Wykład 5 6.2 Energia kulombowska jądra atomowego Energię tą otrzymamy w oparciu o wzór (6.6) wstawiając do niego wyrażenie na potencjał (6.14) pochodzący od jednorodnie naładowanej kuli. Obliczenie wykonamy we współrzędnych sferycznych. Wtedy: Po uproszczeniach i wstawieniu wyrażenia na 0 otrzymujemy: (6.15) 2018-12-09 Reinhard Kulessa

We wzorze (6.6) uwzględniane są oddziaływania pomiędzy wszystkimi ładunkami. Musimy więc odjąć odjąć energie własne wszystkich protonów, które mają ładunek 1e, czyli Energia kulombowska jądra jest więc równa różnicy wartości podanej we wzorze (6.15) i powyższej wartości. Na energie kulombowską jądra atomowego otrzymujemy więc wartość: (6.16) W oparciu o ten wzór można oszacować promień jądra w przypadku jąder zwierciadlanych, czyli takich dla których A1=A2 , Z1=N2 i Z2=N1. 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Na wartość promienia otrzymujemy: Weźmy dla przykładu dwa jądra zwierciadlane i . Różnica energii kulombowskich tych jąder jest równa; Otrzymujemy po podstawieniu wartości E=8.64/R [MeV]. Doświadczalnie zmierzona różnica energii (różnica mas) dla podanych jąder wynosi E=2.786 MeV. Możemy stąd wyznaczyć wartość promienia jądra o liczbie masowej A=11. Na wartość promienia otrzymujemy: Jakie z tych rozważań możemy wyciągnąć wnioski? 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Możemy te rozważania uważać za potwierdzenie praw elektrostatyki dla zjawisk na odległościach r10-13 cm, mimo, że oceniona wartość promienia jest ok.. 15% większa niż otrzymana innymi metodami. W naszych ocenach nie uwzględniliśmy pewnych efektów, które należy rozważać na gruncie mechaniki kwantowej. Drugi wniosek wychodzący poza elektrostatykę to fakt, że zaniedbanie różnicy oddziaływań silnych n-p, p-p i p-n daje mały wpływ na promień jądra , co oznacza niezależność ładunkową oddziaływań silnych. Fakt ten w naszym przypadku jest potwierdzony przez bardzo dobrą zgodność poziomów energetycznych energetycznych rozważanych jąder zwierciadlanych. 2018-12-09 Reinhard Kulessa

7.99 7.50 7.30 6.81 6.90 6.76 6.49 6.35 5.03 4.81 4.46 4.32 2.14 2.00 2018-12-09 Reinhard Kulessa

6.3 Klasyczny promień elektronu Wzór (6.15) podający energię kulombowską jednorodnie naładowanej kuli, możemy wykorzystać do oszacowania tzw. „klasycznego promienia elektronu”. Załóżmy, że elektron jest kulką o promieniu R jednorodnie wypełniony ładunkiem Q. Oszacowania tego dokonamy przyrównując Energię kulombowską elektronu, do energii jego masy spoczynkowej. Otrzymamy wtedy: UZUPEŁNIENIE Jeżeli elektron byłby kulą o promieniu R lecz przewodzącą, to ładunek skupiłby się na powierzchni, wtedy; 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Mamy więc niepewność dotyczącą rozłożenia ładunku w elektronie Mamy więc niepewność dotyczącą rozłożenia ładunku w elektronie. Doświadczenie wskazuje jednak, że aż do rozmiarów 10-18 w procesie anihilacji e+ - e- cząstki te są punktowe. Jako klasyczny promień elektronu definiuje się jako: UZUPEŁNIENIE Powyższa wielkość jest właściwie oceną obszaru w którym znajduje się ładunek elektronu, a nie promienia elektronu. 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Energię własną dipola możemy prosto policzyć w oparciu o wzór (6.5). 6.4 Energia własna dipola Energię własną dipola możemy prosto policzyć w oparciu o wzór (6.5). Ładunek ujemny znajduje się w potencjale ładunku dodatniego +Q . L Ładunek dodatni znajduje się w potencjale ładunku ujemnego -Q . Na energię elektrostatyczną dipola otrzymujemy: 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Energia ta zmienia się w sposób monotoniczny i nie ma ekstremów Energia ta zmienia się w sposób monotoniczny i nie ma ekstremów. Układ ten jest stabilny tylko wtedy, gdy ładunki pozostają w stałej odległości od siebie. 2018-12-09 Reinhard Kulessa

