Sterowanie procesami ciągłymi - studia stacjonarne Mieczysław Brdyś, prof. dr hab.inż. Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 10 - 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych – część I

Impulsator, układ próbkujący Ogólna struktura komputerowego systemu sterowania Impulsator, układ próbkujący (sampler)

Komputerowy system sterowania - próbkowanie sygnału ciągłego

Komputerowy system sterowania - próbkowanie sygnału ciągłego Uchyb sterowania, będący sygnałem ciągłym jest próbkowany (sampled) w chwilach - okres próbkowania (sampling interval) Otrzymujemy sekwencję sygnału dyskretnego uchybu sterowania Zwykle dla uproszczenia zapisu: gdzie k staje się zmienną czasu dyskretnego

Komputerowy system sterowania – interpolacja zerowego rzędu sygnału dyskretnego u(k) u(t0 +T ) u(t)

Przykład sygnału sterującego Komputerowy system sterowania – interpolacja zerowego rzędu sygnału dyskretnego Spróbkowany sygnał uchybu sterowania (bądź inny) przetwarzany jest w sterowniku komputerowym, zgodnie z prawem sterowania w sekwencję sygnału dyskretnego sterowania Sekwencja związana z określanymi chwilami czasu powinna być podstawą do utworzenia ciągłego sygnału sterującego, który możnaby skierować do obiektu sterowanego Przykład sygnału sterującego czyli

Interpolator zerowego rzędu Komputerowy system sterowania – interpolacja zerowego rzędu sygnału dyskretnego Sekwencja sygnału dyskretnego jest przetwarzana w sygnał ciągły za pomocą interpolacji, która wyznacza wartości sygnału sterującego pomiędzy chwilami próbkowania oraz Interpolator zerowego rzędu dla Sygnał z interpolatora zerowego rzędu – sygnał stały

Komputerowy system sterowania – interpolacja zerowego rzędu sygnału dyskretnego Odpowiedź elementu inercyjnego rzędu pierwszego na wymusznie przedziałami stałe

Komputerowy system sterowania – model dyskretny równoważny modelowi ciągłemu Zadanie Rozważamy system SISO o dynamice ciągłej pierwszego rzędu np. element inercyjny Poszukujemy modelu dyskretnego tego systemu takiego, że

Komputerowy system sterowania – model dyskretny równoważny modelowi ciągłemu Rozwiązanie równania stanu systemu ciągłego (bez utraty ogólności wyniku przyjmiemy t0 = 0) Rozwiązanie: Składowa swobodna (odpowiedź zerowego wejścia) Składowa wymuszona (odpowiedź zerowego warunku początkowego)

Klasyczne podejście do rozwiązania: 1. Pomnożymy obydwie strony równania stanu przez lub Zauważamy: Zatem: 2. Scałkujemy obustronnie ostatnie równanie

3. I trochę przekształcimy: Ostatecznie wartości odpowiedzi stanu systemu ciągłego w chwilach t: Składowa swobodna Składowa wymuszona

4. Wartości odpowiedzi wyjścia systemu ciągłego w chwilach t:

Komputerowy system sterowania – model dyskretny równoważny modelowi ciągłemu 1. Dla dwóch kolejnych chwil próbkowania odpowiedź stanu Skorzystamy z postaci: 2. Odpowiedź dla chwili pomnożymy przez

Komputerowy system sterowania – model dyskretny równoważny modelowi ciągłemu 3. Odejmujemy ostatni wynik wynik od wyrażenia na :

Komputerowy system sterowania – model dyskretny równoważny modelowi ciągłemu 4. Przyjmujemy, że u(t) jest stałe pomiędzy chwilami próbkowania 5. Zmieniamy zmienną całkowania Stałe (wartość, dla danego systemu, różna dla różnych Ts) Definiujemy współczynniki

Komputerowy system sterowania – model dyskretny równoważny modelowi ciągłemu Możemy napisać równanie stanu modelu dyskretnego lub w postaci uproszczonej Równanie wyjścia, jako równanie algebraiczne „nie zmienia się” ; zatem równanie wyjścia przy czym

