3. Proste przyrządy optyczne POMIARY OPTYCZNE 1 3. Proste przyrządy optyczne Damian Siedlecki

Lupa to najprostszy przyrząd optyczny, dający obraz pozorny, powiększony i prosty. Aperturę lupy ogranicza źrenica oka. Pole widzenia zależy od położenia oka względem lupy. LUPA

LUPA Kąt, pod jakim widzimy przedmiot okiem „nieuzbrojonym” 𝐷≈25cm Odległość dobrego widzenia - odległość, dla której oko ludzkie widzi ostry obraz o maksymalnie dużym powiększeniu, ale nie musi akomodować („przystosowywać się”) do widzenia w odległości innej, niż wynika z „fizjologicznego” ustawienia mięśni oka. 𝐷≈25cm tg𝛼= ℎ 𝐷 LUPA

LUPA Kąt, pod jakim widzimy przedmiot okiem „uzbrojonym” w lupę: tg𝛼′= ℎ′ 𝐿 LUPA

LUPA Powiększenie kątowe lupy: 𝛤= tg𝛼′ tg𝛼 = ℎ′ 𝐿 ℎ 𝐷 = 𝐷 𝐿 ℎ′ ℎ = 𝐷 𝐿 − 𝑠′ 𝑠 1 𝑠 + 1 𝑠′ = 1 𝑓′ 𝐷 𝐿 − 𝑠′ 𝑠 = 𝐷 𝐿 − 𝑠 ′ 1 𝑓 ′ − 1 𝑠 ′ = 𝐷 𝐿 1− 𝑠′ 𝑓′ LUPA

LUPA Powiększenie kątowe lupy: 𝛤= 𝐷 𝐿 + 𝐷 𝑓′ 𝛤= 𝐷 𝑓′ 𝛤= 𝐷 𝑓′ +1 Dla oka umieszczonego zaraz za lupą (𝑙=0) 𝛤= 𝐷 𝐿 + 𝐷 𝑓′ Dla przedmiotu umieszczonego w ognisku (𝐿=∞): 𝛤= 𝐷 𝑓′ Dla obrazu powstającego w odległości dobrego widzenia: 𝛤= 𝐷 𝑓′ +1 LUPA

Luneta to przyrząd, służący do obserwacji przedmiotów dużych, ale odległych – luneta tworzy obraz tego przedmiotu pomniejszony, ale w bliższej odległości od oka. Składa się z obiektywu (układ o dużej ogniskowej i dużej średnicy) i okularu (układ o małej ogniskowej i małej średnicy). LUNETA

Układ lunety jest układem teleskopowym = bezogniskowym (ognisko obrazowe obiektywu pokrywa się (niemal) z ogniskiem przedmiotowym okularu. LUNETA

Powiększenie wizualne lunety: 𝛤= 𝑓 𝑜𝑏 ′ 𝑓 𝑜𝑘 ′ LUNETA

LUNETA Bieg promieni – aperturowego i polowego – w lunecie Keplera: Powiększenie wizualne lunety równe jest stosunkowi średnic źrenic: wejściowej, którą tworzy zwykle przesłona aperturowa, będąca oprawą obiektywu i wyjściowej, którą jest źrenica oka. Wielkość źrenicy oka (2-8 mm) decyduje więc o aperturze i jasności lunety. LUNETA

Typy lunet: - astronomiczne refraktory (Keplera) – dwa układy soczewkowe, zbierające; - astronomiczne reflektory – układy zwierciadlane; - ziemskie (nieodwracające) – z dodatkową soczewką pomocniczą, - odwracającą obraz (też: lornetki); - ziemskie (holenderskie) Galileusza – z okularem rozpraszającym.  Luneta ziemska typu Galileusza: Dwa układy: - skupiający obiektyw (jak w astronomicznej); - rozpraszający okular (dzięki temu obraz jest pozorny, ale nie odwrócony). LUNETA

LUNETA Bieg promieni – aperturowego i polowego – w lunecie Galileusza:  W lunecie tej nie można ograniczać apertury oprawą obiektywu. Obraz tej oprawy jest pozorny i powstaje pomiędzy obiektywem i okularem. Jedynym ograniczeniem jest więc zawsze źrenica oka! Oprawa obiektywu pełni teraz rolę przysłony polowej.  Ze względów konstrukcyjnych (korekcja aberracji dla układów rozpraszających jest trudniejsza) lunety ziemskie mają zwykle dużo mniejsze powiększenia od astronomicznych. LUNETA

Mikroskop to przyrząd do obserwacji przedmiotów małych, znajdujących się blisko obserwatora. Składa się ze skupiającego obiektywu o krótkiej ogniskowej, który daje rzeczywisty, powiększony i odwrócony obraz przedmiotu i okularu, również skupiającego, który pełni rolę lupy, przez która oglądamy obraz dawany przez obiektyw. MIKROSKOP

