Wytrzymałość materiałów (WM I - 11) r.a. 2018/2019

SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG e-mail: mger@pg.gda.pl Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Środy: 13.00-15.00

Wykład W11: Wyznaczanie energii sprężystej, naprężeń i odkształceń prętów i układów prętowych – metody energetyczne: - Energia sprężysta układów prętowych - Energia sprężysta pręta rozciąganego - Energia sprężysta pręta skręcanego - Energia sprężysta pręta zginanego - Energia sprężysta pręta ścinanego - Energia sprężysta dla ogólnego przypadku obciążenia pręta - Energia sprężysta dla przypadku pręta zakrzywionego - Uwagi ogólne dotyczące obliczania energii sprężystej układów prętowych - Obliczania energii sprężystej układów prętowychprzy zastosowaniu „Twierdzenia Castigliano” (przykład obliczeniowy) - Obliczania energii sprężystej układów prętowychprzy zastosowaniu „Zasady minimum energii sprężystej Menabrei– Castigliano” (przykład obliczeniowy) - Przykłady zastosowań. Autorstwo poniższego wykładu: © Prof. Krzysztof Kaliński http://pg.edu.pl/288cd25679_miroslaw.gerigk/wizytowka

Metody energetyczne Energia sprężysta układów prętowych Energia sprężysta (V) jest równa pracy wykonanej przez siły zewnętrzne działające na dane ciało. Energia ta bywa również nazywana energią potencjalną lub energią odkształcenia. gdzie: F – siła działająca na ciało u – przemieszczenie wywołane przez siłę F dV – energia sprężysta elementarnego odcinka pręta o długości dx Do obliczenia pracy niezbędne jest przyjęcie założenia, że proces obciążania ciała siłami odbywa się qusi-statycznie tzn. że w każdej chwili musi być zachowana równowaga między siłami zewnętrznymi i wewnętrznymi. 2019-02-24 16:00:45

dx EA du N Energia sprężysta układów prętowych Energia sprężysta pręta rozciąganego dx du N EA 2019-02-24 16:00:45

Energia sprężysta układów prętowych Siła normalna N w pręcie rozciąganym (ściskanym) o długości dx wykonuje pracę na wydłużeniu (skróceniu) tego pręta du. Wartość tego wydłużenia określa prawo Hooke’a: stąd energia sprężysta elementarnego odcinka pręta: Natomiast energia sprężysta V w skończonym odcinku pręta o długości l: Jeśli N oraz EA nie zależą od x, to: 2019-02-24 16:00:46

GIs dj Ms dx Energia sprężysta układów prętowych Energia sprężysta pręta skręcanego Moment skręcający Ms w pręcie o przekroju kołowym o długości dx wykonuje pracę na kącie skręcenia dj: GIs dx dj Ms 2019-02-24 16:00:46

Energia sprężysta układów prętowych stąd energia sprężysta elementarnego odcinka pręta skręcanego: Natomiast energia sprężysta V w skończonym odcinku pręta o długości l: Jeśli Ms oraz Is nie zależą od x, to: 2019-02-24 16:00:46

r Mg EI dx Energia sprężysta układów prętowych Energia sprężysta pręta zginanego Moment gnący Mg w pręcie o długości dx wykonuje pracę na kącie ugięcia : dx EI r Mg 2019-02-24 16:00:46

Energia sprężysta układów prętowych stąd energia sprężysta elementarnego odcinka pręta zginanego: Natomiast energia sprężysta V w skończonym odcinku pręta o długości l: Jeśli Mg oraz I nie zależą od x, to: 2019-02-24 16:00:46

GA dvT T dx Energia sprężysta układów prętowych Energia sprężysta ścinanego pręta Siła poprzeczna (tnąca) T w pręcie o długości dx wykonuje pracę na ugięciu dvT: dx GA dvT T gdzie: b - bezwymiarowy współczynnik kształtu przekroju pręta: 2019-02-24 16:00:46

Energia sprężysta układów prętowych Energia sprężysta elementarnego odcinka pręta ścinanego: Natomiast energia sprężysta V w skończonym odcinku pręta o długości l: Jeśli T oraz GA nie zależą od x, to: 2019-02-24 16:00:46

h S z b A’ y Energia sprężysta układów prętowych Przykład: Wyznaczyć współczynnik b dla przekroju prostokątnego. W przypadku prostokąta o podstawie b i wysokości h. z y b h S A’ Pole powierzchni przekroju: A = bh, Szerokość pola powierzchni przekroju jest stała: b(y) = b = const, 2019-02-24 16:00:46

Uwaga: w literaturze jest błędny wynik. Energia sprężysta układów prętowych Pole powierzchni elementarnego wycinka: dA = bdy, Geometryczny moment bezwładności względem osi z: , Statyczny moment bezwładności względem osi z: czyli: Uwaga: w literaturze jest błędny wynik. Dla przekroju kołowego 2019-02-24 16:00:46

Mgy Ms Ty N dx Tz Mgz dz dwT Tz Mgz z dvT dj du N dy Ms Ty x Mgy y Energia sprężysta układów prętowych Energia sprężysta w ogólnym przypadku obciążenia pręta Mgy Ms Ty N dx Tz Mgz dwT dz Tz Mgz z dvT dj du N dy Ms Ty x Mgy y 2019-02-24 16:00:46

Energia sprężysta układów prętowych W przypadku ogólnym energia sprężysta odkształcenia odcinka pręta o długości dx będzie równa sumie prac składowych sił wewnętrznych N, Ms, Mgy, Mgz, Ty, Tz, na odpowiadających im przemieszczeniach du, dj, , , dvT, dwT : Po uwzględnieniu, że przemieszczenia są funkcjami składowych sił wewnętrznych otrzymamy zależność: 2019-02-24 16:00:46

Energia sprężysta układów prętowych Wyrażenie na energię sprężystą V w skończonym odcinku pręta o długości l ma postać: 2019-02-24 16:00:46

z r dA y Mg dj N dN=sdA x Energia sprężysta układów prętowych Energia sprężysta w pręcie krzywym Energię sprężystą płaskiego pręta krzywego o promieniu krzywizny r, jednocześnie zginanego momentem gnącym Mg i rozciąganego siłą normalną N określa zależność: Mg dN=sdA N dj r y x z dA 2019-02-24 16:00:46

– charakterystyka geometryczna pręta krzywego: Energia sprężysta układów prętowych gdzie: – charakterystyka geometryczna pręta krzywego: W przypadku pręta o skończonych wymiarach energia sprężysta wynosi: gdzie: a – kąt między przekrojami końcowymi pręta. 2019-02-24 16:00:46

Energia sprężysta układów prętowych Uwaga! Dla pręta słabo zakrzywionego (tzn. r – promień krzywizny, h – wysokość przekroju pręta) energię sprężystą można liczyć tak, jak dla pręta prostego. Uwagi ogólne dotyczące obliczania energii sprężystej układów prętowych Energia sprężysta układu prętowego, czyli kratownicy lub ramy, jest równa sumie energii we wszystkich prętach (przedziałach). W kratownicy jest to tylko energia od sił normalnych. W belkach i ramach pomija się zwykle energię od sił normalnych oraz poprzecznych. Dlatego w belkach oraz ramach płaskich uwzględnia się zwykle tylko energię od zginania, a w ramach przestrzennych energię od zginania i skręcania. 2019-02-24 16:00:46

energii sprężystej V, jako funkcji zmiennych niezależnych Fi: Twierdzenie Castigliano Układ Clapeyrona – spełnia następujące warunki. Materiał musi być idealnie sprężysty i w każdym punkcie naprężenia muszą być mniejsze od granicy proporcjonalności. Działanie jednych sił nie może zmieniać charakteru działania innych sił (zasada superpozycji zachowana). Niech uogólnione siły zewnętrzne działające w układzie Clapeyrona doznają przyrostów Suma prac przyrostów sił na odpowiadających im rzeczywistych przemieszczeniach ui jest równa sumie przyrostów energii sprężystej V, jako funkcji zmiennych niezależnych Fi: 2019-02-24 16:00:46

Twierdzenie Castigliano czyli: Zależność ta musi być ważna dla dowolnych przyrostów sił co wystąpi wtedy i tylko wtedy gdy: Na tej podstawie można udowodnić słuszność twierdzenia Castigliano: „Pochodna cząstkowa energii sprężystej całego układu względem siły uogólnionej jest równa przemieszczeniu uogólnionemu odpowiadającemu tej sile.” 2019-02-24 16:00:46

Twierdzenie Castigliano Jeśli w interesującym nas punkcie analizowanego ciała nie ma rzeczywistej siły Fi odpowiadającej poszukiwanemu przemieszczeniu ui należy w tym miejscu przyłożyć siłę fikcyjną Ffik, którą po wykonaniu różniczkowania przyrównuje się do zera: Zwrot siły fikcyjnej Ffik można przyjąć dowolnie, Jeśli wynik obliczenia ui jest dodatni, to zwrot przemieszczenia jest zgodny, a jeżeli ujemy, to przeciwny do zwrotu Ffik. 2019-02-24 16:00:46

w punkcie B. RA MA B A x F l y Twierdzenie Castigliano Przykład. Belka o długości l i sztywności EI utwierdzona jednym końcem, jest obciążona siłą skupioną F. Wyznaczyć ugięcie w punkcie B. F l RA MA x y B A 1. Reakcje więzów – płaski układ sił równoległych Po przekształceniu 2019-02-24 16:00:46

Twierdzenie Castigliano 2. Równanie momentu gnącego 3. Ugięcie w punkcie B wyznaczyć można z energii sprężystej pręta zginanego Energia sprężysta V w skończonym odcinku pręta zginanego o długości l: Ponieważ EI nie zależy od dx: Stąd ugięcie: 2019-02-24 16:00:46

Twierdzenie Castigliano Dla analizowanej belki, pochodna cząstkowa momentu gnącego względem siły F: Ostatecznie ugięcie w punkcie B: Wynik jest analogiczny do uzyskanego dla tej samej belki podczas omawiania równań osi ugięcia belki (wykład nr 6). Przy czym wówczas uzyskano wynik ze znakiem ujemnym (zgodnie z przyjętym układem współrzędnych). Obecnie znak dodatni oznacza, że ugięcie jest zgodne ze zwrotem siły F. 2019-02-24 16:00:46

Zasada minimum energii sprężystej Menabrei - Castigliano Energia sprężysta układu statycznie niewyznaczalnego V jest wyrażona przez znane siły zewnętrzne (obciążenia) i niewiadome wielkości hiperstatyczne X1, …., Xn oraz niehiperstatyczne. Można uzależnić niewiadome niehiperstatyczne od wielkości hiperstatycznych i obciążeń, wówczas energia sprężysta jest funkcją zmiennych niezależnych: X1, …., Xn . Przemieszczenia u1, …., un odpowiadające wielkościom hiperstatycznym X1, …., Xn spełniają warunek geometryczny: Stosując metodę Castigliano, można określić przemieszczenia u1, …., un z wykorzystaniem energii sprężystej jako: 2019-02-24 16:00:47

Zasada minimum energii sprężystej Menabrei - Castigliano Na tej podstawie można sformułować zasadę minimum energii sprężystej Menabrei-Castigliano – spośród wszystkich możliwych zbiorów wielkości X1, …., Xn zbiorem faktycznych wielkości hiperstatycznych jest ten, dla którego energia sprężysta całego układu prętowego V osiąga wartość minimalną. W przypadku gdy energia sprężysta układu pochodzi głównie od zginania, zasadę minimum energii sprężystej Menabrei – Castigliano można zapisać w postaci: 2019-02-24 16:00:47

Zasada minimum energii sprężystej Menabrei - Castigliano Przykład. Belka o długości l i sztywności EI, utwierdzona na jednym końcu oraz podparta przegubowo na drugim końcu, obciążona jest równomiernie rozłożonym obciążeniem q działającym na długości l. Wyznaczyć reakcje w belce, sporządzić wykresy sił tnących i momentów gnących. l RA MA x B A y q RB 1. Równania równowagi statycznej 2019-02-24 16:00:47

Zasada minimum energii sprężystej Menabrei - Castigliano W dwóch równaniach występują trzy niewiadome RA, RB, MA, jest to więc belka jednokrotnie statycznie niewyznaczalna (hiperstatyczna). Załóżmy że reakcja RB jest wielkością hiperstatyczną, wówczas z równań statyki wyznaczmy reakcje RA, MA: 2. Równanie momentu gnącego analizowanej belki czyli 2019-02-24 16:00:47

