Moment gnący, siła tnąca, siła normalna MECHANIKA 2 Wykład Nr 15 Moment gnący, siła tnąca, siła normalna Prowadzący: prof. dr hab. inż. Kazimierz Wójs

WPROWADZENIE Dowolny przestrzenny układ sił można zredukować do jednej siły wypadkowej i do jednej pary sił względem obranego bieguna. Działanie odrzuconej w myśli części pręta zastępujemy siłą wypadkową W i parą sił o momencie M0 (rys. 1a). Wypadkową W rozkładamy na dwa prostopadłe kierunki: kierunek normalnej do przekroju (składowa normalna N); kierunek styczny (składowa styczna T) (rys. 1b).

WPROWADZENIE Wektor M0 rozkładamy na dwie prostopadłe składowe: składową Mg styczną do przekroju poprzecznego, składową normalną Ms do przekroju poprzecznego. Moment Ms powoduje skręcanie pręta. Moment Mg powoduje zginanie pręta.

ROZKŁAD WEKTORA SIŁY I MOMENTU x N T Mg Ms c) a) b) Rys. 1. Rozkład wektora głównego W na składową normalną N i tnącą T oraz momentu głównego M0 na moment gnący Mg i skręcający Ms

RODZAJE ZGINANIA Zginanie czyste - jeżeli w danym przekroju układ sił zewnętrznych sprowadza się do jednej składowej Mg (rys.2a). Zginanie z udziałem sił poprzecznych – przy zginaniu czystym występuje równocześnie siła tnąca T (rys.2b). Zginanie proste (płaskie) – występuje, gdy siła tnąca (poprzeczna) T oraz para sił powodująca zginanie pręta działają w jednej płaszczyźnie zawierającej osie główne centralne przekrojów poprzecznych pręta (rys.2c).

RODZAJE ZGINANIE c a b Zginanie proste Mg=|My| T y x c Mg a Mz My b Ty Tz Zginanie proste Rys. 2. Typowe przypadki zginania: a) zginanie czyste, b) zginanie z udziałem sił poprzecznych, c) zginanie proste (płaskie) Jeżeli siły czynne (obciążenia) działające na pręt zginany leżą w jednej płaszczyźnie, to płaszczyznę tą nazywamy płaszczyzną zginania.

MOMENT GNĄCY Momentem gnącym Mg w danym przekroju belki nazywamy sumę momentów (względem środka ciężkości tego przekroju) wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętą tym przekrojem. x Mg y Rys. 3. Określenie znaków momentów gnących Mg Moment gnący Mg będzie dodatni, jeżeli wycięty w myśli element belki stara się wygiąć wypukłością do dołu.

SIŁA TNĄCA Siłą tnącą T w danym przekroju poprzecznym belki nazywamy rzut na płaszczyznę tego przekroju wypadkowej wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętą tym przekrojem. x T dx Rys. 4. Określenie znaków sił tnących T Siła tnąca T będzie dodatnia, jeżeli ma wycięty w myśli element belki siła ta będzie się starała obrócić zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

SIŁA NORMALNA Siłą normalną N w danym przekroju poprzecznym belki nazywamy rzut na kierunek normalnej, wypadkowej wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętą tym przekrojem. x N dx normalna zewnętrzna Rys. 5. Określenie znaków sił normalnych N: a) rozciągających (+), b) ściskających (-) Siła normalna N będzie dodatnia, jeżeli ma zwrot zgodny ze zwrotem normalnej zewnętrznej danego przekroju belki.

Powtórzenie Belki proste maja podparcia w postaci: Ry Rx podpory przegubowej stałej Ry podpory przegubowej przesuwnej Ry Mu Rx utwierdzenia całkowitego

Zginanie czyste można zaobserwować w przypadku zginania belki pryzmatycznej obciążonej jak na rys. 6. Część CD tej belki jest obciążona tylko momentem gnącym.

Belka poddana czystemu zginaniu 1. Wyznaczenie reakcji w podporach belki 2. Wyznaczenie momentów gnących w poszczególnych przedziałach belki Rys. 6. Belka obciążona siłami poprzecznymi P w sposób symetryczny

Belka poddana czystemu zginaniu Rys. 6. Belka obciążona siłami poprzecznymi P w sposób symetryczny

Belka poddana czystemu zginaniu 3. Wyznaczenie sił tnących w poszczególnych przedziałach belki 4. Wyznaczenie sił normalnych w poszczególnych przedziałach belki Rys. 6. Belka obciążona siłami poprzecznymi P w sposób symetryczny

Belka poddana czystemu zginaniu Na pryzmatycznym pręcie o przekroju prostokątnym na jego powierzchni bocznej narysujmy siatkę utworzoną z linii równoległych do osi pręta oraz linii obwodowych leżących w płaszczyznach przekrojów poprzecznych pręta (rys.7a). a’ d c b a b’ c’ d’ z y x Mg D C a) b h oś obojętna z y c) Rys. 7. Część CD belki z naniesioną siatką: a) przed obciążeniem, b),c) po obciążeniu

Obserwacje i hipotezy Krzywizna belki na odcinku CD jest stała i belka wygina się w kształt koła. Płaskie przekroje prostopadłe do osi belki po odkształceniu pozostają płaskie i prostopadłe do zakrzywionej osi belki (hipoteza płaskich przekrojów). 3. Wskutek obrotu przekrojów wzdłużne włókna doznają odkształceń.

Obserwacje i hipotezy Przyjmujemy założenie o braku nacisków włókien na siebie. 5. Zakładamy że włókna podlegają tylko rozciąganiu lub ściskaniu (wydłużeniu lub skr.) 6. Między tymi włóknami istnieje warstwa, której włókna nie ulega ani wydłużeniu, ani skróceniu (warstwa obojętna)

Reakcja: Moment gnący: parabola wklęsła

Moment gnący: Siła tnąca: Siła normalna:

Wniosek! Siła tnąca belki T(x) jest pochodną momentu gnącego belki Mg(x) po zmiennej x.

Linia ugięcia belki

Równanie linii ugięcia belki gdzie: E – moduł Younga; I – geometryczny osiowy moment bezwładności przekroju belki; y(x) – ugięcie belki; Mg(x) – moment gnący belki.

W poprzednim przykładzie: Linia ugięcia: Warunki brzegowe: Ostatecznie:

Strzałka ugięcia:

Przykład Warunki równowagi: Narysować wykres momentu gnącego, siły tnącej i siły normalnej belki. Dane liczbowe: a = 2 m, F = 100 N, α = 30°, M = 100 Nm, q = 50 N/m. Warunki równowagi:

Przykład Narysować wykres momentu gnącego, siły tnącej i siły normalnej belki. Dane liczbowe: a = 2 m, F = 100 N, α = 30°, M = 100 Nm, q = 50 N/m. Reakcje:

Mg nieciągłość parabola wklęsła T

Równia pochyła Warunki równowagi: Reakcje: Narysować wykres momentu gnącego, siły tnącej i siły normalnej belki, opartej końcem B o gładką równię pochyłą. Dane : a, G, α = 60°. Warunki równowagi: Reakcje:

F1 = F2 = 20 N. Warunki równowagi: Reakcje: Obliczyć momenty gnące, siły tnące i siły normalne ramy w poszczególnych przedziałach i narysować wykresy dla danych liczbowych: a = 1 m, b = 2 m, α = 45°, F1 = F2 = 20 N. Warunki równowagi: Reakcje: