Wytrzymałość materiałów

Slides:



Advertisements
Podobne prezentacje
Równowaga chemiczna - odwracalność reakcji chemicznych
Advertisements

Plan Czym się zajmiemy: 1.Bilans przepływów międzygałęziowych 2.Model Leontiefa.
Zajęcia 1-3 Układ okresowy pierwiastków. Co to i po co? Pojęcie masy atomowej, masy cząsteczkowej, masy molowej Proste obliczenia stechiometryczne. Wydajność.
Próba rozciągania metali Wg normy: PN-EN ISO :2010 Metale Próba rozciągania Część 1: Metoda badania w temperaturze pokojowej Politechnika Rzeszowska.
Mechanika płynów. Prawo Pascala (dla cieczy nieściśliwej) ( ) Blaise Pascal Ciśnienie wywierane na ciecz rozchodzi się jednakowo we wszystkich.
© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego.
© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych - laboratorium, Studium Magisterskie Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, Kierunek Biotechnologia,
Niepewności pomiarowe. Pomiary fizyczne. Pomiar fizyczny polega na porównywaniu wielkości mierzonej z przyjętym wzorcem, czyli jednostką. Rodzaje pomiarów.
Ćwiczenia Zarządzanie Ryzykiem Renata Karkowska, ćwiczenia „Zarządzanie ryzykiem” 1.
Przemiany energii w ruchu harmonicznym. Rezonans mechaniczny Wyk. Agata Niezgoda Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego.
Ryzyko a stopa zwrotu. Standardowe narzędzia inwestowania Analiza fundamentalna – ocena kondycji i perspektyw rozwoju podmiotu emitującego papiery wartościowe.
Podstawowe pojęcia termodynamiki chemicznej -Układ i otoczenie, składniki otoczenia -Podział układów, fazy układu, parametry stanu układu, funkcja stanu,
Kwantowy opis atomu wodoru Łukasz Palej Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Kierunek Górnictwo i Geologia Kraków, r
Badania elastooptyczne Politechnika Rzeszowska Katedra Samolotów i Silników Lotniczych Ćwiczenia Laboratoryjne z Wytrzymałości Materiałów Temat ćwiczenia:
Wypadkowa sił.. Bardzo często się zdarza, że na ciało działa kilka sił. Okazuje się, że można działanie tych sił zastąpić jedną, o odpowiedniej wartości.
Funkcja liniowa Przygotował: Kajetan Leszczyński Niepubliczne Gimnazjum Przy Młodzieżowym Ośrodku Wychowawczym Księży Orionistów W Warszawie Ul. Barska.
Optymalna wielkość produkcji przedsiębiorstwa działającego w doskonałej konkurencji (analiza krótkookresowa) Przypomnijmy założenia modelu doskonałej.
Opracowanie Joanna Szymańska Konsultacja Bożena Hołownia.
Renata Maciaszczyk Kamila Kutarba. Teoria gier a ekonomia: problem duopolu  Dupol- stan w którym dwaj producenci kontrolują łącznie cały rynek jakiegoś.
 Austriacki fizyk teoretyk,  jeden z twórców mechaniki kwantowej,  laureat nagrody Nobla ("odkrycie nowych, płodnych aspektów teorii atomów i ich zastosowanie"),
Wytrzymałość materiałów
Wytrzymałość materiałów
Wytrzymałość materiałów
Wytrzymałość Konstrukcji (Wytrzymałość materiałów, Mechanika konstrukcji) Nauka o trwałości spotykanych w praktyce typowych elementów konstrukcji pod działaniem.
Wytrzymałość materiałów
Wytrzymałość materiałów
Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji
System wspomagania decyzji DSS do wyznaczania matematycznego modelu zmiennej nieobserwowalnej dr inż. Tomasz Janiczek.
MECHANIKA 2 Dynamika układu punktów materialnych Wykład Nr 9
Wytrzymałość materiałów
RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY
Wytrzymałość materiałów
MATEMATYCZNE MODELOWANIE PROCESÓW BIOTECHNOLOGICZNYCH
Wytrzymałość materiałów
Wytrzymałość materiałów
Prowadzący: dr Krzysztof Polko
Dynamika ruchu płaskiego
Podstawy automatyki I Wykład /2016
Elementy analizy matematycznej
Wytrzymałość materiałów
Wytrzymałość materiałów
Zajęcia przygotowujące do matury rozszerzonej z matematyki
PROCESY SZLIFOWANIA POWIERZCHNI ŚRUBOWYCH
Podstawy teorii zachowania konsumentów
Wytrzymałość materiałów
Moment gnący, siła tnąca, siła normalna
Wytrzymałość materiałów
PODSTAWY MECHANIKI PŁYNÓW
Wytrzymałość materiałów WM-I
Wytrzymałość materiałów
Tensor naprężeń Cauchyego
Wytrzymałość materiałów
Wytrzymałość materiałów
Wytrzymałość materiałów
+ Obciążenia elementów przekładni zębatych
MATEMATYKAAKYTAMETAM
Wytrzymałość materiałów
Wytrzymałość materiałów
Wyrównanie sieci swobodnych
Wytrzymałość materiałów
Wytrzymałość materiałów
Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
Wytrzymałość materiałów
Mechanika płynów Podstawy dynamiki płynów rzeczywistych
Wytrzymałość materiałów
Wytrzymałość materiałów
WYBRANE ZAGADNIENIA PROBABILISTYKI
Elipsy błędów.
Wytrzymałość materiałów (WM II – wykład 11 – część B)
Zapis prezentacji:

