Obwody elektryczne wykład z 14.12 2017

Program wykładu: wybrane zagadnie z teorii obwodów elektrycznych Zastępownie gałęzi źródłem napięcia lub prądu Włączanie i przenoszenie źródeł Twierdzenie o kompensacji Zasada wzajemności Elementy topologii obwodów OE1 2015

Zastępownie gałęzi źródłem napięcia lub prądu

Obwód z wyodrębnioną k-tą gałęzią OE1 2015

źródeł napięcia (przeciwsobnych) w gałęzi k Dołączenie dwóch źródeł napięcia (przeciwsobnych) w gałęzi k OE1 2015

Jeśli e = uk uAC = 0 Gałąź obwodu, na której występuje napięcie uk można zastąpić idealnym źródłem napięcia o napięciu źródłowym e = uk OE1 2015

Dla wyodrębnionej gałęzi z prądem ik: OE1 2015

Gałąź obwodu, wiodącą prąd ik można zastąpić idealnym źródłem prądu Jeśli j = ik ik-j+j  j Gałąź obwodu, wiodącą prąd ik można zastąpić idealnym źródłem prądu j = ik OE1 2015

Włączanie i przenoszenie źródeł Twierdzenie o włączaniu dodatkowych źródeł

Jeżeli we wszystkich gałęziach zbiegających się w dowolnym węźle umieścimy źródła napięcia o tym samym napięciu źródłowym i takiej orientacji względem węzła to rozpływ prądów w układzie nie ulegnie zmianie. NPK nie ulega zmianie!!! OE1 2015

Jeżeli w dowolnej pętli obwodu, równolegle do każdej gałęzi, włączymy między kolejne węzły źródła prądu o jednakowym zwrocie względem obiegu pętli i jednakowych wartościach to rozkład napięć w układzie nie ulegnie zmianie. OE1 2015

Przenoszenie źródeł (1) OE1 2015

Przenoszenie źródeł (2) OE1 2015

OE1 2015

Twierdzenie o kompensacji

Twierdzenie o komensacji Umożliwia określenie związku pomiędzy zmianą odpowiedzi obwodu liniowego a zmianą jego parametrów

Rozpatrujemy obwód liniowy: OE1 2015

OE1 2015

Po zastosowaniu twierdzenia o zastępowaniu gałęzi źródłem napięciowym: OE1 2015

Z SUPERPOZYCJI OE1 2015

PONIEWAŻ OE1 2015

Obwód z ostatniego rysunku, w którym wymuszeniem jest źródło napięciowe i∆R, pozwala wyznaczyć zmianę odpowiedzi spowodowaną zmianą rezystancji R. Jeżeli w gałęzi obwodu o rezystancji R płynie prąd i, to zmianę tego prądu ∆i spowodowaną zmianą rezystancji R o ∆R można wyznaczyć z obwodu, w którym jedynym wymuszeniem jest źródło i∆R.

Tw.o kompensacji

Zasada wzajemności

OE1 2015 25

TWIERDZENIE O WZAJEMNOŚCI OCZKOWE OE1 2015 26

TWIERDZENIE O WZAJEMNOŚCI OCZKOWE Jeżeli źródło napięcia e dołączone do zacisków 11’ czwórnika utworzonego z oporników liniowych wytwarza w zwartej gałęzi 22’ prąd i2 , to po przeniesieniu tego źródła do gałęzi 22’ w zwartej gałęzi 11’ popłynie prąd: e OE1 2015 27 27

Twierdzenie o wzajemności węzłowe OE1 2015 28

TWIERDZENIE O WZAJEMNOŚCI WĘZŁOWE Jeżeli źródło prądowe j dołączone do zacisków 11’ czwórnika utworzonego z oporników liniowych wytwarza na rozwartych zaciskach 22’ napięcie u2 , to po przeniesieniu tego źródła do gałęzi 22’ na rozwartych zaciskach 11’ wystąpi napięcie: e OE1 2015 29 29