MIKROSKOP Powiększenie mikroskopu: Γ=− 𝑑𝐷 𝑓 𝑜𝑏 ′ 𝑓 𝑜𝑘 ′ Γ=− 𝑑𝐷 𝑓 𝑜𝑏 ′ 𝑓 𝑜𝑘 ′ 𝑑 - długość tubusu (ok. 17cm) MIKROSKOP

MIKROSKOP Γ= 𝛽 𝑜𝑏 Γ 𝑜𝑘 =− 𝑑+Δ 𝑓 𝑜𝑏 ′ 𝐷 𝑓 𝑜𝑘 ′ ≈− 𝑑𝐷 𝑓 𝑜𝑏 ′ 𝑓 𝑜𝑘 ′  Obiektyw daje obraz rzeczywisty, odwrócony, powiększony: 𝛽 𝑜𝑏 =− 𝑑+Δ 𝑓 𝑜𝑏 ′  Okular działa jak lupa. Jego powiększenie wizualne wynosi: Γ 𝑜𝑘 = 𝐷 𝑓 𝑜𝑘 ′  Całkowite powiększenie typowego mikroskopu jest równe: Γ= 𝛽 𝑜𝑏 Γ 𝑜𝑘 =− 𝑑+Δ 𝑓 𝑜𝑏 ′ 𝐷 𝑓 𝑜𝑘 ′ ≈− 𝑑𝐷 𝑓 𝑜𝑏 ′ 𝑓 𝑜𝑘 ′  W typowym mikroskopie maksymalne powiększenia są nie większe niż 2000 (obiektyw x100, okular x16). Większe powiększenia uzyskać trudno ze względu na dyfrakcję światła na soczewkach. W przypadku dużych obiektywów (x100) stosuje się ciecze immersyjne w celu zwiększenia kąta aperturowego. Apertura numeryczna obiektywu: 𝑁𝐴=𝑛 sin 𝑢 MIKROSKOP

Ważnym elementem mikroskopu jest jego układ oświetlający Ważnym elementem mikroskopu jest jego układ oświetlający. Elementem odpowiedzialnym za geometrię wiązki oświetlającej jest kondensor. Stosowane są powszechnie dwa typy oświetlenia przedmiotu: przy oświetleniu krytycznym obraz źródła światła (włókno żarówki oświetlacza) odwzorowany jest w płaszczyźnie przedmiotu. Oświetlenie krytyczne umożliwia zmianę apertury mikroskopu poprzez zmianę apertury kondensora. Aby preparat był oświetlony równomiernie, włókno żarówki oświetlacza musi być rozciągłe i mieć stałą luminancję na całej powierzchni. MIKROSKOP

Przy oświetleniu typu Köhlera źródło światła odwzorowane jest w płaszczyźnie przysłony aperturowej obiektywu. Układ Köhlera pozwala na równomierne oświetlenie przedmiotu Dodatkowy kolektor K1 odwzorowuje źródło światła na płaszczyznę aperturową kondensora. Obie przesłony – aperturowa i polowa – znajdują się w układzie kolektor-kondensor. MIKROSKOP

MIKROSKOP Teoria Abbego: teoria dyfrakcyjna używana do opisu sposobu powstawania obrazu w mikroskopie: Oświetlacz typu Köhlera tworzy równoległą wiązkę światła, padającą na obserwowany obiekt (płaszczyzna 0); Pole widzenia ograniczone jest przez przysłonę DP; Przysłona DA ogranicza rozbieżność kątową wiązki oświetlającej. MIKROSKOP

Założenie: Obserwowanym przedmiotem jest sinusoidalna siatka o częstości przestrzennej 𝜈= 1 𝑋 𝑜 której transmitancja (przepuszczalność) opisana jest wzorem: 𝑡 𝑥 =𝐴+𝐵 cos 2𝜋𝜈𝑥 Jak ZAPEWNE PAMIĘTACIE (???), płaska fala, padając na tak określoną strukturę, tworzy dwie wiązki ugięte pod kątami zależnymi od częstości przestrzennej przedmiotu: tan 𝜃 =±𝜈𝜆  W płaszczyźnie ogniskowej obrazowej obiektywu 1 wiązki te skupiają się, tworząc obraz dyfrakcyjny przedmiotu. Obserwujemy trzy punkty (reprezentujące trzy fale): - środkowy, reprezentujący „zerową” częstość przestrzenną, czyli tło; - dwa boczne punkty, reprezentujące częstość przestrzenną . Te trzy fale tworzą następnie obraz „podobny” do przedmiotu w płaszczyźnie 0’ MIKROSKOP

