The Discrete-Time Fourier Transform (DTFT) Transformacja Fouriera dla sygnałów dyskretnych  Transformacja Fouriera dla czasu dyskretnego ( DTFT). częstotliwość znormalizowana.

jeżeli x(m) jest funkcją bezwzględnie sumowalną: wówczas suma we wzorze: zbiega się i transformata DTFT ciągu x(m) istnieje DTFT ciągu dyskretnego jest ciągłą funkcją zmiennej (częstotliwości kołowej)

DTFT koncepcja Aproksymacja całki: Transformacja Fouriera ciągłego w czasie sygnału x(t): Aproksymacja całki:

DTFT (cd) . Ignorujemy skalarną wielkość TS DTFT

Przykład 1  rozważany sygnał   DTFT . Z wzoru na szereg geometryczny

Przykład 2   analizowany sygnał (próbka jednostkowa)   DTFT . .

właściwości DTFT Okresowość Liniowość (DTFT jest operatorem liniowym)

właściwości DTFT (cd) Przesunięcie DTFT .

Przykład (unit sample=próbka jednostkowa) DTFT  1  .

Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości   sygnał pomnożony* DTFT . Pomnożenie przez wykładniczą funkcję zespoloną Powoduje przesunięcie DTFT w dziedzinie częstotliwości.

Splot DTFT .

Splot  formuła „step by step” Z definicji .

Przykład 3 Wyznaczyć transformatę DTFT sygnału Założenia wizualizacji w Matlabie ; Zakres pulsacji w: wyświetlany przedział: [0,pi]

Wykorzystane właściwości DTFT Okresowość: Transformata DTFT jest okresowa dla w z okresem 2pi Winosek:potrzebny wykres funkcji z jeden okres zamiast całego przedziału Symetria: Dla rzeczywistego ciągu x(n), prawdziwe jest Co oznacza, że potrzebny jest jedynie wykres DTFT w przedziale:: [0,pi]

Symetrie zespolone even= parzystość odd=nieparzystość

Implementacja w programie Matlab DTFT: n=-1:3; x=1:5; k=0:500; w=(pi/500)*k; X=x*(exp(-j*pi/500).^(n'*k)); magX=abs(X); angX=angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(k/500,magX); grid; xlabel('pulsacja względna (odniesiona do pi)'); title('Moduł'); subplot(2,2,2);plot(k/500,angX);grid on; title('Faza');

DTFT sygnału x(n)

Przykład Znajdź DTFT sygnału:

Skalowanie sygnału

Charakterystyka amplitudowa

Twierdzenie Parsevala Sygnał dyskretny Równanie obrazuje energię sygnału w dziedzinie czasu i częstotliwości.

Porównanie DTFT z DFT DFT ciągu dyskretnego DTFT tego samego ciągu   DTFT tego samego ciągu . . Współczynniki DFT są próbkami ciągłego Widma transformaty DTFT sygnału w punktach

Odpowiedź dyskretnych sygnałów liniowych i stacjonarnych

Odpowiedź częstotliwościowa układu dyskretnego jest transformatą DTFT odpowiedzi impulsowej h(m) i jest ciągłą funkcją częstotliwości znormalizowanej

Energia sygnału Definicja Eneria sygnału zawarta w sygnale x(t) wynosi . .

Moc sygnału Moc sygnału zawarta w sygnale x(t) . .

Wniosek Energia i moc sygnału to pojęcia służące do opisu właściwości sygnałów Nie są miarami rzeczywistej mocy chwilowej i energii sygnału.

Energia sygnału (cd) . .

Przykład 1

Przykład 2

Wzór Parsevala:

WZÓR Parsevala.

Przykład 2