Wytrzymałość materiałów (WM II – wykład 6)

SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW - II Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG e-mail: mger@pg.gda.pl Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Czwartki: 13.00-15.00

TEMATY WYKŁADÓW: … (zbiór dodatkowy) Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda trzech momentów - Zakres zastosowań - Równanie kanoniczne - Wyznaczanie współczynników równań kanonicznych. - Całkowanie graficzne – wzór Wereszczagina - Równanie trzech momentów   - Przykłady obliczeniowe - Przykłady praktyczne W PREZENTACJI WYKORZYSTANO MATERIAŁY AUTORSTWA: prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego

Podpory – brak przegubów !!! Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda trzech momentów Zakres zastosowań. Belki wieloprzęsłowe statycznie niewyznaczalne. Implementacje numeryczne. Rozwiązanie wieloprzęsłowych belek statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym stopniu przez dobranie odpowiedniego schematu podstawowego oraz zastosowanie szczególnej postaci metody sił zwanej metodą trzech momentów. Przęsła 1 i i+1 1 2 i-1 i i+1 N-1 N Podpory – brak przegubów !!! Liczba sił hiperstatycznych n=N-2

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda trzech momentów Rozważmy dowolnie obciążoną wieloprzęsłową belkę statycznie niewyznaczalną. Najbardziej dogodnym schematem zastępczym (podstawowym), będzie schemat, w którym przerwiemy ciągłość belki przez wprowadzenie przegubów nad podporami i przyjmiemy nadliczbowe niewiadome w postaci momentów podporowych. Rozważmy dwa sąsiednie, dowolnie wybrane przęsła belki li oraz li+1, o różnej sztywności Ei Ii, Ei+1 Ii+1, ale stałej na całej długości przęsła. Załóżmy także jako wiodący wpływ momentów (wpływ sił normalnych i poprzecznych w belce zginanej jest znikomy). Równanie kanoniczne metody sił dla n sił hiperstatycznym, podane w zapisie macierzowym można przedstawić w postaci – dla wiersza nr i

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda trzech momentów W każdym wierszu nr i tylko 3 współczynniki fij będą niezerowe, tzn. fi,i-1, fi,i, fi,i+1

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda trzech momentów Wyznaczanie współczynników równań kanonicznych.

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda trzech momentów Całkowanie graficzne – wzór Wereszczagina Wykres momentów gnących Mg Wykres Mg’ dla uogólnionej siły jednostkowej prosta y = ax + b Mgc’ = axc + b W - pole wykresu Mg Mg’ Mg C x xc

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda trzech momentów Xi-1 Xi Xi+1 Xi Ri-1,P Ri,L Ri,P Ri+1,L li li+1 ai bi + ai+1 bi+1 Wi Mg,i+1 Mgi Wi+1 Xi=1 ai /li bi+1/li+1 Xi=1 Mi Mi+1

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda trzech momentów Czyli

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda trzech momentów Xi-1 Xi Xi Xi+1 Ri-1,P Ri,L Ri,P Ri+1,L li li+1 li/3 2li/3 + 2li+1/3 li+1/3 Xi-1=1 li/2 li+1/2 Xi+1=1 Mi+1 Mi-1 2/3 Xi=1 2/3 1/3 1/3 Xi=1 li/2 li+1/2 Mi Mi

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda trzech momentów Czyli Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie trzech momentów

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda trzech momentów Przykład. Wyznaczyć wykres momentów gnących belki ciągłej. F EI=const. Fl x l l l l Rozwiązanie. Dokonujemy redukcji belki do postaci Fl Fl która daje możliwość zastosowania metody trzech momentów

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda trzech momentów X2 X3=0 Podpory skrajne X1=0 -Fl -Fl – – Mg1 Mg2 X2=1 + + M2 M2 czyli 2019-05-15 11:27:21

Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda trzech momentów Stąd otrzymamy a poszukiwany wykres momentów gnących Fl Fl – – + x Fl/2 Mg 2019-05-15 11:27:21

Dziękuję za uwagę !!! 2019-05-15 11:27:21