Uogólnienie: Jeśli nawet przedmiot nie jest sinusoidalną siatką, możemy przyjąć że jest periodyczny z okresem X0 i zastosować rozkład Fouriera do jego transmitancji: 𝑡 𝑥 = 𝑇 0 + 𝑚=1 ∞ 𝑇 𝑚 ′ cos 2𝜋𝑚𝑥 𝑋 0 + 𝑚=1 ∞ 𝑇 𝑚 ′′ sin 2𝜋𝑚𝑥 𝑋 0  Fala świetlna, padająca na taki przedmiot, ulega dyfrakcji i tworzy szereg fal płaskich, ugiętych pod kątami: tan 𝜃 𝑚 =±𝑚𝜆𝜈 , 𝑚=±1,±2,…  Każda z tych wiązek po przejściu przez obiektyw skupia się w jego tylnej płaszczyźnie ogniskowej w innej odległości od osi: 𝜉 𝑚 = 𝑓 𝑜𝑏 ′ tan 𝜃 𝑚 =𝑚 𝑓 𝑜𝑏 ′ 𝜆𝜈  W płaszczyźnie tej tworzy się więc obraz dyfrakcyjny przedmiotu – szereg punktów świecących o natężeniach zależnych od współczynników w rozwinięciu Fouriera. Z dodania (interferencji) tych fal powstaje obraz geometryczny (w płaszczyźnie 0’ ). MIKROSKOP

MIKROSKOP 𝜏 𝜈 = −∞ +∞ 𝑡 𝑥 exp − 2𝜋𝑖 𝜆𝑓′ 𝑥𝜈 𝑑𝑥  Nawet w przypadku przedmiotu nieperiodycznego możemy zastosować transformatę Fouriera. Fala płaska, padająca na przedmiot o dowolnej transmitancji amplitudowej t(x), ulega dyfrakcji i w płaszczyźnie ogniskowej obrazowej soczewki odwzorowującej otrzymujemy rozkład amplitudy świetlnej, opisany transformatą Fouriera: 𝜏 𝜈 = −∞ +∞ 𝑡 𝑥 exp − 2𝜋𝑖 𝜆𝑓′ 𝑥𝜈 𝑑𝑥 Przejście światła od płaszczyzny obrazu dyfrakcyjnego do płaszczyzny obrazu geometrycznego opisuje odwrotne przekształcenie Fouriera: 𝑡 ′ 𝑥 𝑜𝑏 = −∞ +∞ 𝜏 𝜈 exp − 2𝜋𝑖 𝜆 𝑧 𝑜𝑏 𝜈 𝑥 𝑜𝑏 𝑑𝜈 a więc obraz jest podobny do przedmiotu. MIKROSKOP

Jak dotychczas, otrzymane wyniki (tworzenie obrazu) są analogiczne do tych, osiągniętych za pomocą teorii geometrycznej! Na czym więc polegają różnice (ograniczenia) teorii dyfrakcyjnej? Nawet wtedy, gdy apertura obiektywu jest bardzo duża, jest ona zawsze skończona. Nie wszystkie wiązki światła, ugięte na przedmiocie, trafią więc do obiektywu i zostaną skupione w płaszczyźnie obrazu dyfrakcyjnego. Oznacza to, że w drugiej części procesu tworzenia obrazu (transformata odwrotna) weźmie udział tylko skończona liczba fal składowych. Obliczanie odwrotnej transformaty Fouriera odbędzie się w skończonych granicach a więc otrzymany wynik musi się różnić od „idealnego”. Pewna część informacji o przedmiocie, zawarta w składowych harmonicznych o wysokich częstościach przestrzennych nie zostanie odtworzona w obrazie. MIKROSKOP

MIKROSKOP 𝑢 0 = arcsin (𝜈𝜆) 𝑑= 𝜆 𝐷 2 𝑧 W szczególności, gdy przedmiotem będzie siatka periodyczna o jednej, stałej częstości przestrzennej 0, to wiązki światła ugięte na tej strukturze trafią do obiektywu a następnie wezmą udział w tworzeniu obrazu tylko wtedy, gdy apertura obiektywu będzie równa co najmniej: 𝑢 0 = arcsin (𝜈𝜆) Ma ona związek ze zdolnością rozdzielczą obiektywu – często wyrażaną przez najmniejszą odległość d między dwoma odwzorowanymi punktami: 𝑑= 𝜆 𝐷 2 𝑧 gdzie D/2z jest połówkowym kątem aperturowym obiektywu. MIKROSKOP