Twierdzenie o wzajemności hybrydowe OE1 2015 30

TWIERDZENIE O WZAJEMNOŚCI HYBRYDOWE Jeżeli źródło prądowe j dołączone do zacisków 11’ czwórnika utworzonego z oporników liniowych wytwarza w zwartej gałęzi 22’ prąd i2 , zaś źródło napięcia zasilające ten czwórnik od strony zacisków 22’, powoduje powstanie napięcia między zaciskami 11’, to prawdziwa jest równość: e OE1 2015 31 31

OE1 2015 32

Dowód DLA KAŻDEJ k-tej GAŁĘZI ZACHODZI: Czyli: Skąd: OE1 2015 33

Uzasadnienie twierdzenia o wzajemności oczkowego OE1 2015 34

Uzasadnienie twierdzenia o wzajemności węzłowego OE1 2015 35

Twierdzenie o wzajemności hybrydowe - dowód OE1 2015 36

Elementy topologii cd

OBWÓD PRZYKŁADOWY

POJĘCIA PODSTAWOWE (cd) WĘZEŁ  miejsce połączenia końcówek elementów oznaczane na schematach kropką. GAŁĄŹ  odcinek obwodu między węzłami (zawiera zwykle jeden element lub urządzenie wraz z przewodami) ŚCIEŻKA  ciąg gałęzi: rozpoczyna się w jednym węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i kończy się w węźle końcowym PĘTLA  zamknięty ciąg gałęzi: rozpoczyna się w jednym węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i kończy się w tym samym węźle początkowym (inaczej: ścieżka o wspólnym początku i końcu)

POJĘCIA PODSTAWOWE (cd) GRAF  graficzne odwzorowanie obwodu zawierające jedynie informację o lokalizacji elementów i ich połączeniach otrzymujemy go przez zastąpienie wszystkich elementów obwodu gałęziami GRAF ZORIENTOWANY graf zawierający dodatkowo informację o kierunku odniesienia sygnałów gałęziowych (może być zorientowany prądowo, napięciowo lub w sposób uniwersalny)

Tworzenie grafu 1 2 1 2 1 2 Element obwodu między węzłami 1 i 2 1-sza gałąź grafu niezorientowanego między węzłami 1 i 2 1 2 1-sza gałąź grafu zorientowanego między węzłami 1 i 2

OBWÓD - GRAF - GRAF ZORIENTOWANY

OBWÓD - GRAF - GRAF ZORIENTOWANY OBWÓD - GRAF ZORIENTOWANY

kolejne gałęzie mają wspólny węzeł, DROGA Drogą między węzłami j i k nazywamy zbiór gałęzi grafu utworzony w ten sposób, że kolejne gałęzie mają wspólny węzeł, w żadnym węźle nie łączą się więcej niż dwie gałęzie zbioru, z węzłem j oraz z węzłem k łączy się dokładnie jedna gałąź zbioru.

Przykład 1 drogi między węzłami 1 i 2 Zbiór gałęzi e-f-g-c-d spełnia warunki definicji drogi

Przykład 2 drogi między węzłami 1 i 2 Zbiór gałęzi e-f-g-c-h-i-j nie spełnia warunku (2) definicji drogi

Przykład 3 drogi między węzłami 1 i 2 Zbiór gałęzi e-g-c-d nie spełnia warunku (1) definicji drogi

Pętlą grafu nazywamy podgraf grafu spełniający następujące warunki Pętla Pętlą grafu nazywamy podgraf grafu spełniający następujące warunki podgraf jest spójny, w każdym węźle podgrafu łączą się dwie i tylko dwie gałęzie.

