Funkcje

SPIS TREŚCI Układ współrzędnych Co to jest funkcja? Zbiór wartości a przeciwdziedzina Miejsce zerowe funkcji Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa Przykłady innych funkcji Przykłady funkcji z życia codziennego Autorzy Bibliografia

Układ Współrzędnych Podstawowymi elementami układu współrzędnych są dwie osie prostopadłe do siebie: oś rzędnych(y) i oś odciętych(x). Miejscem przecięcia tych prostych nazywamy początkiem układ współrzędnych (0,0). Przykład

Przykładowy układ współrzędnych... I ĆWIARTKA II III IV oś odciętych oś rzędnych Powrót

Liczbie naturalnej przyporządkowujemy jej liczbę przeciwną: FUNKCJA- dowolne przyporządkowanie przypisujące każdemu elementowi x ze zbioru X dokładnie jeden element y ze zbioru Y. Przykłady funkcji: Liczbie naturalnej przyporządkowujemy jej liczbę przeciwną: tabelka graf X Y l. naturalna (x) l.przeciwna (y) 2 -2 26 -26 55 -55 99 -99 456 -456 2 -26 26 -2 55 -456 456 -55 99 -99 2,26,55,99,456- elementy X Dalej -2,-26,-55,-99,-456- elementy Y

FUNKCJA LICZBOWA- to taka funkcja, której argumenty i wartości są liczbami. Dziedzina funkcji (zbiór argumentów) Przeciwdziedzina 2 26 55 99 456 -26 -2 -456 -99 -55 X Y -8 -5 Zbiór wartości funkcji Funkcje oznacza się małymi literami np. y, h, f, g, itd. Dziedzina funkcji X= {2,26,55,99,456}; Zbiór wartości Y= {-2,-26,-55,-99,-456} Sposób zapisu powyższej funkcji: y = -x lub f (x) = -x Powrót

Czym różni się zbiór wartości od przeciwdziedziny? Przeciwdziedzina to zbiór wszystkich wartości danej funkcji tj. zbiór na jaki dana funkcja odwzorowuje swoją dziedzinę. Zbiór wartości - to ogół tych elementów przeciwdziedziny Y, które zostały przyporządkowane elementom zbioru X. X Y Zbiór wartości Y= {-2;-26;-55;-99;-456} 2 -26 -5 26 -2 -8 55 -456 456 -55 Przeciwdziedzina Y={-2;-5;-8 ;-26;-55;-99;-456} 99 -99 Powrót

Miejsce zerowe funkcji (x0)- jest to liczba dla której wartość funkcji (y) jest równa 0. Jak obliczamy miejsce zerowe funkcji? I. Funkcja y = 2x + 5, musimy znaleźć taki x aby y równało się 0. Najłatwiej podstawić za y 0 i rozwiązać równanie, czyli: 0=2x+5 /-5 -5=2x /:2 x=-5/2=-2,5 x0= -2,5 – miejsce zerowe funkcji II. Funkcja f (x)= 5x-10 0=5x-10 /+10 10=5x /:5 x0=2 – miejsce zerowe funkcji III. Funkcja y = 4x-16 0=4x-16 /+16 16=4x x0=4 – miejsce zerowe funkcji Dalej

Miejsce zerowe na wykresie- współrzędna punktu wspólnego wykresu z osią x. Powrót

y = ax. (a nie równa się 0) i x,y należą do R Proporcjonalność prosta- funkcja wyrażająca się wzorem y = ax. (a nie równa się 0) i x,y należą do R Liczbę a nazywamy współczynnikiem proporcjonalności. Jak sama nazwa mówi jest to funkcja gdzie wartości zmieniają się wprost proporcjonalnie, czyli jak np. jeden z argumentów zwiększymy trzykrotnie to wartość funkcji tez wzrośnie trzykrotnie (proporcjonalnie). Przykład

Kilka przykładowych funkcji proporcjonalności prostej. Wykres proporcjonalności prostej przechodzi przez punkt (0;0) i jest linią prostą. Kilka przykładowych funkcji proporcjonalności prostej. Powrót

Funkcja liniowa Co to jest funkcja liniowa Funkcja liniowa rosnąca i malejąca Wartości dodatnie i ujemne funkcji Przecięcie wykresu z osią y Proste równoległe i prostopadłe Podsumowanie Spis treści

Funkcja liniowa- jest to funkcja liczbowa o wzorze ogólnym y = ax + b, określona na zbiorze liczb rzeczywistych, gdzie a i b są danymi liczbami. y = 2x + 3 y = -2x-3 Powrót

Funkcja rosnąca- wraz ze wzrostem argumentów (x) wzrasta wartość funkcji (y). y = 3x - 1 y = 2x + 2 Widać jak na dłoni, że przy dodatnim współczynniku a funkcja liniowa jest rosnąca. y = 3x + 3 Dalej

Funkcja malejąca- wraz ze wzrostem argumentów (x) maleje wartość funkcji liniowej. y = -3x + 3 y = -2x + 1 Przy ujemnym współczynniku kierunkowym a funkcja liniowa jest malejąca. Powrót

Wartości dodatnie i ujemne.. O wartościach ujemnych lub dodatnich mówimy w zależności od tego czy są mniejsze bądź większe od 0. Tzn. jeżeli „y” jest większe od zera ma wartość dodatnią i na odwrót. Można wyznaczyć zbiór argumentów (x) rozwiązując nierówność y(x) < 0 lub y(x) > 0 w zależności od zbioru wartości (y). Powrót

Zwróćmy uwagę na punkt przecięcia wykresu z osią y y = -2x + 2 y = x - 4 Jest to współrzędna odpowiadająca współczynnikowi b ze wzoru funkcji. Powrót