6.5 Energia elektrostatyczna kryształu jonowego Rozważmy jako przykład kryształ soli kuchennej NaCl. Dodatnie jony sodu i ujemne jony chloru tworzą regularną kubiczną sieć krystaliczną w którym jony te są ułożone naprzemiennie tak jak na poniższym rysunku. Doświadczalna energia rozdzielenia kryształu NaCl na jony Na+ i Cl- wynosi 7.92 eV. Cl 281 Å Na 1 eV = 1.602 10-19 J Energia rozdzielenia jednego mola (N=6.02 1023 cząstek) wynosi W= 7.64 105 J/mol = 183 kcal/mol. 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Musimy zsumować przyczynki pochodzące od wszystkich jonów. Czy możemy tą energie policzyć? Zgodnie z naszą teorią praca ta jest sumą energii potencjalnych wszystkich par jonów. A energia jednej pary jonów wynosi Energia ta wynosi 5.12 eV. Musimy zsumować przyczynki pochodzące od wszystkich jonów. Zaczynając od środkowego jonu Na+ otrzymujemy: Na+ 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Wynik ten jest ~10% większy od doświadczalnego Wynik ten jest ~10% większy od doświadczalnego. Jednak przypuszczenie że sieć krystaliczna jest utrzymywana w całości przez siły kulombowskie jest słuszna. Różnica pomiędzy wielkością obliczoną a doświadczalna bierze się z nieuwzględnienia sił odpychających, które rosną gdy r maleje, oraz od innych przyczynków. 2018-12-09 Reinhard Kulessa

7. Pojemność elektryczna 7.1 Pole elektryczne nieskończonej naładowanej warstwy  - ładunek powierzchniowy x z y + E1 dS1 S1 E2 dS2 S2 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Zgodnie z prawem Gaussa całkowity strumień jest równy Natężenie pola elektrycznego pochodzące od nieskończonej naładowanej warstwy możemy wyznaczyć dwoma sposobami, metodą superpozycji, oraz w oparciu o prawo Gaussa. Zgodnie z prawem Gaussa całkowity strumień jest równy Linie natężenia pola elektrycznego są prostopadłe do naładowanej płaszczyzny, wobec tego całkowity strumień wynosi: Widzimy z rysunku, że Całkowity strumień jest więc równy: 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Pole pochodzące od tej warstwy wygląda następująco: Czyli: Pole pochodzące od tej warstwy wygląda następująco: z y 2018-12-09 Reinhard Kulessa

