówimy, że system jest całkowicie osiągalny lub krócej osiągalny

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31 Osiągalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz osiągalności, nazywana macierzą osiągalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Wymiar macierzy osiągalności: nxnp; n – wymiar stanu, p – wymiar wejścia Dla p=1 macierz osiągalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia osiągalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy osiągalności Twierdzenie OSD LS1

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32 Dla systemów dyskretnych sterowalność i osiągalność nie są równoważne Sterowalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy, gdy macierz sterowalności, nazywana macierzą sterowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Twierdzenie SSD LS1

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33 Inne testy sterowalności systemów dyskretnych Dodatek B

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34 Sterowalność wyjścia Twierdzenie SW LS1 Wyjście liniowego systemu stacjonarnego ciągłego jest sterowalne wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierz o wymiarze qxnp jest równy q (q – wymiar przestrzeni wyjścia)

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35 Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36 Dodatek A Inne testy sterowalności systemów ciągłych

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37 Zwykle i-ty wektor własny odpowiadający i-tej wartości własnej macierzy A jest definiowany Ze względu na porządek mnożenia, tak określony wektor własny v i jest nazywany prawostronnym wektorem własnym Podobnie można zdefiniować lewostronny wektor własny w i Dokonując transpozycji Widać: lewostronne wektory własne A są prawostronnymi wektorami własnymi A T

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38 System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem lewostronny wektor własny macierz A, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz A nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz B Twierdzenie SSC LS2

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39 System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze nx(n+p) ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara s Twierdzenie SSC LS3 Test sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40 Przykład 7 – powrót do przykładu 1 Test sterowalności Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a Lewostronne wektory własne dla

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41 Patrząc na nietrudno spostrzec, że System jest niesterowalny

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz B nie ma wierszy zerowych Twierdzenie SSC LS4

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43 Przykład 6. Układ elektryczny; wejście – napięcie u, wyjście - prąd y Budowa modelu Równania bilansowe Zależność wiążąca Różniczkując zależność wiążącą i podstawiając do drugiego równania bilansowego

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44 Wybierając zmienne stanu Równania stanu Równanie wyjścia System z natury ma diagonalną strukturę – możemy zastosować Twierdzenie 4 jeżeli wartości własne są jednokrotne

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45 Wartości własne Ponieważ obydwa wiersze macierzy B są zawsze niezerowe – system jest sterowalny, jeżeli tylko wartości własne są jednokrotne Macierz testu Kalmana

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 46 Wyznacznik macierzy Kalmana Jeżeli wartości parametrów elementów układu Równania stanu Równanie wyjścia Wartość własna dwukrotna

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 47 Wyznacznik macierzy Kalmana Schemat blokowy układu Równania stanu są niezależne Odpowiedzi stanu gdzie,, x 10 i x 20 – warunki początkowe

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 48 Do stanu końcowego Można doprowadzić system tylko ze stanów początkowych a nie ze wszystkich

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 49 Dodatek B Inne testy sterowalności systemów dyskretnych

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 50 System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem lewostronny wektor własny macierz A D, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz A D nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz B D Twierdzenie OSD LS2

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 51 System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze nx(n+m) ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara z Twierdzenie OSD LS3 Test sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a

Systemy dynamiczne 2014/2015Sterowalność - osiągalność  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 52 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz B D nie ma wierszy zerowych Twierdzenie OSD LS4