Wytrzymałość materiałów (WM I - 6) r.a. 2017/2018

prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG e-mail: mger@pg.gda.pl Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Poniedziałki: 14.00-15.15, Czwartki: 14.00-15.15 W PREZENTACJI WYKORZYSTANO MATERIAŁY AUTORSTWA: prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego

Wykład W6: Odkształcenia belki zginanej: - Równanie osi ugiętej belki - Warunki brzegowe równania osi ugiętej belki - Procedura wyznaczania kątów ugięcia i osi ugiętej belki - Strzałka ugięcia, sztywność i warunek sztywności belki - Przykłady praktyczne odkształceń belek zginanych Przykład obliczeniowy:Analiza odkształceń dla wybranych przypadków belek zginanych. Ścinanie pręta (pręt ścinany): - Równanie równowagi - Rozkład naprężeń stycznych - Naprężenia dopuszczalne na ścinanie - Warunek wytrzymałości dla napręzęń dopuszczalnych na ścinanie Przykłady praktyczne prętów ścinanych Przykład obliczeniowy: Analiza wytrzymałości wybranego pręta na ścinanie. Autorstwo poniższego wykładu: © Prof. Krzysztof Kaliński http://pg.edu.pl/288cd25679_miroslaw.gerigk/wizytowka

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej Równanie osi ugiętej belki Prosta oś belki po odkształceniu staje się krzywą płaską, którą opisuje równanie . x Mg y x Przy uwzględnieniu tylko małych przemieszczeń punktów osi w kierunku osi y, obowiązują następujące związki: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-08-09 09:07:19

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej czyli gdzie: – ugięcie, – kąt ugięcia zwany inaczej kątem nachylenia stycznej do osi krzywej w mierze łukowej (równy kątowi obrotu przekroju belki); Jeśli uwzględni się wyrażenia na krzywiznę osi belki: – wynikające ze związków fizycznych: Krzywizna „ujemna” © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-08-09 09:07:19

POPRZEDNI WYKŁAD: Wytrzymałość belek – zginanie: Moment gnący: Naprężenia (normalne) przy zginaniu wskaźnik wytrzymałości na zginanie Dla przekroju kołowego Elementy zginane konstrukcji maszyn oblicza się z uwagi na spełnienie warunku wytrzymałości dla naprężeń dopuszczalnych na zginanie: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-08-09 09:07:19

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej – krzywizna osi belki; gdzie: – sztywność belki (pręta) na zginanie; – wynikające z warunków geometrycznych: to otrzyma się zależność: co ostatecznie prowadzi do równania różniczkowego drugiego rzędu osi ugiętej belki: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-08-09 09:07:19

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej Rozwiązania różniczkowego równania osi ugiętej belki mają postać: gdzie: C i D – stałe całkowania, zależne od warunków brzegowych. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-08-09 09:07:19

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej Uwaga! Rozwiązanie różniczkowego równania osi ugiętej belki jest możliwe tylko wówczas, gdy moment gnący jest funkcją ciągłą dwukrotnie całkowalną. Dla belek obciążonych kilkoma siłami skupionymi i momentami równanie różniczkowe całkuje się przedziałami tzn. dla każdego z przedziałów układa się odrębne równanie momentów gnących a tym samym różniczkowe równanie osi ugiętej. Różniczkowych równań osi ugiętej jest tyle, ile przedziałów, a stałych całkowania jest więcej. Aby wyznaczyć stałe całkowania należy uwzględnić warunki brzegowe na końcach belki oraz równania ciągłości belki, czyli nierozdzielności przemieszczeń i kątów ugięć na końcach przedziałów. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-08-09 09:07:19

