ZBIORY PODSTAWY

Ogólne definicje zbiorów zbiór jest to zespół (całość) składająca się z elementów (mniejszych części) 2 podstawowe rodzaje zbiorów to zbiór w sensie kolektywnym (agregat) i zbiór w sensie dystrybutywnym (zbiór w sensie logicznym). zbiór w sensie kolektywnym to całość składająca się z jakiś części będących jej elementami. Np. zbiór „Himalaje” składa się ze wszystkich gór wchodzących w skład łańcucha górskiego Himalajów zbiór w sensie dystrybutywnym to zespół elementów posiadających tę samą cechę (można również powiedzieć: opisanych za pomocą tego samego predykatu jednoargumentowego). Np. zbiór „Himalaje” składa się tylko z jednego elementu: górskiego łańcucha Himalajów logika zajmuje się tylko zbiorami w sensie dystrybutywnym i dalej będzie mowa tylko o takich zbiorach. Dział logiki zajmujący się zbiorami nazywa się teorią mnogości (mnogość w staropolskim to zbiór)

Symbole zbiory oznacza się najczęściej za pomocą dużych liter X, Y, Z (czasami również A, B, C), jeśli zabraknie nam liter alfabetu, możemy zastosować dodatkowe oznaczenia, np. Z1, Z2, Z3, X1, X2, Z’ itd. zbiory dzieli się na: zbiór pusty oznaczany symbolem , uniwersum oznaczane symbolem U, zbiory jednoelementowe, zbiory dwuelementowe, zbiory wieloelementowe uniwersum oznaczane symbolem U to zbiór wszystkich zbiorów (wszystkich istniejących obiektów), uniwersum jest dopełnieniem zbioru pustego (i na odwrót) zbiory jedno lub więcej elementowe można zapisać w postaci nawiasu okrągłego w którym wyliczone są jego elementy, np. (a), (a,b), (a,b,c) itd. (zapis taki stosujemy, jeśli te elementy są określone; jeśli elementy są nieokreślone, wówczas stosuje się zapis za pomocą liter x, y, z) w zapisach formalnych teorii zbiorów pojawiają się często symbole „” i „”, np. „a  Z”. Są to predykaty dwuargumentowe „należy do” oraz „nie należy do” (w tym ostatnim przypadku jest to predykat dwuargumentowy połączony z negacją)

Relacje (stosunki) pomiędzy zbiorami identyczność: zbiory są identyczne ze sobą, jeśli wszystkie elementy mają te same element x należy do zbioru Z, wtedy i tylko wtedy, gdy element x należy również do zbioru Y; jeśli element x należy do zbioru Z, to element x należy do zbioru Y, i jeśli element x należy do zbioru Y, to element x należy do zbioru Z. Z = Y ≡ /\x(x  Z ≡ x  Y) Z = Y ≡ /\x[(x  Z → x  Y)  (x  Y → x  Z)] Np. zbiór studentów (x jest studentem) identyczny jest ze zbiorem uczniów szkół wyższych (x jest uczniem szkoły wyższej)

Relacje (stosunki) pomiędzy zbiorami podrzędność: zbiór Z jest podrzędny do (zawiera się w) zbioru Y, wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru Z należą do zbioru Y, ale nie wszystkie elementy zbioru Y należą do Z Z  Y ≡ /\x(x  Z → x  Y)  \/x(x  Z  x  Y) Uwaga: dla tego typu relacji stosuje się również zapis w postaci symbolu  (tzw. inkluzji właściwej), gdyż zawierają się w sobie również zbiory ze sobą identyczne) Np. zbiór studentów (x jest studentem) jest podrzędny do zbioru uczniów (x jest uczniem)

Relacje (stosunki) pomiędzy zbiorami nadrzędność: zbiór Y jest nadrzędny do zbioru Z, wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru Z należą do zbioru Y, ale nie wszystkie elementy zbioru Y należą do Z Y  Z ≡ /\x(x  Z → x  Y)  \/x(x  Z  x  Y) Uwaga: dla tego typu relacji stosuje się również zapis w postaci symbolu , gdyż nadrzędne do siebie są również zbiory ze sobą identyczne) Np. zbiór uczniów (x jest uczniem) jest nadrzędny do zbioru studentów (x jest studentem)

Relacje (stosunki) pomiędzy zbiorami krzyżowanie się: zbiór Z krzyżuje się ze zbiorem Y, wtedy i tylko wtedy gdy istnieją elementy które należą do Z i do Y, istnieją elementy które należą do Z ale nie należą do Y, i istnieją elementy które należą do Y ale nie należą do Z Z krzyżuje się z Y ≡ [\/x(x  Z  x  Y)  \/x(x  Z  x  Y)  \/x(x  Z  x  Y)] Np. zbiór studentów (x jest studentem) krzyżuje się ze zbiorem mieszkańców Głogowa (x jest mieszkańcem Głogowa)