7.2 Pole między dwoma naładowanymi warstwami + i - Zastanówmy się jaka jest wartość pola pomiędzy dwoma przeciwnie naładowanymi warstwami. - + y 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Układ taki nazywamy kondensatorem płaskim. 7.3 Kondensator płaski Zajmijmy się układem dwóch płasko-równoległych przewodników (elektrod) o powierzchni S położonych w odległości d od siebie. Elektrody są naładowane odpowiednio ładunkami +Q i –Q. Układ taki nazywamy kondensatorem płaskim. Gęstość powierzchniowa ładunku wynosi: +Q -Q d S  = Q/S Pole wewnątrz elektrod z pominięciem efektów brzegowych jest jednorodne. Niech różnica potencjałów pomiędzy elektrodami wynosi V. 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Oznaczmy tą różnicę przez . Z zależności pomiędzy potencjałem a natężeniem pola elektrycznego r. (5.9) otrzymujemy, że: Widzimy więc, że: , a korzystając z obliczonej poprzednio wartości natężenia pola elektrycznego pomiędzy dwoma naładowanymi płaszczyznami otrzymujemy: (7.1) 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Pojemność kondensatora płaskiego wynosi więc: Wprowadźmy pojęcie pojemności kondensatora jako współczynnika we wzorze: (7.2) Pojemność kondensatora płaskiego wynosi więc: (7.3) 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Pole elektryczne dla takiego układu jest polem radialnym, więc 7.4 Kondensator kulisty Rozpatrzmy układ dwóch współśrodkowych czasz kulistych naładowanych odpowiednio ładunkami +Q i –Q. Pole elektryczne dla takiego układu jest polem radialnym, więc -Q +Q r1 r2 E dS R Policzmy strumień pola elektrycznego przechodzącego przez powierzchnię kuli o środku w „0” i promieniu R . 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Z prawa Gaussa otrzymamy: dla dowolnego R z podanego poprzednio przedziału. Różnica potencjałów V=V1 – V2 ma wartość: Zgodnie z wzorem (7.2) otrzymujemy na pojemność kondensatora złożonego z dwóch czasz kulistych wyrażenie: 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Jednostką pojemności w układzie SI jest FARAD. (7.4) Z wyrażenia tego widać, że gdy pojemność kondensatora kulistego, inaczej mówiąc pojemność przewodnika będącego kulą jest równa: Jednostką pojemności w układzie SI jest FARAD. Pojemność kuli ziemskiej, R~6.4 106 m, C = 710 F, a kula o pojemności 1F ma promień 9 106 km. 2018-12-09 Reinhard Kulessa

7.5 Kondensator cylindryczny. Kondensator cylindryczny składa się z dwóch współśrodkowych cylindrów o promieniach a i b. b Stosując Prawa Gaussa dla dowolnej odległości r od środka walców otrzymujemy, że a l Pow. +Q -Q r Na wartość potencjału otrzymamy więc wyrażenie: 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Pojemność kondensatora cylindrycznego wynosi więc: (7.5) 2018-12-09 Reinhard Kulessa

7.6 Łączenie kondensatorów 7.6.1 Połączenie równoległe V1 +Q1 +Q2 +Q3 +Q4 C1 C2 C3 C4 -Q1 -Q2 -Q3 -Q4 V2 Potencjał V = V1 – V2 jest taki sam na każdym kondensatorze. Ładunek, który znajduje się na każdym z kondensatorów , a całkowity ładunek . Otrzymujemy więc . Czyli (7.5) 2018-12-09 Reinhard Kulessa

7.5.2 Połączenie szeregowe V +Q -Q +Q -Q +Q -Q +Q -Q V V1 V2 V3 V4 Ładunki na okładkach kondensatorów połączonych szeregowo są jednakowe. Całkowita różnica potencjałów jest równa sumie różnic potencjałów między okładkami poszczególnych kondensatorów . Wiemy, że czyli . 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Otrzymujemy więc (7.6) 2018-12-09 Reinhard Kulessa

UZUPEŁNIENIE 7.6 Ziemia jako kondensator kulisty Mimo, że wydaje się nam, że Ziemia jest ładunkowo obojętna, to doświadczenie uczy, że tak nie jest. Na Ziemi zachodzi szereg zjawisk charakterystycznych dla ciał naładowanych. Znane nam są wszystkim wyładowania atmosferyczne w czasie burz, ale jak jest w czasie gdy nie ma burz. Okazuje się, że w atmosferze istnieje pionowe pole elektryczne o natężeniu E ~ 100V/m. Co 1 m wysokości potencjał wzrasta o 100 V. Ładunek Ziemi jest ujemny. UZUPEŁNIENIE Warunkiem istnienia pola jest: Obecność jonów w atmosferze, 2. Rozdzielenie istniejących ładunków przez jakiś mechanizm. Ad. 1. Przypuszczano, że obecność jonów w atmosferze związana jest z naturalna promieniotwórczością. Wtedy liczba 2018-12-09 Reinhard Kulessa

