RÓŻNORODNE ALGORYTMY OBLICZEŃ I ICH KOMPUTEROWE REALIZACJE Maciej M. Sysło Uniwersytet Wrocławski Uniwersytet UMK w Toruniu syslo@ii.uni.wroc.pl informatyka +

Algorytm, algorytmika algorytm od Muhammad informatyka + Na str. 3-7 są zamieszczone uwagi wstępne na temat algorytmiki. Można je pominąć i wrócić później. Algorytm – opis rozwiązania krok po kroku postawionego problemu lub sposobu osiągnięcia jakiegoś celu Pierwszy algorytm – algorytm Euklidesa 300 p.n.e algorytm od Muhammad ibn Musa al-Chorezmi IX w. Algorytmika – dziedzina zajmująca się algorytmami i ich własnościami informatyka +

Algorytmy a informatyka Informatyka – jedna z definicji: dziedzina wiedzy i działalności zajmująca się algorytmami Czy zajmuje się też algorytmami kulinarnymi? Donald E. Knuth: Mówi się często, że człowiek dotąd nie zrozumie czegoś, zanim nie nauczy tego – kogoś innego. W rzeczywistości, człowiek nie zrozumie czegoś (algorytmu) naprawdę, zanim nie zdoła nauczyć tego – komputera. Ralf Gomory (IBM): Najlepszym sposobem przyspieszania komputerów jest obarczanie ich mniejszą liczbą działań (szybszymi algorytmami) Będziemy uczyć komputery, czyli programować je ! informatyka +

Algorytmiczne rozwiązywanie problemu Dla problemu – chcemy otrzymać rozwiązanie komputerowe, które jest: zrozumiałe dla każdego, kto zna problemu poprawne, czyli spełnia specyfikację (opis) problemu efektywne, czyli nie marnuje czasu i pamięci komputera Metoda rozwiązywania: analiza sytuacji problemowej sporządzenie specyfikacji: wykaz danych, wyników i relacji projekt rozwiązania komputerowa realizacja rozwiązania – implementacja testowanie poprawności rozwiązania dokumentacja i prezentacja rozwiązania informatyka +

Rozwiązywanie problemów z pomocą komputerów Objaśnienie dwóch terminów: Problem: problem, gdy nie podano nam, jak należy go rozwiązać, ale wiemy wystarczająco, by poradzić sobie z nim a więc, problem jest dla każdego nie tylko dla orłów Programowanie: komputery wykonują tylko programy cokolwiek uruchamiamy na komputerze: Google, dokument w Word, arkusz w Excel, naciśnięcie klawisza – jest programem każdy widoczny i niewidoczny efekt działania komputera to wynik działania jakiegoś programu Konkluzja: powinniśmy lepiej poznać programowanie komputerów informatyka +

Myślenie algorytmiczne Myślenie komputacyjne (ang Myślenie algorytmiczne Myślenie komputacyjne (ang. computational thinking) Reklama firmy IBM z 1924 roku Komputer to maszyna do myślenia !!! informatyka +

Różnorodne algorytmy obliczeń i ich komputerowe realizacje PLAN Rozgrzewka (warm-up) – kilka krótkich programów Obliczanie wartości wielomianu – Schemat Hornera Liczby dziesiętne, binarne, … – system pozycyjny, zamiana liczb między systemami Rekurencja: Wieże Hanoi, liczby Fibonacciego, wyprowadzania liczb od początku Podnoszenie do potęgi – szybko! Algorytm Euklidesa Algorytmy zachłanne: wydawanie reszty, zmartwienie kinomana, pakowanie plecaka, najdłuższa droga na piramidzie Przeszukiwanie z nawrotami: wychodzenie z labiryntu i rozstawianie hetmanów na szachownicy informatyka +

Rozgrzewka przy komputerach Rozgrzewka (warm-up) – kilka krótkich programów: obliczanie pole trójkąta dodatkowo sprawdzanie, czy dane są dobre – warunek obliczanie pola trójkąta dla ciągu danych – iteracja i tablice Ciekawe zadanie dotyczące trójkątów: Dane: ciąg (bardzo długi) liczb Odpowiedź: czy z każdej trójki liczb z tego ciągu można zbudować trójkąt? Wskazówka: istnieje rozwiązanie, w którym nie trzeba sprawdzać warunku trójkąta dla każdej trójki liczb informatyka +

Warsztaty Algorytm, język programowania, komputer Proces komputerowej realizacji algorytmu: Opis algorytmu – słowny Zapis w języku programowania (Pascal, C++) Kompilacja – przetłumaczenie na język zrozumiały przez komputer Wykonanie Testowanie Dokumentacja informatyka +