Komputerowy system sterowania – model dyskretny równoważny modelowi ciągłemu Otrzymany model dyskretny jest modelem równoważnym modelowi ciągłemu dla wejść przedziałami stałych Ponieważ sygnał ciągły i gładki można dowolnie dokładnie aproksymować sygnałem przedziałami stałym, to model dyskretny (wyżej otrzymany dla modelu w przestrzeni stanu) może być dowolnie bliski modelowi ciągłemu dla okresu próbkowania wystarczająco małego Przedstawiona metoda nosi nazwę metody niezmienniczości skokowej

Komputerowy system sterowania – model dyskretny równoważny modelowi ciągłemu Przypadek ogólniejszy: system SISO o dynamice ciągłej rzędu wyższego niż jeden Poszukujemy modelu dyskretnego tego systemu takiego, że

Komputerowy system sterowania – model dyskretny równoważny modelowi ciągłemu Wynik bez wyprowadzania

Przybliżone wyznaczanie bD (dla małych wartości Ts ) Komputerowy system sterowania – model dyskretny równoważny modelowi ciągłemu Przybliżone wyznaczanie bD (dla małych wartości Ts ) Jeżeli istnieje A-1 wówczas : Problem: Jak obliczyć Z definicji: Zatem:

Przybliżenie pierwszego rzędu: Komputerowy system sterowania – model dyskretny równoważny modelowi ciągłemu Ostatnie wyrażenie jest podstawą do przybliżonego obliczania bD Przybliżenie pierwszego rzędu: Przybliżenie drugiego rzędu:

Systemy próbowane – sampled-data systems Zakładając wystarczająco mały czas próbkowania Ts będziemy poszukiwali aproksymacji w czasie dyskretnym ciągłej w czasie relacji wejście – wyjście systemy próbkowanego Będzie to zależność pomiędzy wartościami próbek: Relacja ta będzie dokładna tzn. równa wartościom sygnałów ciągłych w chwilach próbkowania, dla sygnałów r(t) stałych pomiędzy chwilami próbkowania i dla dowolnego okresu próbkowania

Systemy próbowane – sampled-data systems Przykład 1. Dynamika obiektu czasu ciągłego dana jest transmitancją: Zakładając wystarczająco mały okres próbkowania Ts znaleźć aproksymację dyskretną tego opisu Zastosujemy metodę niezmienniczości skokowej, wykorzystując wcześniej metodę określenia zmiennych stanu z poprzedniego wykładu Model we-wy w dziedzinie s Model w przestrzeni stanu Model we-wy w dziedzinie t

Systemy próbowane – sampled-data systems Przykład 1. Wynik ostateczny: Jeżeli aproksymacja dyskretna jest dokładna

Systemy próbowane – sampled-data systems Przykład 1. Zależność wyniku aproksymacji od okresu próbkowania Dla dwóch okresów próbkowania oraz Dwa różne równania stanu, ale w chwilach próbkowania odpowiedzi będą dokładne

Systemy próbowane – sampled-data systems Przykład 1. Jaka byłaby dokładność obliczeń bD za pomocą wzorów przybliżonych? Przybliżenie 1. rzędu jest dokładne Potrzebne jest przybliżenie wyższego rzędu

Systemy próbowane – sampled-data systems Przykład 2. Dynamika obiektu czasu ciągłego dana jest transmitancją: Zakładając wystarczająco mały okres próbkowania Ts znaleźć aproksymację dyskretną tego opisu Zastosujemy metodę niezmienniczości skokowej, wykorzystując wcześniej metodę określenia zmiennych stanu z poprzedniego wykładu Model w przestrzeni stanu Macierze stanu, wejścia i wyjścia

Systemy próbowane – sampled-data systems Przykład 2. Macierz tranzycji stanu Macierz stanu modelu dyskretnego

Systemy próbowane – sampled-data systems Przykład 2. Macierz wejścia modelu dyskretnego

Systemy próbowane – sampled-data systems Przykład 2. Modele dyskretne dla dwóch okresów próbkowania oraz

– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu