Wytrzymałość materiałów (WM I - 10) r.a. 2017/2018

prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG e-mail: mger@pg.gda.pl Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Środy: 14.00-15.45 W PREZENTACJI WYKORZYSTANO MATERIAŁY AUTORSTWA: prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego

Wykład W10: Metody wyznaczania naprężeń (sił tnących, momentów gnących) i odkształceń dla statycznie niewyznaczalnych układów prętowych: - Metoda warunków brzegowych - Metoda superpozycji - Przykłady zastosowania metod dla wybranych przypadków statycznie niewyznaczalnych układów prętowych. Autorstwo poniższego wykładu: © Prof. Krzysztof Kaliński http://pg.edu.pl/288cd25679_miroslaw.gerigk/wizytowka

Statycznie niewyznaczalne układy prętowe Metoda warunków brzegowych. Rozważmy belkę o długości l i sztywności na zginanie EI utwierdzoną w jednym końcu i swobodnie podpartą na drugim, obciążoną równomiernie rozłożonym obciążeniem q. l RA MA x B A y q RB 1. Równania równowagi © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:27

Statycznie niewyznaczalne układy prętowe W dwóch równaniach występują trzy niewiadome RA, RB, MA, jest to więc belka jednokrotnie statycznie niewyznaczalna (hiperstatyczna). 2. Warunki geometryczne Reakcja RB (traktowana jako wielkość hiperstatyczna) jest skutkiem podparcia belki w punkcie B, co odpowiada następującemu warunkowi geometrycznemu: Oznacza to, że pionowe przemieszczenie w punkcie B jest równe zero. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:27

Statycznie niewyznaczalne układy prętowe 3. Związki fizyczne Związek fizyczny powinien uzależniać uB od sił działających na belkę oraz jej własności sprężystych. Można do jego sformułowania wykorzystać równanie różniczkowe osi ugięcia belki. Równanie momentu gnącego analizowanej belki ma postać: Różniczkowe równanie osi ugięcia Dwukrotne całkowanie równania osi ugięcia © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:27

Statycznie niewyznaczalne układy prętowe Warunki brzegowe dla punku A Patrz wykład nr 6 tabela pozycja 1 oraz warunek brzegowy dla punku B Warunek geometryczny uB jest więc dodatkowym warunkiem brzegowym. Dla dowolnej belki statycznie niewyznaczalnej można © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:27

Statycznie niewyznaczalne układy prętowe sformułować tyle dodatkowych warunków brzegowych, ile jest wielkości hiperstatycznych. Reasumując aby rozwiązać belkę statycznie niewyznaczalną, należy napisać równania równowagi oraz sformułować równania różniczkowe osi ugiętej, a następnie je scałkować. Łączna liczba równań równowagi i warunków brzegowych równać się będzie liczbie poszukiwanych reakcji oraz stałych całkowania, co pozwala na wyznaczenie wszystkich niewiadomych. Z warunku geometrycznego: Korzystając z otrzymanego równania oraz równań równowagi: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:27

Statycznie niewyznaczalne układy prętowe Ostatecznie równanie momentu gnącego ma postać: a równanie sił poprzecznych: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Statycznie niewyznaczalne układy prętowe Gdy T(x) = 0 to moment gnący Mg(x) osiąga lokalne ekstremum: 4. Wykresy momentów gnących oraz sił poprzecznych © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Statycznie niewyznaczalne układy prętowe RA MA x B A y RB q x T(x) RB RA + x – Mg(x) + MA 2018-09-15 09:43:28 © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology

Statycznie niewyznaczalne układy prętowe Metoda Clebscha. Rozwiązywanie statycznie niewyznaczalnych belek o wielu przedziałach zmienności obciążenia, omówioną metodą komplikuje się. Zagadnienie znacznie się upraszcza się po zastosowaniu metody Clebscha. Przykład. Belka o długości 2l i sztywności EI, podparta przegubowo pośrodku oraz na końcach, jest obciążona równomiernie rozłożonym obciążeniem q działającym na długości l. Wyznaczyć reakcje w belce, sporządzić wykresy sił tnących i momentów gnących. l RA x C A y q Rc RB B © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Statycznie niewyznaczalne układy prętowe Stosując metodę Clebscha, należy przedłużyć obciążenie ciągłe, oraz w drugim przedziale dodać obciążenie ciągłe (przeciwne). l RA x A y q Rc RB B C 1. Reakcje więzów – płaski układ sił równoległych © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Statycznie niewyznaczalne układy prętowe Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny. Reakcja RB jest wielkością hiperstatyczną. Warunek geometryczny ma postać: 2. Równanie momentu gnącego w zapisie zgodnym z metodą Clebscha 3. Różniczkowe równanie osi ugięcia w zapisie zgodnym z metodą Clebscha © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Statycznie niewyznaczalne układy prętowe 4. Dwukrotne całkowanie równania osi ugięcia w zapisie zgodnym z metodą Clebscha 5. Określenie stałych całkowania z warunków brzegowych (patrz wykład nr 6 tabela nr 1 © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Statycznie niewyznaczalne układy prętowe oraz 6. Korzystając z otrzymanych równań oraz równań równowagi: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Statycznie niewyznaczalne układy prętowe 7. Ostatecznie równania momentu gnącego (w zapisie tradycyjnym) mają postać: a równania sił poprzecznych: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Statycznie niewyznaczalne układy prętowe Gdy T(x) = 0 to moment gnący Mg(x) osiąga lokalne ekstremum: brak rozwiązań © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Statycznie niewyznaczalne układy prętowe 8. Wykresy momentów gnących oraz sił poprzecznych © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Statycznie niewyznaczalne układy prętowe RA x C A y q Rc RB B Mg(x) + T(x) RC – © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Metoda superpozycji l RA x C A y q Rc RB B Metoda superpozycji bazuje na liniowej zależności pomiędzy przemieszczeniami (ugięciem w punkcie) a obciążeniem. Mając do dyspozycji ograniczoną liczbę rozwiązań dla typowych prostych przypadków zginania belek (tabela nr 2 wykład nr 6) można uniknąć żmudnych i pracochłonnych obliczeń oraz szybko wyznaczyć wielkości hiperstatyczne, wykorzystując warunek wynikający z odkształceń. Metodę przedstawimy na przykładzie znanej już belki. l RA x C A y q Rc RB B © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Metoda superpozycji l RA’ C A y q Rc’ B x 1. Reakcje więzów – płaski układ sił równoległych Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny, a reakcja RB jest wielkością hiperstatyczną. 2. Załóżmy, że omawiana belka jest podparta przegubowo tylko na końcach. Wówczas w punkcie B wystąpiłoby ugięcie; oznaczymy je jako l RA’ C A y q Rc’ B x © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Metoda superpozycji Dla belki o tym samym schemacie obciążenia znajdujemy w tabeli nr 2 wykład nr 6 (pozycja nr 5) wartość ugięcia w punkcie B: Wyrażenie powyższe było wyprowadzone dla belki o długości l, belka obecnie rozważana ma długość 2l, ponadto a = b = l, stąd: 3. Następnie załóżmy, że omawiana belka nadal jest podparta przegubowo na końcach, a obciążona jest tylko w środku siłą równą co © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Metoda superpozycji B RA’’ y Rc’’ l x C A RB 3. Następnie załóżmy, że omawiana belka nadal jest podparta przegubowo na końcach, a obciążona jest tylko w środku siłą równą co do wartości wielkości hiperstatycznej RB, wówczas w punkcie B wystąpi ugięcie B RA’’ y Rc’’ l x C A RB Dla belki o tym samym schemacie obciążenia znajdujemy w tabeli nr 2 wykład nr 6 (pozycja nr 4) wartość ugięcia w punkcie B: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Metoda superpozycji Wyrażenie powyższe było wyprowadzone dla belki o długości l, belka obecnie rozważana ma długość 2l ( a = b = l ) a zwrot siły F przeciwny niż przewidywany zwrot reakcji RB, stąd: 4. W układzie zasadniczym ugięcie w punkcie B jest równe zero (podpora), zatem wartość liczbowa reakcji RB musi być na tyle duża, aby ugięcie wywołane działaniem reakcji RB (na belkę nie obciążoną obciążeniem ciągłym), było równe co do wartości ugięciu Na tej podstawie równanie odkształceń ma postać: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Metoda superpozycji stąd: czyli: Po podstawieniu otrzymanej wartości reakcji RB do równań statyki: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Metoda superpozycji q MA MB A B x RA RB l y Uzyskane wyniki są więc identyczne jak poprzednio! Dalsza część rozwiązania może przebiegać identycznie, jak poprzednio albo należy wyznaczyć wykresy sił poprzecznych i momentów gnących dla dwóch przypadków prostych (statycznie wyznaczalnych). A następnie można uzyskać wykresy wynikowe poprzez dodanie ze sobą odpowiednich wykresów dla przypadków statycznie wyznaczalnych. Przykład. Belka o długości l i sztywności EI, utwierdzona obu na końcach, jest obciążona równomiernie rozłożonym obciążeniem q działającym na długości l. Wyznaczyć reakcje w belce, sporządzić wykresy sił tnących i momentów gnących. l RA MA x B A y RB q MB © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Patrz wykład nr 6 tabela pozycja 1 Metoda superpozycji 1. Równania równowagi W dwóch równaniach występują cztery niewiadome RA, RB, MA, MB, jest to więc belka dwukrotnie statycznie niewyznaczalna (hiperstatyczna). Załóżmy że wielkościami hiperstatycznymi są reakcje w punkcie B belki, tj. siła reakcji RB i moment utwierdzenia MB. Aby rozwiązać analizowaną belkę należy sformułować dwa równania odkształceń w punkcie B: Patrz wykład nr 6 tabela pozycja 1 © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Metoda superpozycji , gdzie: – ugięcie i kąt osi ugięcia w punkcie B, gdy działa tylko obciążenie ciągłe (po usunięciu utwierdzenia w punkcie B), , , – ugięcie i kąt osi ugięcia w punkcie B, gdy w tym miejscu belki, działa moment równy co do wartości wielkości hiperstatycznej MB (po usunięciu utwierdzenia w punkcie B), , – ugięcie i kąt osi ugięcia w punkcie B, gdy w tym miejscu belki, działa siła równy co do wartości wielkości hiperstatycznej RB (po usunięciu utwierdzenia w punkcie B). © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Metoda superpozycji q MA’ B x A RA’ l y 2. Ugięcie i kąt osi ugięcia w punkcie B (po usunięciu utwierdzenia w punkcie B), gdy działa tylko obciążenie ciągłe wynosi zgodnie z tabelą nr 2 z wykładu nr 6 (pozycja 2): l RA’ MA’ B A y q x © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Metoda superpozycji MA’’ MB B x A RA’’ l y 3.Ugięcie i kąt osi ugięcia w punkcie B, gdy w tym miejscu belki, działa moment równy co do wartości wielkości hiperstatycznej MB wynosi zgodnie z tabelą nr 2 z wykładu nr 6 (pozycja 3): RA’’ l MA’’ B A y x MB © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Metoda superpozycji RA’’’ l MA’’’ B A y x RB 4. Ugięcie i kąt osi ugięcia w punkcie B, gdy w tym miejscu belki, działa siła równy co do wartości wielkości hiperstatycznej RB wynosi zgodnie z tabelą nr 2 z wykładu nr 6 (pozycja 1): RA’’’ l MA’’’ B A y x RB © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Metoda superpozycji 5. Równania odkształceń przyjmują postać: 6. Rozwiązując układ równań złożony z równań odkształceń i równań statyki przyjmują postać: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Metoda superpozycji 7. Równanie momentu gnącego ma postać: a równanie sił poprzecznych: Gdy T(x) = 0 to moment gnący Mg(x) osiąga lokalne ekstremum: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Metoda superpozycji 8. Wykresy momentów gnących oraz sił poprzecznych © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Metoda superpozycji q MA MB A B x RA RB l y T(x) – Mg(x) + © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28

Dziękuję za uwagę !!! © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-09-15 09:43:28