Co to jest dystrybuanta?

Dystrybuanta empiryczna Dystrybuantą empiryczną nazywamy funkcję określoną na podstawie danych (xi, wi), dla i = 1, 2, ..., k następująco: gdzie xi – to uporządkowane niemalejąco wartości badanej cechy, wi – odpowiadające im częstości względne.

Przykład. Sprawdzono 20 stron maszynopisu znajdując na nich następujące liczby błędów: 0 3 1 1 2 2 0 0 3 5 0 1 2 2 1 1 0 1 1 1 Dla cechy tej tworzymy szereg rozdzielczy. Obliczamy częstości względne, liczebności skumulowane oraz częstości względne skumulowane. Wyniki przedstawia tablica

Częstości względne skumulowane Liczba błędów ni Liczebności skumulowane Częstości względne wi =ni/n Częstości względne skumulowane 5 0,25 1 8 13 0,40 0,65 2 4 17 0,20 0,85 3 19 0,10 0,95 20 0,05

Dystrybuanta empiryczna ma postać

Dystrybuanta empiryczna Dystrybuanta empiryczna jest funkcją niemalejącą, przyjmującą wartości z przedziału [0, 1].

Częstości względne skumulowane Jak należy interpretować dystrybuantę? Podobnie jak interpretuje się częstości względne skumulowane. Fn(2) = 0,85 oznacza, że 85% stron maszynopisu zawiera 2 lub mniej błędów. Liczba błędów ni Liczebności skumulowane Częstości względne wi =ni/n Częstości względne skumulowane 5 0,25 1 8 13 0,40 0,65 2 4 17 0,20 0,85 3 19 0,10 0,95 20 0,05

Kiedy badana cecha jest zmienną losową?. Badana cecha, czyli w tym przypadku liczba błędów na 1 stronie może być zmienną losową, jeśli można obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo, że na jednej stronie pojawi się 0, 1, 2, 3, 4 lub 5 błędów.

Zgodnie z prawem wielkich liczb, jeśli liczebność próby dąży do nieskończoności, to prawdopodobieństwo, że badana cecha przyjmie daną wartość jest równe częstości względnej P(X=xi)=wi Jeśli wyznaczymy te prawdopodobieństwa wówczas dla zmiennej losowej dyskretnej zdefiniujemy funkcję prawdopodobieństwa.

Dystrybuanta zmiennej losowej X skokowej Dla zmiennej losowej skokowej – dyskretnej- dystrybuanta jest funkcją, obliczaną na podstawie wartości x1, ..., xn, przyjmowanych z prawdopodobieństwem p1, ..., pn wg wzoru

Dystrybuantą zmiennej losowej X Dystrybuantą nazywamy funkcję F(x) określoną na zbiorze liczb rzeczywistych tak by F(x) = P(X  x)

Własności dystrybuanty zmiennej losowej skokowej 0  F(x)  1 F(x) jest funkcją prawostronnie ciągłą. F(x) jest funkcją niemalejącą i przedziałami stałą

Zmienna losowa dyskretna i ciągła Przykład 1. Przebadano krew 1000 osób pod względem liczby białych krwinek – leukocytów. Ich liczba wahała się od 4-7 tys./ mm³. W tym przypadku badana cecha przyjmuje tylko wartości całkowite, liczba tych wartości jest skończona i wynosi ok. 3 tys. Wprawdzie można obliczyć prawdopodobieństwo, z jakim zmienna losowa przyjmuje każdą z tych wartości, ale wygodniej analizować ją jak zmienną losową ciągłą.

Przykład 2. Przebadano krew 1000 kobiet pod względem liczby czerwonych ciałek krwi – erytrocytów. Stwierdzono, że ich liczba wahała się od 3 mln do 5 mln/ mm³. Badana cecha przyjmuje wartości całkowite, ale wartości tych jest ok. 2mln. W tym przypadku zmienna losowa traktowana musi być jako zmienna losowa ciągła.

Przykład 3. Zbadano stężenie cholesterolu u 2000 osób które przekroczyły 60 lat. Otrzymano wyniki z przedziału od 120 mg/dl do 360 mg/dl. W tym przypadku liczba wartości, które może przyjmować zmienna losowa czyli stężenie cholesterolu jest nieskończenie wiele.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa. Dla zmiennej losowej ciągłej nie można więc obliczyć prawdopodobieństwa, że zmienna losowa przyjmuje konkretną wartość a to oznacza, że nie można wyznaczyć funkcji prawdopodobieństwa tak jak to jest w przypadku zmiennej losowej dyskretnej. Można tylko obliczyć, jakie jest prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość z pewnego przedziału. Funkcja do obliczania tego prawdopodobieństwa nazywana jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa.

Histogram częstości

Zmienna losowa ciągła.

Funkcja gęstości rozkładu Jeśli zwiększamy liczbę pomiarów, histogram częstości dąży do wykresu tzw. funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa.

Funkcja gęstości – właściwości Funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa pozwala obliczać prawdopodobieństwo znalezienia zmiennej losowej w dowolnym przedziale.

Funkcja gęstości

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa Zatem funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej f(x) określona na zbiorze liczb rzeczywistych, ma następujące własności 1. jest dodatnia f(x)  0 2dla dowolnych a<b

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa Własności:

Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej Jeśli f(x) jest funkcją gęstości zmiennej losowej X to dystrybuanta F(x) jest równa

Wykres dystrybuanty Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej jest funkcją ciągłą, rosnącą, przyjmującą wartości od 0 do 1.

Wyznaczanie prawdopodobieństwa z dystrybuanty P(a < X  b ) = P(X  b) – P(X  a) = F(b) – F(a)

Dystrybuanta jednoznacznie określa rozkład zmiennej losowej Dystrybuanta jednoznacznie określa rozkład zmiennej losowej. Jeśli dana jest funkcja gęstości można wyznaczyć dystrybuantę i odwrotnie. Jeśli dana jest dystrybuanta można wyznaczyć funkcję gęstości.

Własności Mając dystrybuantę można wyznaczyć funkcję gęstości.

Własności funkcji prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej ciągłej