Obliczanie wartości wielomianu Obliczanie wartości wielomianu jest bardzo ważną operacją w komputerze, bo wartość każdej funkcji jest liczona jako wartość wielomianu, np. cos x = 1 – 0.49670x2 + 0.03705x4. Wielomian stopnia 2: w(x) = ax2 + bx + c = a*x*x + b*x + c 3 mnożenia 2 dodawania w(x) = ax2 + bx + c = (a*x + b)*x + c 2 mnożenia 2 dodawania Wielomian stopnia 3: w(x) = ax3 + bx2 + cx + d = ((a*x + b)*x + c)*x + d 3 mnoż. 3 dod. Wielomian stopnia n: wn(x) = a0*xn + a1*xn-1 + … + an-1*x + an = = (a0*xn-1 + a1*xn-2 + … + an-1)*x + an = … = = ((…((a0*x + a1)*x + a2)*x + … + an-2)*x + an-1)*x + an informatyka +

Obliczanie wartości wielomianu specyfikacja, algorytm Specyfikacja problemu – dokładny opis problemu Obliczanie wartości wielomianu specyfikacja, algorytm Problem Wielomian – Obliczanie wartości wielomianu Dane: n – nieujemna liczba całkowita a0, a1, a2, ..., an – n + 1 współczynników wielomianu z – wartość argumentu – obliczamy wn(z). Wynik: wn(z) – czyli wartość wielomianu wn(x) w punkcie x = z Algorytm do obliczania wartości wielomianu: wn(z) = ((…((a0*z + a1)*z + a2)*z + … + an-2)*z + an-1)*z + an Schemat Hornera: y := a0 y := y*z + a1 y := y*z + a2 ….. y := y*z + an-1 y := y*z + an n mnożeń i n dodawań Nie ma szybszego algorytmu !!! y := a0 y := y*z + ai dla i = 1, 2, …, n informatyka +

Schemat blokowy algorytmu Hornera Instrukcja warunkowa: rozgałęzienia algorytmu i := 0; y := a0 Początkowe wartości Czy i = n Czyli, czy wyczerpano wszystkie współczynniki Instrukcja iteracyjna Tak Nie Ada Augusta, córka Byrona, uznawana powszechnie za pierwszą programistkę komputerów, przełomowe znaczenie maszyny analitycznej Ch. Babbage’a, pierwowzoru dzisiejszych komputerów, upatrywała właśnie „w możliwości wielokrotnego wykonywania przez nią danego ciągu instrukcji, z liczbą powtórzeń z góry zadaną lub zależną od wyników obliczeń”, a więc w iteracji. Wyprowadź wartość y Koniec algorytmu i := i + 1 y := y*z + ai informatyka +

Pełny schemat blokowy algorytmu Hornera informatyka +

Algorytm Hornera w postaci programu (Pascal) program Horner; var i,n :integer; a,y,z :real; begin read(n); read(z); read(a); y:=a; for i:=1 to n do begin y:=y*z+a end; write(y) end. nazwa programu deklaracje, typy zmiennych blok programu – początek czytaj n, czytaj z czytaj pierwszy współczynnik początkowa wartość wyniku pętla od 1 do n czytaj kolejny współczynnik powiększenie wyniku iteracja – koniec pisz wynik blok programu – koniec informatyka +

Algorytm Hornera – współczynniki w tablicy (Pascal) Deklaracja tablicy Program Horner_tablica; var i,n :integer; y,z:real; a:array[0..100] of real {Co najwyzej 100 wspolczynnikow} begin read(n); for i:=0 to n do read(a[i]); writeln(' z y'); read(z); while z <> 0 do begin y:=a[0]; for i:=1 to n do y:=y*z+a[i]; write(' ',y:2:5); writeln; read(z) end end. Czytanie współczynników Instrukcja iteracyjna z warunkiem: Obliczanie wartości tego samego wielomianu tak długo, jak długo argument jest różny od zera, czyli z <> 0. informatyka +

Zastosowania Algorytmu Hornera Obliczanie wartości wielomianów. Obliczanie wartości dziesiętnej liczb danych w systemie o podstawie różnej od 10, np. liczb binarnych. Uwaga: jest to bardzo prosta metoda, np. dla obliczeń na kalkulatorze bez pamięci. Szybkie potęgowanie (w dalszej części) To są tylko niektóre zastosowania schematu Hornera. informatyka +