jonów powinna być największa przy powierzchni Ziemi jonów powinna być największa przy powierzchni Ziemi. Stwierdzono jednak, że liczba jonów rośnie z wysokością i osiąga maksimum na wysokości powyżej 50 km, na wysokości gdzie rozciąga się tzw. jonosfera. Jonizacja jest wywoływana przez promieniowanie kosmiczne. Ad 2. Ziemia ma ładunek ujemny a potencjał powietrza jest dodatni. UZUPEŁNIENIE Stale więc płynie prąd ładunków dodatnich z atmosfery do Ziemi. Całkowity prąd ma moc ok. 700 MW + + + + + + + + + + 50 km Prąd 10-2 jonu/(s m2) 400000 V 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Taki prąd powinien w ciągu 0.5 godz. wyrównać różnicę ładunków. Aby dać odpowiedź na pytanie jaki mechanizm dostarcza ujemnych ładunków powierzchni Ziemi wykonano w różnych miejscach pomiarów zmiany potencjałów i prądów. Wybierano zwykle pogodne dni nad oceanami. Pogodne dni wybierano aby uniknąć wpływu burz na pomiary, a oceany miały osłabić procesy jonizacji zwykle silniejsze nad kontynentami. W wyniku tych pomiarów stwierdzono że: średni gradient potencjału zmienia się o ±15% wraz ze zmianą czasu uniwersalnego. UZUPEŁNIENIE V/cm 100 90 Godz.(Greenwich) 6 12 18 24 2018-12-09 Reinhard Kulessa

UZUPEŁNIENIE Świadczy to o tym, że: Na dużych wysokościach istnieje duże przewodnictwo poziome, wobec tego różnica potencjałów między jonosferą a Ziemią nie zmienia się. Istnieje mechanizm ładowania Ziemi ładunkiem ujemnym ze średnim prądem 1800 A. Odpowiedzialne za to są burze, głównie tropikalne, a rozładowanie następuje w okresie ładnej pogody. UZUPEŁNIENIE (Patrz Feynmann t.II cz.I § 9-4 na temat mechanizmów powstawania burz na Ziemi) a 2018-12-09 Reinhard Kulessa

8. Materia w polu elektrycznym Na każdy ładunek umieszczonej w polu elektrycznym materii działa siła wynikająca z prawa Coulomba. Ze względu na różną ruchliwość ładunków w różnych materiałach można zaobserwować następujące zjawiska: a). W przewodniku ruchliwe elektrony zostają przesunięte w stosunku do dodatnich atomów, co daje rozdzielenie ładunków dodatnich od ujemnych, czyli tzw. zjawisko indukcji. b). W izolatorach nośniki ładunku zostają przesunięte tylko nieznacznie, obserwujemy tzw. polaryzację. Rozważmy przewodnik umieszczony w polu elektrycznym. Znajdujące się w nim swobodne elektrony będą przesuwały się w określonym kierunku. 2018-12-09 Reinhard Kulessa

- + Doprowadzi to do nagromadzenia się na ściankach przewodnika tzw. ładunku indukcyjnego. Ładunek ten generuje wewnątrz przewodnika pole elektryczne skierowane przeciwnie do pola zewnętrznego. Przesuwanie się ładunku trwa tak długo, aż wypadkowe pole wewnątrz przewodnika osiągnie wartość zero. 2018-12-09 Reinhard Kulessa

- + ładunki indukcyjne Zastanówmy się teraz jak wygląda sytuacja, gdy w polu elektrycznym umieścimy materiał nie przewodzący ładunku. Doświadczenie uczy nas, że jeśli pomiędzy dwa ładunki wprowadzimy izolator, to maleje siła kulombowska działająca pomiędzy ładunkami. 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Omówmy ten problem na przykładzie kondensatora płaskiego. C2 C1 powietrze dielektryk Po włożeniu dielektryka pomiędzy okładki kondensatora płaskiego, na pewno nie zmienił się ładunek na okładkach a jednak zmalał potencjał jak wskazał elektroskop. Zgodnie ze wzorem (7.2) musiała wzrosnąć pojemność kondensatora. Równocześnie spadek potencjału na okładkach oznacza spadek natężenie pola elektrycznego wewnątrz okładek. 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Zastanówmy się nad faktem wzrostu pojemności kondensatora, do wnętrza którego włożyliśmy dielektryk. Jak wytłumaczyć fakt zmniejszenia się natężenia pola elektrycznego wewnątrz kondensatora. Według prawa Gaussa strumień natężenia pola elektrycznego jest bezpośrednio związany z ładunkiem wewnątrz powierzchni A dla której ten strumień liczymy. Zmniejszenie się natężenia pola oznacza że wypadkowy ładunek wewnątrz powierzchni A jest mniejszy niż wtedy gdy nie ma tam dielektryka. Wynika stąd, że na powierzchni dielektryka wewnątrz powierzchni A muszą być ładunki ujemne. – – – – – – – – – – – – – + + + + + + + + + – – – – – – – – – – + + + + + + + + + + + + E0 E A pol 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Również w tym przypadku zaobserwujemy wzrost pojemności kondensatora. Ładunków jest mniej niż dodatnich, gdyż pole nie znika zupełnie. Na drugiej powierzchni izolatora wytwarza się ładunek dodatni. Ładunek pojawiający się na izolatorze umieszczonym w polu elektrycznym nazywamy ładunkiem polaryzacyjnym. Pojawianie się tego ładunku związane jest z indukowaniem się i uszeregowaniem dipoli elektrycznych w dielektryku, lub tylko uszeregowaniem istniejących dipoli. Gdybyśmy pomiędzy okładki kondensatora włożyli przewodnik, to ładunek polaryzacyjny byłby identyczny jak ten na okładkach. Pole wewnątrz przewodnika byłoby równe 0. Pole istniałoby tylko w małych szczelinach między okładkami a przewodnikiem. – – – – – – – – – – – – – + + + + + + + + + – – – – – – – – – – + + + + + + + + + + + + E0 E Również w tym przypadku zaobserwujemy wzrost pojemności kondensatora. 2018-12-09 Reinhard Kulessa

8.1 Wektor polaryzacji P W izolatorach w przeciwieństwie do przewodników ładunki nie mogą się swobodnie poruszać. Jednak w atomach i cząsteczkach może nastąpić przemieszczenie się ładunku pod wpływem pola elektrycznego. Na wskutek działania pola nastąpiło przesunięcie ładunków o . E - - - - - - - - - - - - -  + - - - - + - - - - Pod wpływem pola elektrycznego następuje również przesunięcie jonów w kryształach. Istnieją również cząsteczki posiadające moment dipolowy wynikający z ich struktury. Dipole te polaryzują się pod wpływem pola E. 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Przykładem struktur posiadających moment dipolowych są np Przykładem struktur posiadających moment dipolowych są np. CO, SO2, H2O, HCl, NH3, C2H5OH. H+ H+ Cl- 1050 pe =3.4·10-30 C·m H+ pe =6.2·10-30 C·m Jeśli w przypadku atomu czy cząsteczki ładunek przesunie się o , to moment dipolowy będzie równy p = q . Jeżeli w jednostce objętości znajduje się N atomów które mogą się polaryzować, to moment dipolowy na jednostkę objętości (8.1) 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Wektor P nazywamy wektorem polaryzacji. promień a -Ze +Ze Zastanówmy się od czego ten wektor zależy. Przesunięty o  ładunek Ze oddziałuje tylko z częścią chmury elektronowej o promieniu . F2 F1 E  Natężenie pola elektrycznego pochodzące od ładunku polaryzacyjnego ma wartość: Ze jest ładunkiem całej kuli o promieniu a. 2018-12-09 Reinhard Kulessa

Równowaga nastąpi wtedy gdy . Oznacza to, że Widać więc, że moment dipolowy jest proporcjonalny do natężenia zewnętrznego pola polaryzującego. Jest tak przynajmniej dla niedużych pól. 2018-12-09 Reinhard Kulessa