Teoriogrowe modele popromiennego efektu sąsiedztwa (bystander effect) Andrzej Świerniak, Michał Krześlak Politechnika Śląska Instytut Automatyki

Evolucyjne Gry Strategie - fenotypy Wypłaty – miary przystosowania (fitness) aij –zysk lub koszt osobnika działajacego i –tą strategią w spotkaniu z osobnikiem stosującym stragię j–tą Macierz wypłat

Simpleks

Wypłaty średni zysk i w populacji x średni zysk x w populacji x średni zysk y w populacji x

Jastrzębie –gołębie (John Maynard-Smith) Strategie Nasha Strategie mieszane Nasha Strategie ewolucyjnie stabilne Dynamika replikatorów

Jastrzębie i gołębie (Hawks and Doves) V/2 - C/2 V V/2

Jastrzębie i gołębie (Hawks and Doves) V/2 - C/2 O V V/2

Jastrzębie i gołębie (Hawks and Doves) Równowaga Nasha U nas

Jastrzębie i gołębie (Hawks and Doves) I przypadek: V > C zostają same „jastrzębie” (równowaga Nasha) II przypadek: V < C ustala się równowaga pomiędzy „jastrzębiami” i „gołębiami” (mieszana strategia Nasha?)

Mieszana strategia Nasha U nas

ESS (ewolucyjnie stabilne strategie) x-ESS 1. E(x,x) ≥ E(p,x) dla każdego p  Sn (warunek równowagi) 2. E(x,x) = E(p,x)  E(x,p) > E(p,p) dla każdego x ≠ p, p  Sn (warunek stabilności) Pierwszy warunek oznacza, że x jest punktem równowagi Nasha dla gry opisanej macierzą A

Dynamika replikatorów Pojawia się problem znalezienia „odpowiedniej dynamiki” dla gier ewolucyjnych, to jest dynamiki, która opisywałaby ewolucję stanu populacji w czasie. I pojawia się drugi problem: czy dla takiej dynamiki stany ewolucyjnie stabilne (ESS) będą asymptotycznie stabilnymi punktami równowagi?

Dynamika replikatorów Hofbauer, J., Schuster, P., Sigmund, K. (1979), Replicator dynamics. J. Theor. Biol. 100: 533-538. dla i = 1,...,n (W przypadku 2 fenotypów wystarczy 1 równanie). Twierdzenie: x - ESS  x – asymptotycznie stabilny punkt równowagi dla równania (*)

Model interakcji między komórkami nowotworowymi(Tomlinson, Bodmer, 1997) Strategia 1 p Strategia 2 q Strategia 3 r z-e-f+g z-h z-f 0.95 0.9 0.7 z-e z 0.65 1 z-e+g 1.25 Strategie p-produkcja cytotoksyny q-odporność r-neutralność Fitness z- podstawowy koszt spotkania e – koszt produkcji cytotoksyny f – wynik zarażenia cytotoksyną g – zysk z zarażenia innej komórki h – koszt odporności

do przypadku dimorfizmu fenotypowego, jest bardzo trudna. Równania replikatorów są równaniami nieliniowymi i ich analiza, w przeciwieństwie do przypadku dimorfizmu fenotypowego, jest bardzo trudna. Przykładowo dla wielkości X, w przypadku ogólnym, mamy zależność: Strategie X Y Z A D G B E H C F I

Model interakcji między komórkami nowotworowymi

Model interakcji między komórkami nowotworowymi Strategia 1 p Strategia 2 q Strategia 3 r z-e-f+g z-h z-f 0.25 0.6 0.2 z-e z 0.5 1 z-e+g 1.05 Strategie p-produkcja cytotoksyny q-odporność r-neutralność Fitness z- podstawowy koszt spotkania e – koszt produkcji cytotoksyny f – wynik zarażenia cytotoksyną g – zysk z zarażenia innej komórki h – koszt odporności

Model interakcji między komórkami nowotworowymi

Bystander effect(s) Popromienny efekt sąsiedztwa: Indukcja efektów popromiennych przez czynniki i sygnały emitowane przez komórki bezpośrednio napromieniane Pozytywny i negatywny skutek obniżony poziom przeżycia, uszkodzenia cytogenetyczne, wzrost poziomu apoptozy, zmiany ekspresji genów, niestabilność genetyczna, indukcja nowotworów 2-go rzutu i inne.

Model interakcji dla efektu sąsiedztwa Strategia 1 X Strategia 2 Y Strategia 3 Z 1-k 1-i+j-p 1-p 1-k+j 1-i+j 1+j 1 Strategie X-zejście na szlak apoptozy Y-produkcja czynnikow wzrostu i mutacji Z-brak reakcji Fitness k – koszt zejścia do apoptozy /zysk z efektu sąsiedztwa i – koszt produkcji czynników wzrostu j – zysk z czynników wzrostu p – koszt/zysk z odporności na efekt sąsiedztwa

0<1-k/p-(j-i)/j<1 0<(j-i)/j+k/p<1 Warunki polimorfizmu: 0<X<1 0<k/p<1 0<Y<1 0<(j-i)/j<1 i<j 0<Z<1 0<1-k/p-(j-i)/j<1 0<(j-i)/j+k/p<1

- parametry: i=0.2, j=0.7, k=-0.05, p=-0.4 Przykłady stabilnego polimorfizmu:

Przykład dla parametrów: i=0.6, j=0.5, k=0.2, p=0.4 Dla parametrów: i=0.4, j=0.8 oraz pary parametrów k=0.1, p=0.4 i k=-0.1, p=-0.4 punkt ten jest określony wartościami: X=0.25, Y=0.5, Z=0.25. Natomiast przebiegi w przestrzeni fazowej są następujące: Przykład dla parametrów: i=0.6, j=0.5, k=0.2, p=0.4

Podsumowanie Modele jakościowe, a nie ilościowe. Wskazują na potencjalne bogactwo możliwych zachowań Możliwość rozbudowania Zależność od dawki Modele przestrzenne Asymetria , Modele progowe