System dziesiętny, system pozycyjny Liczba dziesiętna: 357 ma wartość (dziesiętną): 357 = 3*100 + 5*10 + 7*1 = 3*102 + 5*101 + 7*100 a zatem liczba: dn-1 dn-2 … d1 d0 która ma n cyfr ma wartość: dn-1*10n-1 + dn-2*10n-2 + … + d1*101 + d0*100 10 – podstawa systemu {0, 1, 2, 3, …, 8, 9} – cyfry 2, 8, 16 – podstawy systemów używanych w komputerach podstawa cyfry 2 0, 1 system binarny 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 60 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, … informatyka +

System binarny, przejście 2 → 10 Liczba binarna: 10101 = (10101)2 ma wartość (dziesiętną): 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 24 + 22 + 1 = 16 + 4 + 1 = 21 a zatem liczba binarna: (bn-1 bn-2 … b1 b0)2 która ma n cyfr ma wartość: a = bn-1*2n-1 + bn-2*2n-2 + … + b1*21 + b0*20 (*) Jak szybko obliczać wartość dziesiętną binarnego rozwinięcia? Wzór (*) jest wielomianem, w którym zamiast x jest 2. A zatem wartość a obliczamy za pomocą schematu Hornera. . Najbardziej znaczący bit Najmniej znaczący bit Binarne rozwinięcie liczby a informatyka +

Otrzymywanie postaci binarnej liczb, czyli 10 → 2 Szkolna metoda: dzielimy przez dwa tak długo, jak długo iloraz jest większy od zera – słupki: dzielenie iloraz reszta 187|2 93 1 93|2 46 1 46|2 23 0 23|2 11 1 11|2 5 1 5|2 2 1 2|2 1 0 1|2 0 1 Reprezentacja od końca reszt: 187 = (10111011)2 Bardzo prosty program Program Rozwiniecie_binarne; var a:integer; begin read(a); while a <> 0 do begin write(a mod 2,' '); a:=a div 2 end end. Ciekawe pytanie: jaka jest długość rozwinięcia binarnego liczby n? informatyka +

Techniki algorytmiczne – rekurencja Myślenie rekurencyjne: przykłady z życia: jedzenie, tańczenie Wieże Hanoi liczby Fibonacciego wyprowadzanie liczb od początku szybkie potęgowanie algorytm Euklidesa Rekurencyjny algorytm: Rozwiązując problem … odwołuje się do siebie Korzyści: Część pracy … zwalamy na komputer! informatyka +

Rekurencja – przykłady z życia 11.12.2007 Rekurencja – przykłady z życia Jedzenie kaszki z talerza – A. Jerszow Jedz kaszkę; jeśli talerz jest pusty to koniec jedzenia w przeciwnym razie weź łyżkę kaszki; Jedz kaszkę Taniec Tańcz; jeśli nie gra muzyka to koniec tańczenia zrób krok; Tańcz Warunek początkowy – zatrzymuje wywołania Procedura rekurencyjna wywołuje siebie informatyka + Rekurencja w komputerze

Wieże Hanoi – przekładanie krążków 11.12.2007 Wieże Hanoi – przekładanie krążków Opis gry i interaktywna zabawa: Zasady gry: przenosimy po jednym nigdy większy na mniejszym Algorytm iteracyjny: najmniejszy krążek ma dwie możliwości – ustalamy, którą wybieramy na dwóch palikach, tylko jeden krążek można przenieść i tylko na jedno miejsce informatyka + Rekurencja w komputerze

Wieże Hanoi – Rekurencja 11.12.2007 Wieże Hanoi – Rekurencja Rozwiązanie rekurencyjne: kiedy można przenieść największy krążek? Odpowiedź: gdy pozostałe będę na jednym paliku, następnie możemy je przenieść na największy Hanoi (n, A, B, C) {z A na B za pomocą C} if n = 0 then nic nie rób else begin Hanoi (n – 1, A, C, B); Największy krążek z A na B; Hanoi (n – 1, C, B, A) end Procedura rekurencyjna wywołuje siebie Warunek początkowy – zatrzymuje wywołania informatyka + Rekurencja w komputerze

Wieże Hanoi – Rekurencja – liczba przestawień h(n) 27.11.2007 Wieże Hanoi – Rekurencja – liczba przestawień h(n) h(n) = h(n – 1) + 1 + h(n – 1) = h(n) = 2h(n – 1) + 1 Hanoi (n, A, B, C) if n = 0 then nic nie rób else begin Hanoi (n – 1, A, C, B); Największy krążek z A na B; Hanoi (n – 1, C, B, A) end h(0) = 0 informatyka + Rekurencja bez łez

z tego samego wzoru: h(n – 1) = 2h(n – 2) + 1 27.11.2007 Wieże Hanoi – Rekurencja – liczba przestawień h(n) h(n) = 2h(n – 1) + 1 = z tego samego wzoru: h(n – 1) = 2h(n – 2) + 1 stąd h(n) = 2[2h(n – 2) + 1] + 1 = = 22h(n – 2) + 2 + 1 = podobnie h(n) = 23 h(n – 3) + 22 + 2 + 1 = … h(n) = 2nh(n – n) + 2n - 1 + … + 2 + 1 = ostatecznie h(n) = 2n – 1 = h(0) = 0 informatyka + Rekurencja bez łez

… Chaotyczny profesor S.    informatyka + 27.11.2007 Chaotyczny profesor S. Profesor S. bierze jeden lub dwa schodki – na ile sposobów wyjdzie na piętro n s(n) – liczba sposobów osiągnięcia schodka n  n Myśl rekurencyjnie!  n–1  n–2 … s(n) = s(n –1) + s(n – 2) dla n > 2 2 s(1) = 1 1 s(2) = 2 informatyka + Rekurencja bez łez

Rekurencja – króliki Fibonacciego 11.12.2007 Rekurencja – króliki Fibonacciego Na początku jest jedna para królików, która po miesiącu rodzi kolejną parę. Króliki nie umierają i po miesiącu, co miesiąc rodzą nową parę. F(n) – liczba par królików po n miesiącach 1 2 3 n–1 n–2 n       Rekurencja: F(1)=1 F(2)=1 Warunki początkowe Króliki, które przeżywają Króliki, urodzone przez pary żyjące ponad miesiąc dla n > 2: F(n) = F(n – 1) + F(n – 2) Liczby Fibonacciego: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … informatyka + Rekurencja w komputerze

Liczby Fibonacciego – rozrzutna rekurencja 11.12.2007 Liczby Fibonacciego – rozrzutna rekurencja F6 F5 5 ? F4 F4 3 ? F3 2 Powtórne obliczanie F4 F3 2 F2 1 F2 1 F1 1 Pamiętajmy: Rekurencja – może być bardzo rozrzutna pod względem liczby wykonywanych operacji i zajmowanej pamięci F2 1 F1 1 informatyka + Rekurencja w komputerze

Liczby Fibonacciego – oszczędna iteracja 11.12.2007 Liczby Fibonacciego – oszczędna iteracja F(n) – liczba par królików po n miesiącach n–1 n 1 2 n–2 3       F(1)=1 F(2)=1 F(n – 2) + F(n – 1) = F(n) Warunki początkowe Rekurencja jako iteracja dla n > 2 F(n) {n-ta liczba Fibonacciego obliczona iteracyjnie} if (n = 1) lub (n = 2) then F := 1 else begin a := 1; b := 1; {a i b – dwie poprzednie wartości} for i := 3 to n do begin c := a + b; a := b; b := c end; F := c end informatyka + Rekurencja w komputerze

Rekurencja – wyprowadzanie kolejnych cyfr liczby 11.12.2007 Rekurencja – wyprowadzanie kolejnych cyfr liczby Liczbę 3045 drukuj w kolejności cyfr: 3 4 5 Liczba 304 to: 3045 div 10 = 304 Algorytm – drukowania cyfr liczby 3045 1. Najpierw drukuj cyfry liczby 304 2. Później drukuj cyfrę 5 Potrzebne są dwie operacje: reszta z dzielenia mod: np. 3045 mod 10 = 5 dzielenie całkowite div: np. 3045 div 10 = 304 Cyfra 5 to reszta: 3045 mod 10 = 5 Zauważmy: możemy zastosować ten sam algorytm ale do liczby 304 – REKURENCJA informatyka + Rekurencja w komputerze

Rekurencja – wyprowadzanie kolejnych cyfr liczby 11.12.2007 Rekurencja – wyprowadzanie kolejnych cyfr liczby KolejnaCyfra (m) if m < 10 then write (m) else begin KolejnaCyfra (m div 10); write (m mod 10) end Uwagi: 1. Można zastąpić 10 przez 2 i otrzymamy kolejne cyfry binarne, od najbardziej znaczącej 2. Po zmianie kolejności poleceń – drukowanie cyfr od końca Warunek początkowy – gdy liczba ma jedną cyfrę. Wywołanie rekurencyjne dla liczby bez ostatniej cyfry Drukowanie ostatniej cyfry informatyka + Rekurencja w komputerze

