Elementy analizy matematycznej Funkcje Zmienna y nazywa się zmienną zależną albo funkcją zmiennej x jeśli przyjmuje określone wartości dla każdej wartości zmiennej x w jej pewnym przedziale zmienności. lub Przykłady funkcji

Pochodna funkcji y B(x1,y1) A(xo,yo) ∆y Równanie prostej ∆x x

Pochodna funkcji w danym punkcie jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. Wyrażenie dy = y’dx nazywa się różniczką funkcji y = y(x), dx – jest różniczką argumentu x. Różniczkując pierwsza pochodną po x, otrzymamy drugą pochodną itd……

Obliczymy pochodną

Podstawowe wzory rachunku różniczkowego c = const 1 2 3 4

5

Pochodne funkcji elementarnych y=f(x) y’ x 1 cosx -sinx xn nxn-1 tgx 1/cos2x ex ctgx -1/sin2x lnx x-1 ax axlna sinx

Rachunek całkowy – całka nieoznaczona Całką nieoznaczoną lub funkcją pierwotną funkcji y = f(x) nazywamy taką funkcję F(x), której pochodna jest równa danej funkcji f(x) Całkę nieoznaczoną zapisujemy symbolicznie jako

Całki funkcji elementarnych

Całka oznaczona Funkcja y = f(x) jest ciągła w przedziale <a,b> zmiennej x. a b Całka oznaczona jest równa polu ograniczonemu osią x i krzywą f(x)

Przykład Całka oznaczona w przedziale <-2,3>

y = x 3 Pole trójkąta + -2 - 3 -2

Elementy kinematyki

Położenie punktu materialnego określa wektor położenia Jest to promień wodzący poprowadzony z początku układu współrzędnych do tego punktu. Wektor przemieszczenia y 1 Wektor przemieszczenia podzielony przez czas, w którym to przemieszczenie nastąpiło jest prędkością średnią punktu materialnego 2 x

Punkt 2 wybieramy blisko punktu 1 Wartość prędkości chwilowej jest zawsze liczbą dodatnią. Wektor prędkości jest zawsze styczny do toru poruszającego się punktu. Prędkość punktu materialnego w danej chwili (t0) jest prędkością chwilową v v

Przyspieszenie określa zmianę wektora prędkości w czasie Przyspieszenie określa zmianę wektora prędkości w czasie. Przyspieszenie średnie Jeśli t  0, przyspieszenie chwilowe y x

Ciało przebyło w czasie dt drogę Droga jaką przebyło ciało od chwili początkowej tp do chwili końcowej tk jest równa długości łuku toru zakreślonego przez ciało w zadanym przedziale czasu. Ciało przebyło w czasie dt drogę Chwilowa wartość prędkości Sumując wszystkie odcinki dróg ds, które przebywa punkt materialny poruszając się w przestrzeni od punktu P do punktu K otrzymamy całkowitą drogę Droga nigdy nie może być ujemna. .