Figury w układzie współrzędnych ©M ©M

y = ax + b Ax + By + C = 0 Prosta a=tg 1.Postać kierunkowa współczynnik kierunkowy  a=tg 2.Postać ogólna Ax + By + C = 0 gdzie a2+b2 0

Półpłaszczyzna Jeżeli krawędź półpłaszczyzny jest równoległa do jednej z osi to opisuje ją jedna z czterech nierówności. x y x y y  b x=a y = b x  a półpłaszczyzna domknięta półpłaszczyzna domknięta

x y x y y = b x = a x < a y < b półpłaszczyzna otwarta półpłaszczyzna otwarta Zwracaj zawsze uwagę na znak nierówności! Jeżeli nierówność jest słaba ( lub  ) to półpłaszczyzna jest domknięta. Natomiast nierówność mocna (< lub >) daje nam półpłaszczyznę otwartą.

x y x y y = x -1 y=3/4x+1 y  x-1 y < 3/4x+1 Prosta o równaniu Ax+By+C=0 jest wspólnym brzegiem dwóch półpłaszczyzn domkniętych. Jedną z tych półpłaszczyzn opisuje nierówność Ax +By +C  0, a drugą – nierówność Ax+By +C  0. Nierówności Ax + By + C < 0, Ax + By +C > 0 opisują półpłaszczyzny otwarte. Aby zaznaczyć właściwą półpłaszczyznę najwygodniej sprowadzić prostą do postaci kierunkowej.

Jeśli chcemy opisać część wspólną pewnych podzbiorów płaszczyzny, możemy to zrobić za pomocą koniunkcji równań lub nierówności. Za pomocą alternatywy możemy opisać sumę zbiorów. przykłady x y x y y= -x+4 y =x+2 y  -x+4 y < x+2 y < - x+ 2 y< x+2 y  -1 y  -x + 4 y < x+2 y < - x+2 y < x+2 lub y  -1

. . Okrąg (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2 Równanie S(a,b) r . P(x,y) . Równanie (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2 opisuje na płaszczyźnie kartezjańskiej okrąg o środku S(a ,b) i promieniu r.

x 2 + y 2 - 2ax - 2 by + c = 0 Równanie ogólne okręgu Przykład Znaleźć współrzędne środka i długość promienia okręgu danego wzorem x 2 – 4x + y 2 + 2y - 20 = 0 Sprowadzimy równanie do postaci (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2

Jest to równanie okręgu o środku S(2,-1) Dopełniamy w tym celu wyrażenia po lewej stronie równania do kwadratów. Do wyrażenia x2 – 4x trzeba dodać 4, by uzyskać (x -2 ) 2 . Z kolei do y2 +2 y należy dodać 1, by otrzymać (y + 1)2. Skoro do lewej strony równania dodaliśmy 4 i 1 to do prawej również musimy je dodać. x2 – 4x + 4 + y2 + 2 y +1- 20 = 4 + 1 (x – 2 ) 2 + ( y + 1) 2 = 5 + 20 (x – 2 ) 2 + ( y + 1) 2 = 25 Jest to równanie okręgu o środku S(2,-1) i promieniu 5.

.S(a,b) Koło (x - a) 2+(y - b) 2  r 2 Nierówność opisuje na płaszczyźnie kartezjańskiej koło o środku S(a,b) i promieniu r.

.S(a,b) (x - a) 2+(y - b) 2 > r 2 Nierówność opisuje na płaszczyźnie kartezjańskiej zbiór punktów leżących na zewnątrz koła o środku S(a,b) i promieniu r.

Zapisz, jakie warunki spełniają współrzędne punktów należących do zaznaczonych obszarów Zad.1 Zad.2 x y x y 1 1 1 1

Zad.3 Zad.4 x y 1 x y 1 1 1 1

( x + 1 ) 2 + ( y – 1 ) 2 < 2 lub ( x - 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2  1 Rozwiązania y  2 (x + 2,5) 2 + ( y - 1,5) 2 = 1,5 Zad.1 Zad.2 ( x – 1 ) 2 + ( y – 1 ) 2  3 ( x – 1 ) 2 + ( y – 1 ) 2  1 Zad.3 ( x + 1 ) 2 + ( y – 1 ) 2 < 2 lub ( x - 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2  1 Zad.4 x 2 + y 2  9 lub y  x lub y  0