Rekurencja – wyprowadzanie kolejnych cyfr liczby 11.12.2007 Rekurencja – wyprowadzanie kolejnych cyfr liczby Wywołania rekurencyjne KolejnaCyfra (3045) KolejnaCyfra (304) KolejnaCyfra (30) KolejnaCyfra (3) write (3045 mod 10) = 5 write (304 mod 10) = 4 write (30 mod 10) = 0 write (3) = 3 304 = 3045 div 10 Kolejno drukowane cyfry Powrót z wywołań rekurencyjnych informatyka + Rekurencja w komputerze

Podnoszenie do potęgi, 1 informatyka + Problem potęgowania Dane: m – liczba naturalna, x – liczba rzeczywista Wynik: y = xm Przykład: m = 22 Sposób 1. Rozłóż m na sumę potęg liczby 2 mamy: 22 = 2 + 4 + 16 A stąd: x22 = x2+4+16 = x2 *x4 *x16 Kolejne mnożenia: x2, x4 = (x2)2, x8 = (x4)2, x16 = (x8)2, y = x2 *x4 = x6, y = y*x16 Liczba mnożeń: 6 (kwadrat to jedno mnożenie) Ważne działanie w kryptografii, gdzie potęguje się duże liczby, np. 1234567891234567890123456789123456789012 informatyka +

22 = 1*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 0*20 = (((2 + 0)2 + 1)2 + 1)2 +0 Podnoszenie do potęgi, 2 Sposób 2. (przykład dla m = 22) Znajdź rozwinięcie binarne liczby m; 22 = (10110)2 Przedstaw wykładnik w postaci schematu Hornera; 22 = 1*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 0*20 = (((2 + 0)2 + 1)2 + 1)2 +0 Z postaci wykładnika określ kolejność mnożeń: x(((2+0)2+1)2+1)2+0 = x(((2+0)2+1)2+1)2 = (x(((2+0)2+1)2+1)2 = (x(((2+0)2+1)2 x)2 = = (x(((2+0)2+1)2 x)2 = (x(((2+0)2x)2 x)2 = (x(((2+0)2x)2x)2 = (((x2)2x)2x)2 = x22 Kolejne mnożenia: x2, x4 = (x2)2, x5 = (x4)x, x10 = (x5)2, x10x = x11, (x11)2 = x22 Liczba mnożeń: 6, jak w Sposobie 1, ale są liczone inne iloczyny. informatyka +

Podnoszenie do potęgi, 3 informatyka + Algorytm rekurencyjny, korzysta ze spostrzeżenia: jeśli m jest parzyste, to xm = (xm/2)2 jeśli m jest nieparzyste, to xm = (xm –1)x (m – 1 staje się parzyste). Przykład: m = 22 x22 = (x11)2 = ((x10) x)2 = ((x5)2 x)2 = (((x4)x)2x)2 = (((x2)2x)2x)2 = x22 Kolejne mnożenia: x2, x4 = (x2)2, x5 = (x4)x, x10 = (x5)2, x10x = x11, (x11)2 = x22 Liczba mnożeń: 6, jak w Sposobie 1 i 2, liczone jak w Sposobie 2. Potega (x, n) { xn } if n = 1 then Potega := x else if n – parzyste then Potega := Potega (x, n/2)^2 {xn = (xn/2)2} else Potega := Potega (x, n – 1)*x {xn = (xn–1)x} Realizacja rekurencyjna informatyka +

Algorytm Euklidesa, 1 informatyka + Uważany za pierwszy algorytm – powstał 300 p.n.e. Chociaż Chińczycy i Hindusi wcześniej tworzyli przepisy obliczeniowe. Przez długie lata był synonimem algorytmu i od niego zaczynały wszystkie książki akademicki. Ma bardzo wiele zastosowań praktycznych i teoretycznych: arytmetyka, czyli obliczenia na liczbach całkowitych kryptografia – RSA łamigłówki Przykład: Czy za pomocą naczyń 6 i 10 litrowych można napełnić pojemnik 15 litrami wody – wodę można dolewać lub pobierać z pojemnika tylko całymi naczyniami. informatyka +

Algorytm Euklidesa, 2 informatyka + Problem NWD(m,n) – Największy Wspólny Dzielnik Dane: m, n – liczby naturalne (można przyjąć, że m ≤ n) Wynik: NWD(m,n) – Największy wspólny dzielnik liczb m i n. Przykłady: NWD(42,14) = 14 NWD(24,16) = 8 NWD(13,21) = 1 13 i 21 są względnie pierwsze NWD(0,31) = 31 0 jest podzielne przez każdą liczbę Zasada, wykorzystana w algorytmie – Twierdzenie o ilorazie i reszcie n = q*m + r, gdzie 0 ≤ r < m q – iloraz, r – reszta. informatyka +

Algorytm Euklidesa, 3 informatyka + Wnioski: Jeśli r = 0, to m dzieli n, czyli NWD(m,n) = m Jeśli r ≠ 0, to mamy r = n – qm, czyli każda liczba, która dzieli n oraz m dzieli również r, w szczególności największa taka liczba. Stąd mamy: NWD(m,n) = NWD(r,m) Przykład: NWD(25,70) = NWD(20,25) = NWD(5,20) = NWD(0,5) = 5 NWD(25,70): 70 = 2*25 + 20 NWD(20,25) 25 = 1*20 + 5 NWD(5,20) 20 = 4*5 + 0 r = 0, więc NWD( , ) = 5 Generowane liczby maleją: 70, 25, 20, 5, 0 więc algorytm jest skończony informatyka +

Algorytm Euklidesa, 4 – dwie realizacje Realizacja z funkcją: program Euklides_funkcja; var m,n:integer; function NWD(m,n:integer):integer; var r:integer; begin while m>0 do begin r:=n mod m; n:=m; m:=r end; NWD:=n read(m,n); writeln(NWD(m,n)) end. program Euklides; var m,n,r:integer; begin read(m,n); while m>0 do begin r:=n mod m; n:=m; m:=r end; write(n) end. Funkcja Przypisanie funkcji wartości Wywołanie funkcji w programie informatyka +

Algorytm Euklidesa, 5 – realizacja rekurencyjna program Euklides_rekurencja; var m,n:integer; function NWD_rek(m,n:integer):integer; begin if m>n then NWD_rek:=NWD_rek(n,m) else if m = 0 then NWD_rek:=n else NWD_rek:=NWD_rek(n mod m,m) end; read(m,n); writeln(NWD_rek(m,n)) End. Funkcja rekurencyjna Wywołania rekurencyjne Reszta z dzielenia n przez m informatyka +

Algorytm Euklidesa, 6 – zagadki Przykład 1. Czy za pomocą naczyń 6 i 10 litrowych można napełnić pojemnik 15 litrami wody – wodę można dolewać lub pobierać z pojemnika tylko całymi naczyniami. Jeśli istnieje rozwiązanie, to istnieją takie x i y, że 6x + 10y = 15 Czy istnieją? Uzasadnij odpowiedź. Rozwiązanie 1. W tym przypadku nie istnieje rozwiązanie. Istnieje, gdy prawa strona jest wielokrotnością NWD(6,10). Przykład 2. W jednym pojemniku są klocki o wysokości p, a w drugim – o wysokości q. Czy zawsze można zbudować wieże z każdego rodzaju klocków, które mają tę samą wysokość? Jeśli jest to możliwe, to jaka jest najmniejsza wysokość takich wież? Rozwiązanie 2. Zawsze możliwe. Najmniejsza wysokość NWW(p,q). Pytanie 3. Jaki zachodzi związek między NWD(m,n) i NWW(m,n)? Mamy NWW(m,n) = (m*n)/NWD(m,n) informatyka +

Techniki algorytmiczne – przybliżone i dokładne – idee W wielu sytuacjach postępujemy intuicyjnie, podejmując decyzje, które wydają się nam najlepsze, chociaż nie potrafimy tego uzasadnić – podejście zachłanne Jednak czasem musimy przejrzeć wszystkie możliwości – dobrze jest mieć pewność, że przeglądamy (pośrednio lub bezpośrednio) wszystkie, ale bez powtórzeń – metoda przeszukiwania z nawrotami Stara zasada – korzystać z tego, co już znamy – strategia dziel i zwyciężaj Komputery staramy się używać wtedy, gdy bez niech nie potrafimy sobie poradzić. A najlepiej, gdyby komputery wykonywały za nas dużą część roboty. Rekurencja – czyli jak zwalić robotę na komputer informatyka +

Techniki algorytmiczne – przybliżone i dokładne Podejście zachłanne: wydawanie reszty zmartwienie napalonego kinomana pakowanie najcenniejszego plecaka najdłuższa droga w piramidzie Przeszukiwanie z nawrotami poszukiwanie wyjścia z labiryntu rozmieszczanie hetmanów na szachownicy Strategia dziel i zwyciężaj poszukiwanie elementów w zbiorze uporządkowanym informatyka +

