Analiza niepewności pomiarów Zagadnienia statystyki matematycznej Teoria pomiarów Analiza niepewności pomiarów Zagadnienia statystyki matematycznej Dr hab. inż. Paweł Majda www.pmajda.zut.edu.pl

Podstawy statystyki matematycznej Histogram oraz wielobok liczebności zmiennej losowej Pytania kontrolne ? zmienna losowa wariancja odchylenie standardowe odchylenie standardowe eksperymentalne estymator rozkład prawdopodobieństwa zgodność, obciążenie, efektywność jeżeli przedziały klas → 0 oraz n →∞ to wielobok liczebności → krzywej rozkładu prawdopodobieństwa

Dla rozkładu normalnego mamy: Interpretacja graficzna prawdopodobieństwa wystąpienia cechy populacji w przedziale <a,b> Dla rozkładu normalnego mamy: 2019-01-01 Szczecin; Paweł Majda

Odchylenie standardowe i jego wpływ na kształt krzywej Gaussa Graficzna interpretacja odchylenia standardowego dla rozkładu normalnego Wpływ wartości odchylenia standardowego na kształt krzywej rozkładu normalnego a) krzywa rozkładu normalnego b) pierwsze i drugie różniczkowanie krzywej rozkładu normalnego 2019-01-01 Szczecin; Paweł Majda

Standardowy (standaryzowany) rozkład normalny N(0,1) Carl Friedrich Gauss 1777-1855 2019-01-01 Szczecin; Paweł Majda

Krzywa rozkładu jednostajnego (równomiernego, prostokątnego) Rozkład prostokątny wykorzystywany jest często do szacowanie niepewności standardowej metodą typu B dla granicznego błędu dopuszczalnego przyrządu pomiarowego MPE (ang. maximum permissible error). Przyjmuje się wówczas a=|MPE| oraz 2019-01-01 Szczecin; Paweł Majda

Krzywa rozkładu trójkątnego 2019-01-01 Szczecin; Paweł Majda

Rozkład t-Studenta dla n-1=2, 5 i 10 stopni swobody oraz rozkład N(0,1) William Sealy Gosset, 1876-1937 (pseudonim Student) 2019-01-01 Szczecin; Paweł Majda

Pytanie – ile razy powtarzać eksperyment? Wpływ liczby stopni swobody oraz poziomu istotności a na wartość zmiennej standaryzowanej rozkładu t-Studenta Pytanie – ile razy powtarzać eksperyment? Program Excel oblicza wartość statystyki t-Studenta (dla przedziału dwustronnego) jako funkcję: „ =ROZKŁAD.T.ODW(a;n-1) ”. 2019-01-01 Szczecin; Paweł Majda

Centralne twierdzenie graniczne rachunku prawdopodobieństwa Jedno z najważniejszych twierdzeń rachunku prawdopodobieństwa, uzasadniające powszechne występowanie w przyrodzie rozkładów zbliżonych do rozkładu normalnego. Jeżeli i wszystkie Xi mają rozkłady normalne, to rozkład Y także jest normalny. Jednakże nawet jeżeli rozkłady Xi nie są normalne to rozkład Y, na mocy CTG, można aproksymować rozkładem normalnym (przy założeniu, że zmienne Xi są niezależne. Na podstawie CTG można w wielu sytuacjach zakładać, że zmienna losowa, którą jesteśmy właśnie zainteresowani, ma rozkład normalny. Wartość zmiennej standaryzowanej splotu rozkładów jest ścisłym sposobem wyznaczania współczynnika rozszerzenia dla niepewności rozszerzonej pomiaru !!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Rozważania praktyczne Rozkład prostokątny m=0,5 Liczba próbek 10 Liczba próbek 100 Liczba próbek 1000 2019-01-01 Szczecin; Paweł Majda

Rozważania praktyczne Rozkład normalny m=10; s=1 Liczba próbek 10 Liczba próbek 100 Liczba próbek 1000 2019-01-01 Szczecin; Paweł Majda

Rozważania praktyczne Rozkład Weibulla l=10 – parametr skali k=40 – parametr kształtu Dla k=3.4 przypomina rozkład normalny Liczba próbek 10 Liczba próbek 100 Liczba próbek 1000 2019-01-01 Szczecin; Paweł Majda

Rozważania praktyczne – wiarygodność oszacowania niepewności pomiaru Przedział ufności odchylenia standardowego czyli także niepewności pomiaru gdzie: n<30 – liczna pomiarów, – odchylenie standardowe populacji generalnej, s – odchylenie standardowe z próby, (1-a) – poziom ufności, c2 – wartość krytyczna rozkładu chi-kwadrat dla określonego poziomu istotności i liczby stopni swobody. s = 1 a = 0,05 2019-01-01 Szczecin; Paweł Majda

Dziękuję za uwagę 2019-01-01 Szczecin; Paweł Majda