Przykład 1 pętla Zbiór gałęzi e-f-g-c-d-a spełnia warunki definicji pętli

Przykład 2 nie-pętla Zbiór gałęzi e-j-a-g-c-h nie spełnia warunku 1 definicji pętli

Przykład 3 nie-pętla Zbiór gałęzi e-i-f-j-a nie spełnia warunku 2 definicji pętli

Pozostałe gałęzie grafu tworzą przeciwdrzewo (DOPEŁNIENIE) Drzewem grafu spójnego nazywamy spójny podgraf obejmujący wszystkie węzły i nie zawierający żadnej pętli. Pozostałe gałęzie grafu tworzą przeciwdrzewo (DOPEŁNIENIE)

Przykład 1 DRZEWO Zbiór gałęzi e-f-g-c-d spełnia warunki definicji drzewa

Przykład 2 DRZEWO Zbiór gałęzi e-f-g-h-j spełnia warunki definicji drzewa

Drzewo grafu spójnego o  węzłach i b gałęziach zawiera  - 1 gałęzi. Twierdzenie Drzewo grafu spójnego o  węzłach i b gałęziach zawiera  - 1 gałęzi. Dowód (indukcyjny): Dla n=2, b=1 (n= ) twierdzenie prawdziwe

Cd. Dowód (indukcyjny)cz.2: Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla grafu n-węzłowego. Rozpatrzmy graf o n+1 węzłach, utwórzmy drzewo i wyodrębnijmy ten węzeł, w którym zbiega się tylko jedna gałąź drzewa. Graf o n węzłach

Drzewo rozpatrywanego grafu skład się zatem n węzłach Drzewo rozpatrywanego grafu skład się zatem z drzewa grafu n-węzłowego oraz gałęzi dk. Uwzględniając założenie indukcyjne otrzymamy: (n-1)+1=n WNIOSEK: Dopełnienie grafu spójnego  węzłach i b gałęziach zawiera b -  + 1 gałęzi.

Przekrojem grafu spójnego nazywamy zbiór PRZEKRÓJ Przekrojem grafu spójnego nazywamy zbiór gałęzi spełniający następujące warunki (1) usunięcie wszystkich gałęzi przekroju bez węzłów końcowych powoduje podział grafu na dwa podgrafy (2) usunięcie wszystkich gałęzi przekroju poza jedną nie narusza spójności grafu.

Przykład 1 przekrój Zbiór gałęzi b-f-i-d spełnia warunki definicji przekroju

Przykład 2 nie- przekrój Zbiór gałęzi b-f-i-d-j nie spełnia warunków (2) definicji przekroju

PRZEKRÓJ FUNDAMENTALNY Przekrojem grafu spójnego nazywamy fundamentalnym jeżeli jest utworzony z dokładnie jednej gałęzi drzewa i gałęzi dopełnienia. Jest ich w grafie  - 1

(1) eab (2) fbija (3) gbhja (4) chja (5) dja DRZEWO grafu i przekroje fundamentalne Przekroje fundamentalne dla drzewa e-f-g-c-d (1) eab (2) fbija (3) gbhja (4) chja (5) dja

Pętla FUNDAMENTALNA Pętlę nazywamy fundamentalną jeżeli jest utworzona z dokładnie jednej gałęzi dopełnienia i gałęzi drzewa. Jest ich w grafie b -  + 1

(1) aefgcd (2) bgfe (3) hcg (4) if (5) jfgcd DRZEWO grafu i pętle fundamentalne Pętle fundamentalne dla drzewa e-f-g-c-d (1) aefgcd (2) bgfe (3) hcg (4) if (5) jfgcd

Twierdzenia dotyczące PRAW KIRCHHOFFA (1) Maksymalna liczba równań liniowo niezależnych otrzymanych z PPK wynosi  -1. Równania te można napisać stosując PPK do  -1 fundamentalnych przekrojów. (2) Maksymalna liczba równań liniowo niezależnych otrzymanych z NPK wynosi b -  +1 . Równania te można napisać stosując PPK do b -  +1 fundamentalnych pętli.

DEFINICJA GRAFU PLANARNEGO: Graf planarny to taki graf, który może być narysowany na płaszczyźnie tak aby gałęzie przecinały się tylko w węzłach. DEFINICJA OCZKA: Oczkiem grafu planarnego nazywamy pętlę nie zawierająca wewnątrz żadnych gałęzi. TWIERDZENIE Graf planarny zawiera b -  +1 oczek. Równania NPK napisane dla b -  +1 są liniowo niezależne.