Metoda zachłanna: wydawanie reszty – problem Problem Reszty. Dane: nominały, np. 1 gr, 2 gr, 5 gr, … K – kwota do wydania Wynik: Utworzyć K z najmniejszej liczby banknotów i monet Dyskusja: jak wydają sprzedawcy? jaki mamy pomysł? czy potrafimy uzasadnić, że nasz pomysł da najlepsze rozwiązanie? Konkluzja – algorytm zachłanny: Wydawaj sukcesywnie, zawsze możliwie największy nominał banknotu lub monety Dla sprzedawcy to także dobre kryterium – ma mniej okazji, by się pomylić informatyka +

Metoda zachłanna: wydawanie reszty – w arkuszu Rozwiązanie w arkuszu – w arkuszu można również wykonywać algorytmy Ćwiczenie na warsztatach: utworzyć taki arkusz informatyka +

Metoda zachłanna: wydawanie reszty – program Program Zachlanna_reszta_PL; var i,ile,kwota_int:integer; kwota :real; nominal:array[1..14] of integer =(20000,10000,5000,2000,1000,500,200,100,50,20,10,5,2,1); reszta :array[1..14] of integer; begin write('kwota'); read(kwota); kwota_int:=round(kwota*100); for i:=1 to 14 do begin ile:=kwota_int div nominal[i]; reszta[i]:=ile; kwota_int:=kwota_int-ile*nominal[i] end; for i:=1 to 8 do writeln(nominal[i] div 100,' zl.: ',reszta[i]); for i:=9 to 14 do writeln(nominal[i],' gr.: ',reszta[i]) end. Nominały w groszach Zamiana kwoty na grosze Obliczanie wielkości kolejnych nominałów informatyka +

Metoda zachłanna: wydawanie reszty – jak dobrze? Pytanie: jak dobry jest algorytm zachłanny? Czy zawsze tworzy resztę z najmniejszej liczby banknotów i monet? Sytuacje: brakuje niektórych nominałów w kasie, np. 5 gr. i 10 gr. pojawia się nowa moneta, np. 21 gr. Fakt: Istniejące w świecie nominały, gdy tylko jest ich dostatecznie dużo w kasie, gwarantują, że algorytm zachłanny daje zawsze najmniejszą liczbę banknotów i monet informatyka +

Metoda zachłanna: zmartwienie kinomana Sytuacja: Dane: program filmów w Multikinie na dany dzień Wynik: Kinoman chce jednego dnia zobaczyć jak najwięcej filmów w Multikinie Strategia: Wybieraj filmy, które kończą się możliwie jak najwcześniej Uzasadnienie: Pozostaje więcej czasu na następne filmy Konkluzja: Jest to optymalny algorytm. 1 X 2 X X X 3 X X 4 X informatyka +

Metoda zachłanna: pakowanie plecaka Ogólny problem plecakowy Dane: n rzeczy (towarów, produktów itp.), w nieograniczonej ilości: i-ta rzecz waży wi jednostek i ma wartość pi: W – maksymalna pojemność plecaka. Wynik: ilości poszczególnych rzeczy (mogą być zerowe), których całkowita waga nie przekracza W i których sumaryczna wartość jest największa wśród wypełnień plecaka rzeczami o wadze nie przekraczającej W. Decyzyjny problem plecakowy – 0-1 (zero-jedynkowy) Rzeczy są tylko w pojedynczych ilościach – decyzja: bierzemy albo nie informatyka +

Metoda zachłanna: pakowanie plecaka Przykład: wartość towaru: waga towaru: Zachłanne kryteria wyboru rzeczy do plecaka: 1. Najcenniejsze najpierw: 7 x nr 5 + 1 x nr 4 = 7x10 + 1x7 = 77 2. Najlżejsze najpierw: 23 x nr 6 = 23x2 = 46 3. Najcenniejsze w stosunku do swojej wagi najpierw, czyli w kolejności nierosnących wartości ilorazu pi / wi Kolejność: 7/2, 10/3, 4/2, 2/1, 5/3, 6/6 11 x nr 4 + 1 x nr 6 = 11x7 + 1x2 = 79 NAJLEPSZE OPTYMALNE: 10 x nr 4 + 1 x nr 4 = 10x7 + 1x10 = 80 Żadne zachłanne nie jest optymalne – na ogół tak jest Pojemność plecaka informatyka +

Metoda zachłanna: najdłuższa droga z piramidy 3 5 7 8 2 4 6 Dane: Piramida liczb: Wynik: Znaleźć najdłuższą drogę z korzenia Algorytm zachłanny. Zacznij w korzeniu Wybieraj większą liczbę poniżej. Droga z korzenia Długość drogi zachłannej: niebieska: 3+7+5+7+4 = 26 Długość drogi najdłuższej: różowa: 3+5+8+5+6 = 27 informatyka +

