STABILITY & BUCKLING

Equilibrium Lex I. Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1687 First law of Newton dynamics: The velocity of a body remains constant unless the body is acted upon by an external force.

The set within inertial reference frame composed of: Stability The set within inertial reference frame composed of: Ball of mass m Structure model Small disturbances Equilibrium Potential energy Increment of potential energy Neutral P=const DP=0 Stable P=Pmin DP>0 Unstable P=Pmax DP<0 Safe! Collapse!

Stability and buckling Loss of stability possible Loss of stability possible Loss of stability possible New stability state Tensile force Pt Compressive force Pc Pcritical Stable equilibrium Irreversible failure under tension max Pt Irreversible failure under compression max Pc Buckling

Euler buckling w P<Pcr P<Pcr w w(x) Pcr Jy = Jmin X l X l Z Z Y

Euler buckling Boundary conditions: ( ) x w 0 ! = ( ) kl A l w sin =

l l/2 l/3

Different boundary conditions   0.7  1  2 l  2  0.5

Euler buckling Euler hyperbola Bar slenderness:

Non-elastic buckling or: Johnson-Ostenfeld parabola Euler hyperbola Johnson-Ostenfeld parabola Dla: Tetmajer-Jasiński line or:

stop

Równowaga konstrukcji P < Pkr P > Pkr równowaga stateczna P  Pkr obojętna niestateczna JG Tak długo, jak P<Pkr pręt zachowuje się w sposób „stateczny”, tzn. znajduje się w stanie początkowej równowagi prostoliniowej. Wówczas, gdy siła osiągnie wartość krytyczną Pkr pręt traci stateczność (ulega wyboczeniu), a jego ugięcia mogą być dowolnie duże. Wyboczenie jest to zatem utrata przez ściskany pręt stanu równowagi statecznej na rzecz równowagi obojętnej lub niestatecznej.

Równowaga konstrukcji III II Rys. 17.1 AB I III II Rys. 17.1 Jeżeli po dowolnie małym wychyleniu z pierwotnego położenia równowagi ruch ciała jest taki, że wychylenia jego punktów nie są większe tych początkowych to taką równowagę nazywamy stateczną (trwałą). W przeciwnym przypadku równowaga jest niestateczna (nietrwała, chwiejna). Można jeszcze wyróżnić szczególne położenie równowagi zwane równowagą obojętna w której punkty ciała pozostają w położeniu po wychyleniu. Opisaną sytuację można zobrazować traktując konstrukcję jako ciężką kulkę w różnych warunkach podparcia znajdującą się w potencjalnym polu sił (rys. 17.1). Równowadze statecznej I odpowiada minimum energii potencjalnej układu, a w równowadze chwiejnej III maksimum. W stanie równowagi obojętnej II wartość energii potencjalnej przy dowolnie małym wychyleniu pozostaje stała.