Tak więc obraz dawany przez obiektyw o skończonych rozmiarach jest zawsze rozmyty. Rozmycie to powstaje jako wynik dyfrakcji światła na ograniczeniu, jakim jest przesłona aperturowa (źrenica wejściowa) tego obiektywu.  Obrazem punktowego przedmiotu jest więc nie punkt, ale plamka o skończonych rozmiarach, zwana punktową funkcją rozmycia. W przypadku istnienia w układzie aberracji, wpływają one również na kształt tej plamki i dlatego nazywamy ją także plamką aberracyjną.  Dyfrakcyjna teoria odwzorowania wyjaśnia oczywiście sposób powstawania obrazu nie tylko w mikroskopie. Na przykład obrazem dalekiej gwiazdy (punkt!) w lunecie jest punktowa funkcja rozmycia równa obrazowi dyfrakcyjnemu (dalekiego pola) źrenicy wejściowej. MIKROSKOP

MIKROSKOP ℎ 𝑥 ′ = 𝐽 1 𝜋𝐷𝑥′ 𝜆𝑓′ 𝜋𝐷𝑥′ 𝜆𝑓′  Przykład: Dla źrenicy kołowej o średnicy D amplitudową punktową funkcją rozmycia jest krążek Airy’ego: ℎ 𝑥 ′ = 𝐽 1 𝜋𝐷𝑥′ 𝜆𝑓′ 𝜋𝐷𝑥′ 𝜆𝑓′ Rozkład natężenia światła w obrazie punktu nazywamy natężeniową punktową funkcją rozmycia, np. (dla źrenicy kołowej): 𝐻 𝑥 ′ = ℎ(𝑥′) 2 = 𝐽 1 2 𝜋𝐷𝑥′ 𝜆𝑓′ 𝜋𝐷𝑥′ 𝜆𝑓′ 2 MIKROSKOP

MIKROSKOP 𝐻 𝜉 =𝐻 𝜉−𝛽 Δ 2 +𝐻 𝜉+𝛽 Δ 2 Dla niewielkich przesunięć możemy z dobrym przybliżeniem przyjąć, że obrazem dwóch punktów leżących w niewielkiej odległości  od siebie jest suma dwóch identycznych punktowych funkcji rozmycia, przesuniętych względem siebie o wielkość zależną od  i od powiększenia poprzecznego układu . Jeśli przedmiot jest oświetlony niekoherentnie, to dodają się natężeniowe funkcje rozmycia: 𝐻 𝜉 =𝐻 𝜉−𝛽 Δ 2 +𝐻 𝜉+𝛽 Δ 2 Gdy odległość między punktami jest zbyt mała, plamki aberracyjne nakładają się, uniemożliwiając rozróżnienie poszczególnych punktów. MIKROSKOP

Kryterium rozdzielczości Kryterium rozdzielczości Rayleigha orzeka, że bezaberracyjny układ optyczny umożliwi rozróżnienie dwóch punktów, jeżeli maksimum punktowej funkcji rozmycia jednego punktu przypadnie na pierwsze minimum dyfrakcyjne punktowej funkcji rozmycia drugiego punktu. Kryterium rozdzielczości

Kryterium rozdzielczości Przykład I: dla źrenicy kwadratowej o boku a odległość ta wynosi: 𝜃 𝑔𝑟 = 𝜆 𝑎 Zwana jest ona dwupunktową zdolnością rozdzielczą. Przykład II: dla źrenicy kołowej o średnicy D odległość ta wynosi: 𝜃 𝑔𝑟 =1.22 𝜆 𝐷 (liczba 1.22 wynika z warunku na minimum funkcji Bessela). W praktyce, granicę zdolności rozdzielczej wyznacza się, obserwując testy kreskowe, składające się z pól pokrytych układami równoległych i równoodległych linii. Kryterium rozdzielczości

Aparat fotograficzny służy do odwzorowania przedmiotu na kliszy fotograficznej za pomocą obiektywu. Przedmiot zwykle znajduje się daleko (tzn. odległość przedmiotowa jest dużo mniejsza niż ogniskowa obiektywu) więc obraz powstaje tuż za ogniskiem obrazowym. Aperturę obiektywu fotograficznego ogranicza regulowana przesłona irysowa w obiektywie. O polu widzenia decyduje wielkość kliszy. Aparat fotograficzny

Aparat fotograficzny 𝐸~ 𝐷 𝑓 2 1: 𝑓 𝐷 W procesie rejestracji obrazu ważna jest wielkość oświetlenia w płaszczyźnie kliszy. Oświetlenie to jest proporcjonalne do kwadratu odwrotności liczby otworowej N=f/D: 𝐸~ 𝐷 𝑓 2 Odwrotność liczby otworowej nazywana jest otworem względnym (jasnością) i zapisywana w postaci: 1: 𝑓 𝐷 Obiektyw fotograficzny powinien charakteryzować się dużym polem widzenia. Ważna jest też tzw. głębia ostrości. Im krótsza ogniskowa obiektywu, tym większa głębia ostrości. Aparat fotograficzny