Przeszukiwanie z nawrotami Opis sytuacji: Duża przestrzeń możliwych rozwiązań. Nie znamy innej metody znalezienia rozwiązania niż przeszukanie tej przestrzeni Decydujemy się przeszukać całą przestrzeń, ale chcemy to zrobić systematycznie każde rozwiązanie powinno się pojawić, bezpośrednio lub pośrednio, ale żadne nie więcej niż raz Może nas interesować znalezienie wszystkich rozwiązań Przykłady: Wychodzenie z labiryntu – duża liczba możliwych dróg Ustawianie figur na szachownicy – duża liczba możliwych układów informatyka +

Przeszukiwanie z nawrotami: wychodzenie z labiryntu Opis sytuacji: Labirynt: pola = kwadraty, brak zamkniętych komnat Cel: znaleźć wyjście z dowolnego pola Algorytm: Wybieraj kierunki w kolejności: G (do góry), L (w lewo), P (w prawo), D (do dołu) – patrzymy zawsze przed siebie Jeśli nie ma przejścia – cofnij się na pole, z którego przyszedłeś. Nawrót informatyka +

Przeszukiwanie z nawrotami: wychodzenie z labiryntu Droga z pola 4a: G-3a, G-2a, G-1a – do Góry już nie można iść, ale można iść w Prawo P-1b – z tego pola nie ma już przejść G, L, P – cofamy się B-1a – także nie ma innego przejścia – cofamy się B-2a – podobnie, cofamy się B-3a – podobnie, cofamy się – z 3a można iść jeszcze w Prawo P-3b – istnieje przejście w Lewo L-2b – istnieje przejście w Prawo P-2c – istnieje przejście w Lewo WYJŚCIE z labiryntu informatyka +

Przeszukiwanie z nawrotami: rozmieszczanie hetmanów na szachownicy Opis sytuacji: Szachownica: n x n, hetman – atakuje po wszystkich liniach Cel: ustawić jak największą liczbę nie atakujących się hetmanów Algorytm: Poruszamy się kolumnami, od lewej do prawej, a w kolumnach od góry. Ustaw hetmana w danej kolumnie na nie atakowanym polu. Jeśli nie można, to cofnij się do poprzedniej kolumny i wybierz następne pole Nawrót informatyka +

Przeszukiwanie z nawrotami: rozmieszczanie hetmanów na szachownicy b2: brak pola w c nawrót do b: b1 c3: brak pola w d nawrót a: a3 b1 c4 d2 !!! informatyka +

Przeszukiwanie z nawrotami: rozmieszczanie hetmanów na szachownicy Drzewo poszukiwania ustawień: Ustawienie 4 hetmanów Odbicie symetryczne rozwiązania Oś symetrii drzewa informatyka +

Strategia dziel i zwyciężaj – przykład – poszukiwanie elem Strategia dziel i zwyciężaj – przykład – poszukiwanie elem. w zbiorze uporządkowanym Zgadywana liczba: 17 w przedziale [1 : 20] Metoda: połowienia przedziału Kolejne kroki: strzałka wskazuje wybór; kolor czerwony – ciąg do przeszukania: 5 porównań zamiast 20 !!! informatyka +

Pokrewne zajęcia w Projekcie Informatyka + Wykład+Warsztaty (Wszechnica Poranna): Wprowadzenie do algorytmiki i programowania – wyszukiwanie i porządkowanie informacji Proste rachunki wykonywane za pomocą komputera. Techniki algorytmiczne – przybliżone (heurystyczne) i dokładne. Wykłady (Wszechnica Popołudniowa): Czy wszystko można policzyć na komputerze? Porządek wśród informacji kluczem do szybkiego wyszukiwania. Dlaczego możemy się czuć bezpieczni w sieci, czyli o szyfrowaniu informacji. Znajdowanie najkrótszych dróg, najniższych drzew, najlepszych małżeństw informatyka +

Pokrewne zajęcia w Projekcie Informatyka + Kursy (24 godz.) – Wszechnica na Kołach: Algorytmy poszukiwania i porządkowania. Elementy języka programowania Różnorodne algorytmy obliczeń i ich komputerowe realizacje Grafy, algorytmy grafowe i ich komputerowe realizacje  Kursy (24 godz.) – Kuźnia Informatycznych Talentów – KIT dla Orłów: Przegląd podstawowych algorytmów Struktury danych i ich wykorzystanie Zaawansowane algorytmy Tendencje – Wykłady  Algorytmy w Internecie, K. Diks Czy P = NP, czyli jak wygrać milion dolarów w Sudoku, J. Grytczuk Między przeszłością a przyszłość informatyki, M.M Sysło informatyka +