Relacje (stosunki) pomiędzy zbiorami wykluczanie się: zbiór Z wyklucza się ze zbiorem Y, wtedy i tylko wtedy gdy nie mają one żadnych elementów wspólnych Z )( Y ≡ ~ \/x(x  Z  x  Y) Z )( Y ≡ /\x{[x  Z → ~ (x  Y)]  [(x  Y → ~ (x  Z)]} Z )( Y ≡ /\x[(x  Z → x  Y)  (x  Y → x  Z)] Np. zbiór studentów (x jest studentem) wyklucza się ze zbiorem mieszkańców Biskupina w epoce brązu (x jest mieszkańcem Biskupina w okresie brązu)

Relacje (stosunki) pomiędzy zbiorami ćwiczenia ustal zależności pomiędzy następującymi zbiorami: (1) Z – delfiny; Y - ssaki morskie: podrzędność, bo wszystkie delfiny są jednocześnie ssakami morskimi ale nie wszystkie ssaki morskie są jednocześnie delfinami, jeśli jednak weźmiemy pod uwagę, że niektóre delfiny żyją w Amazonce, to wówczas będzie to krzyżowanie się (2) Karpaty - Z; Tatry - Y: wykluczanie się, bo obydwa zbiory są jednoelementowe a jednocześnie Karpaty to nie to samo co Tatry (3) Polacy - Z; studenci - Y: krzyżowanie się, bo niektórzy, ale nie wszyscy, Polacy są studentami i na odwrót (4) kwiaty - Z; uczniowie - Y: wykluczanie się, bo żaden kwiat nie jest studentem i żaden student nie jest kwiatem (5) łysi – Z; okularnicy – Y: krzyżowanie się, bo niektórzy łysi, ale nie wszyscy, są okularnikami, i niektórzy okularnicy, ale nie wszyscy, są łysymi

Działania na zbiorach suma dwóch zbiorów: x należy do sumy zbiorów Z i Y wtedy i tylko wtedy gdy x należy do zbioru Z lub x należy do zbioru Y /\x(x  Z  Y ≡ x  Z  x  Y) Np. do sumy zbiorów studentów (x jest studentem) i mieszkańców Głogowa (x jest mieszkańcem Głogowa) należą wszystkie osoby będące albo studentem, albo mieszkańcem Głogowa (albo jedno i drugie)

Działania na zbiorach iloczyn dwóch zbiorów: x należy do iloczynu zbiorów Z i Y wtedy i tylko wtedy gdy x należy do zbioru Z i x należy do zbioru Y /\x(x  Z  Y ≡ x  Z  x  Y) Np. do iloczynu zbiorów studentów (x jest studentem) i mieszkań-ców Głogowa (x jest mieszkańcem Głogowa) należą wszystkie osoby będące jednocześnie studentem i mieszkańcem Głogowa

Działania na zbiorach różnica dwóch zbiorów: x należy do różnicy zbiorów Z i Y wtedy i tylko wtedy gdy x należy do zbioru Z i x nie należy do zbioru Y /\x(x  Z - Y ≡ x  Z  x  Y) Np. do różnicy zbiorów studentów (x jest studentem) i mieszkań-ców Głogowa (x jest mieszkańcem Głogowa) należą wszystkie osoby będące studentami i nie będące mieszkańcami Głogowa

Działania na zbiorach dopełnienie zbioru: x należy do dopełnienia zbioru Z wtedy i tylko wtedy gdy x należy do uniwersum i nie należy do zbioru Z dopełnienie danego zbioru oznaczamy symbolem danego zbioru plus znaczek „’ ”, np. Y’ to dopełnienie zbioru Y /\x(x  Z’ ≡ x  U  x  Z) Np. do dopełnienia zbioru studentów (x jest studentem) należą wszystkie obiekty nie będące studentami

Działania na zbiorach - ćwiczenia ustal sumę, iloczyn, różnicę (Z – Y) i dopełnienie sumy dla następujących zbio-rów: (1) Z – delfiny; Y - ssaki morskie: suma = wszystkie ssaki morskie (jeśli założy-my, że wszystkie delfiny to również ssaki morskie, jeśli uwzględnić delfiny żyjące w Amazonce, wówczas sumą będzie zbiór wszystkich ssaków morskich oraz delfinów słodkowodnych); iloczyn = wszystkie delfiny żyjące w morzu; różnica = delfiny słodkowodne; dopełnienie = wszystkie obiekty nie będące ssakami morskimi i delfinami słodkowodnymi (2) Karpaty - Z; Tatry - Y: suma = zbiór dwuelementowy którego elementami są Karpaty i Tatry; iloczyn = Karpaty; różnica = zbiór pusty; dopełnienie = wszystkie obiekty nie będące Karpatami i Tatrami (3) Polacy - Z; studenci - Y: suma = wszyscy Polacy oraz wszyscy studenci; iloczyn = wszyscy polscy studenci; różnica = wszyscy Polacy nie będący studentami; dopełnienie = wszystkie obiekty nie będące Polakami i studentami (4) kwiaty - Z; uczniowie - Y: suma = wszystkie kwiaty i wszyscy uczniowie; iloczyn = zbiór pusty; różnica = wszystkie kwiaty; dopełnienie = wszystkie obiekty nie będące kwiatami i uczniami (5) łysi – Z; okularnicy – Y: suma = wszyscy łysi i okularnicy; iloczyn = wszyscy łysi okularnicy; różnica = wszyscy łysi; dopełnienie = wszystkie obiekty nie będące łysymi i okularnikami