Proste równoległe Dwie proste w układzie współrzędnych będącym funkcjami liniowymi są do siebie równoległe gdy posiadają taki sam współczynnik „a”. Dalej

Proste prostopadłe Wykresy dwóch funkcji liniowych o wzorach np. y=ax+b i y=cx+d są do siebie prostopadłe gdy spełniają warunek a=- 1/c (współczynnik kierunkowy jest odwrotny i przeciwny do współczynnika drugiej funkcji). Powrót

PODSUMOWANIE - funkcja liniowa y = ax + b Gdy współczynnik a > 0 funkcja jest rosnąca, gdy a < 0 funkcja liniowa jest malejąca. Współczynnik b decyduje o miejscy przecięcia wykresu z osią y. Wykresy funkcji są równoległe gdy mają ten sam współczynnik a. Wykresy funkcji liniowej są do siebie prostopadłe, gdy ich współczynniki są do siebie odwrotne i przeciwne. Powrót

Proporcjonalność odwrotna x nie może równać się 0 (w poniższym wykresie a=1) Proporcjonalność odwrotna Dalej

Wykresem tej funkcji jest hiperbola. Przykłady Jeżeli współczynnik a jest dodatni wykres leży w I i III ćwiartce układu współrzędnych, Jeżeli współczynnik a jest ujemny wykres leży w II i IV ćwiartce układu współrzędnych, Wykresem tej funkcji jest hiperbola. Przykłady Długość fali świetlnej jest odwrotnie proporcjonalna do jej częstotliwości. Długości boków prostokąta o stałym polu są odwrotnie proporcjonalne. Wróć Dalej

a wynosi –0.1 (jest ujemne) i dlatego wykres leży w II i IV ćwiartce a wynosi –0.1 i wykres leży blisko osi układu współrzędnych Dalej

a wynosi 5 (jest dodatnie) i dlatego wykres leży w I i III ćwiartce a wynosi 5 i wykres leży daleko od osi układu współrzędnych Dalej

y=x2 Wykresem funkcji y=x2 jest krzywa zwana parabolą. Punkt o współrzędnych (0,0) jest wierzchołkiem tej paraboli. Dalej

Funkcja y=ax2 Dalej

Jeżeli wartości są ujemne ramiona paraboli są skierowane w dół. Jeżeli wartości współczynników a są dodatnie, ramiona paraboli są skierowane w górę. Jeżeli wartości są ujemne ramiona paraboli są skierowane w dół. Wróć Powrót POPRZEDNI SLAJD SPIS TREŚCI

Chociaż nie zdajemy sobie z tego sprawy z funkcjami spotykają się praktycznie wszyscy, każdego dnia. Na parkingu każdy samochód ma przyporządkowane dokładnie jedno miejsce z określonym numerem. Każdy dom bądź blok, na danej ulicy, ma przyporządkowany dokładnie jeden numer . Jest to konieczne np. do nadawania listów. Dalej

W każdej klasie wszyscy uczniowie mają dokładnie po jednym numerze w dzienniku co ułatwia stawianie ocen, podziały na grupy oraz kodowanie np. egzaminów. W czasie rajdu każdy samochód ma przyporządkowany dokładnie jeden numer do dokładniejszego prowadzenia statystyk i wyników, a także do wygodniejszego oglądania zawodów. Dalej

Za pomocą funkcji prostoliniowej y=x utworzymy wykres, z którego odczytamy poszukiwaną przez nas prędkość samochodu, pod warunkiem że pojazd porusza się ze stałą szybkością. Jeśli tak jest wystarczy za wartość y podstawić drogę(s), a za x czas(t) i otrzymujemy jeden z najprostszych sposobów na wskazanie prędkości nie tylko tego auta, ale wszelakich pojazdów... Dalej

Prędkość spadającego pionowo pocisku wzrasta stopniowo pod wpływem siły grawitacji. Można ją tu obliczyć korzystając tylko ze wzoru V=at, który nie jest niczym innym jak funkcją liniową. Oczywiście za wartość y podstawiono prędkość V, a za x czas t. Zadanie współczynnika „a” pełni tutaj tzw przyspieszenie ziemskie: 9,81m/s2. Dalej

Podczas przecen produktów w sklepach konieczne jest skorzystanie z funkcji. Np. jeśli ceny wszystkich rzeczy obniża się o 20%, aby obliczyć ich nowe wartości trzeba skorzystać z funkcji y=(100%-20%)x, czyli y=80%x gdzie: x- stara cena y – nowa cena Dalej

Dzięki funkcji możemy również zamienić obowiązujące u nas stopnie Celsjusza na angielskie stopnie Fahrenheita : Gdy przez y oznaczymy stopnie Fahrenheita, a przez x stopnie Celsjusza to układając prosty wzór funkcji: y=1,8x+32 możemy w prosty sposób zamieniać jednostki z Celsjuszów na Fahrenheity. Powrót

Bibliografia podr. „Matematyka z elementami informatyki w gimnazjum” część 2 do klasy 1 gimn. http://www.wsp.krakow.pl/ibe/websites/funkcje/wartosci.htm http://pl.wikipedia.org/wiki/Strona_g%C5%82%C3%B3wna Wszystkie wykresy zostały wykonane przez autorów prezentacji za pomocą programu „Graph”. Tabelki i grafy również zostały wykonane przez autorów prezentacji za pomocą programu Microsoft PowerPoint. Powrót

Mateusz Bocian Marcin Gugała Łukasz Wójcik Tomasz Żelazko Autorzy Mateusz Bocian Marcin Gugała Łukasz Wójcik Tomasz Żelazko Gimnazjum Nr 2 w Otwocku Koniec Spis treści