Rodzaj podparcia lub granicy przedziału Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej Warunki brzegowe równania osi ugiętej: Indeks l lub p określa, że przemieszczenia wyznaczono z równania obowiązującego w przedziale po lewej lub prawej granicy przedziału. Lp. Rodzaj podparcia lub granicy przedziału Warunki brzegowe 1 Koniec utwierdzony 2 Przegubowa podpora końcowa , 3 Przegubowa podpora środkowa 4 Połączenie przegubowe 5 Siła lub moment skupiony, granica obciążenia ciągłego © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-08-09 09:07:19

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej W praktyce inżynierskiej bardzo często moduł Younga E oraz geometryczny moment bezwładności Iz nie zależą od współrzędnej x, a wtedy różniczkowe równanie osi ugięcia upraszcza się do postaci: oraz odpowiednio: Równanie różniczkowe osi ugięcia belki, może zależeć również tylko od sił zewnętrznych. Jest to wówczas równanie różniczkowe czwartego rzędu o postaci: 0 < x < l © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-08-09 09:07:19

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej , , , Rozwiązanie tego równania wymaga znajomości czterech warunków brzegowych dotyczących: - ugięć - kątów ugięcia - oraz wyrażone poprzez ugięcia momenty gnące - i siły tnące na końcach belki (dla x = 0 i x = l ). Momenty gnące w funkcji ugięć opisuje zależność: można przedstawić jako: Natomiast siły tnące w funkcji ugięć © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-08-09 09:07:19

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej q M=0,5ql2 MA x RA x F=ql l y Patrz tabela pozycja 1 © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-08-09 09:07:19

Patrz wykresy momentów gnących i sił tnących Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej Patrz wykresy momentów gnących i sił tnących © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-08-09 09:07:19

POPRZEDNI WYKŁAD: Wytrzymałość belek – zginanie: 3. Wykresy momentów gnących oraz sił poprzecznych Mg(x) + 0,5ql2 parabola ql2 T(x) -ql  © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-08-09 09:07:19

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej Przykład. Belka o długości l i sztywności EI utwierdzona jednym końcem, jest obciążona siłą skupioną F. Sformułować równanie kątów ugięcia i osi ugiętej oraz wyznaczyć kąt ugięcia i ugięcie w punkcie B. RA MA x A B x F l y © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-08-09 09:07:19

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej 1. Reakcje więzów – płaski układ sił równoległych Po przekształceniu 2. Równanie momentu gnącego 3. Różniczkowe równanie osi ugięcia © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-08-09 09:07:19

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej 4. Dwukrotne całkowanie równania osi ugięcia 5. Określenie stałych całkowania z warunków brzegowych Patrz tabela pozycja 1 6. Równanie kąta ugięcia belki © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-08-09 09:07:19

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej 7. Równanie osi ugięcia belki 8. Kąt ugięcia oraz ugięcie w punkcie B © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-08-09 09:07:19

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej Uwaga! Znak minus kąta ugięcia wynika stąd, że jest on odmierzany od osi y do x. wynika stąd, że przemieszczenie Znak minus przy ugięciu ma zwrot przeciwny do osi y. Największa wartość bezwzględna ugięcia belki nosi nazwę strzałka ugięcia i oznaczana jest literą f. Dla analizowanej belki: Strzałka ugięcia świadczy o sztywności belki. W praktyce inżynierskiej, strzałkę ugięcia wyznacza się dla danego fragmentu konstrukcji (np. wału), a następnie porównuje się ją z wartością dopuszczalną. W zależności od rodzaju i przeznaczenia konstrukcji przyjmuje się dopuszczalną strzałkę ugięcia : © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-08-09 09:07:19

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej Warunek sztywności gdzie: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-08-09 09:07:19

Wytrzymałość belek – zginanie, odkształcenia belki zginanej Przykład. Belka o długości 2l i sztywności EI, podparta przegubowo na końcach, jest obciążona równomiernie rozłożonym obciążeniem q i działającym na długości l. Sformułować równanie kątów ugięcia i ugięcie w punkcie B. osi ugiętej oraz wyznaczyć kąt ugięcia x x q RA RC B C A x l l y © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-08-09 09:07:19

Dziękuję za uwagę !!! © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology 2018-08-09 09:07:19