3. Równanie z zasady minimum energii sprężystej Menabrei-Castigliano Zasada minimum energii sprężystej Menabrei - Castigliano Po uporządkowaniu 3. Równanie z zasady minimum energii sprężystej Menabrei-Castigliano Po podstawieniu skąd 2019-02-24 16:00:47

Zasada minimum energii sprężystej Menabrei - Castigliano Po całkowaniu i uporządkowaniu czyli 4. Wyznaczenie pozostałych reakcji 2019-02-24 16:00:47

Zasada minimum energii sprężystej Menabrei - Castigliano 5. Równanie momentu gnącego i sił poprzecznych Gdy T(x) = 0 to moment gnący Mg(x) osiąga lokalne ekstremum: 6. Wykresy momentów gnących oraz sił poprzecznych 2019-02-24 16:00:47

RB RA MA x T(x) Mg(x) l B A y q + – Zasada minimum energii sprężystej Menabrei - Castigliano RB RA MA x T(x) Mg(x) l B A y q + – 2019-02-24 16:00:47

Zasada minimum energii sprężystej Menabrei - Castigliano Przykład. Rama o wysokości l i szerokości l oraz sztywności EI, podparta jest przegubowo w punktach A i B. Pręty 1 i 2 ramy obciążone są równomiernie rozłożonym obciążeniem q działającym na długości l. Wyznaczyć reakcje w podporach oraz sporządzić wykresy sił tnących i momentów gnących. x l q 1 2 3 RAx RAy RBx RBy A B 2019-02-24 16:00:47

Zasada minimum energii sprężystej Menabrei - Castigliano 1. Równania równowagi W trzech równaniach występują cztery niewiadome RAx, RAy, RBx, RBy, jest to więc rama jednokrotnie statycznie niewyznaczalna (hiperstatyczna). Łatwo jednak z równań (2) i (3) wyznaczyć reakcje RAy i RBy: Nadal jednak wymagają wyznaczenia reakcje występujące w równaniu (1) tzn. RAx, RBx. Załóżmy, że wielkością hiperstatyczną jest reakcja RAx, a nierozwiązane równanie statyki (1) przekształćmy do postaci: 2019-02-24 16:00:47

Zasada minimum energii sprężystej Menabrei - Castigliano 2. Równania momentów gnących Ramę dzielimy na trzy przedziały, które pokrywają się z prętami 1, 2 i 3. Współrzędne x zmieniające się w przedziałach w granicach będą odmierzane w sposób przedstawiony na rysunku. Przedział 1 (odpowiadający prętowi 1 ramy) Przedział 2 (odpowiadający prętowi 2 ramy) 2019-02-24 16:00:47

Zasada minimum energii sprężystej Menabrei - Castigliano Przedział 3 (odpowiadający prętowi 3 ramy) 3. Równanie z zasady minimum energii sprężystej Menabrei-Castigliano Po podstawieniu 2019-02-24 16:00:47

Zasada minimum energii sprężystej Menabrei - Castigliano Po scałkowaniu stąd czyli 4. Wyznaczenie reakcji RBx 2019-02-24 16:00:47

Zasada minimum energii sprężystej Menabrei - Castigliano 5. Równanie momentów gnących i sił poprzecznych Przedział 1 (odpowiadający prętowi 1 ramy) Gdy T1(x) = 0 to moment gnący Mg1(x) osiąga lokalne ekstremum: Przedział 2 (odpowiadający prętowi 2 ramy) 2019-02-24 16:00:47

Zasada minimum energii sprężystej Menabrei - Castigliano Przedział 2 (odpowiadający prętowi 2 ramy) Przedział 3 (odpowiadający prętowi 3 ramy) 2019-02-24 16:00:47

Zasada minimum energii sprężystej Menabrei - Castigliano 6. Wykresy momentów gnących i sił poprzecznych 2019-02-24 16:00:47

Zasada minimum energii sprężystej Menabrei - Castigliano T(x) Mg(x) RAx RBx + – 2019-02-24 16:00:47

Dziękuję za uwagę !!! 2019-02-24 16:00:48