Liczby pierwsze

Co to jest liczba ?? Liczba – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Określenie „liczba” bez żadnego przymiotnika jest nieścisłe, gdyż matematycy nie definiują „liczb”, lecz „liczby naturalne”, „liczby całkowite”, itp. Poszczególne rodzaje liczb są definiowane za pomocą aksjomatów lub konstruowane z bardziej podstawowych pojęć, takich jak zbiór, czy typy liczb prostsze od konstruowanego. Aksjomat – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej

Co to są liczby pierwsze ?? Liczby pierwsze to liczby naturalne, które posiadają dokładnie dwa dzielniki (liczbę 1 i samą siebie). Oto kilka początkowych liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 9

Ile jest liczb pierwszych ?? Odpowiedź na pytanie o to, ile jest liczb pierwszych, zawiera następujące twierdzenie: Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Pierwszy nieskończoności liczb pierwszych dowiódł Euklides, który tak oto pisał: Jest więcej liczb pierwszych, niż każda dana liczba liczb pierwszych.

Nasuwa się pytanie, czy liczba naturalna jest pierwsza, czy też nie jest liczbą pierwszą. Jeśli liczba naturalna większa od 1 nie jest pierwszą, to jest iloczynem dwóch liczb naturalnych od niej mniejszych. Liczby takie nazywamy liczbami złożonymi.

Tablica rozkładów na czynniki pierwsze dla liczb Liczba Czynniki pierwsze 2 Liczba pierwsza nr 1 3 Liczba pierwsza nr 2 4 =2×2 5 Liczba pierwsza nr 3 6 =2×3 7 Liczba pierwsza nr 4 8 =2×2×2 9 =3×3

Jak rozpoznać czy liczba naturalna jest pierwsza? Aby sprawdzić, czy liczba naturalna jest liczbą pierwszą, należy dzielić ją kolejno przez wszystkie liczby mniejsze od niej z wyjątkiem jedynki. Jeśli przy każdym dzieleniu reszta z dzielenia jest różna od zera, to liczba jest liczbą pierwszą. Natomiast jeżeli choć jedno dzielenie daje resztę równą zero, to sprawdzana liczba naturalna jest liczbą złożoną. Nie jest to więc problem teoretyczny, jednak praktycznie trudny w przypadku bardzo dużych liczb. Jeśli liczba jest stosunkowo niewielka, takie dzielenia możemy przeprowadzić sami, natomiast jeśli liczba nie jest już mała, to rozsądnie jest sprawdzić ją za pomocą urządzenia, które potocznie nazywa się komputerem. Ale ów maszynę trzeba zaprogramować, czyli napisać algorytm, który rozstrzygnie czy dana liczba jest pierwsza. Algorytm ten musi być przy tym efektywny, taki który wykona możliwie jak najmniej operacji, w jak najkrótszym czasie

Twierdzenie o sumie dwóch kwadratów Liczby pierwsze nieparzyste można podzielić na dwie grupy, pierwsza składa się z liczb, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 1, druga grupa składa się z liczb, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 3. Pierwszą grupę możemy zapisać w postaci 4k + 1, drugą grupę 4k + 3, gdzie k jest liczbą całkowitą Liczby pierwsze postaci: 4k + 1: 5, 13, 17, 29, 37, ... 4k + 3: 3, 7, 11, 19, 23, ...

Twierdzenie Legrange'a Jeżeli p jest liczbą pierwszą, wielomian f(x) = a0xn +a1xn-1 + ... + an-1x + an jest wielomianem stopnia naturalnego n o współczynnikach całkowitych, gdzie współczynnik przy najwyższej potędze x, a0 jest niepodzielny przez p, to wśród liczb x = 0, 1, 2, ..., p - 1 istnieje nie więcej niż n takich, dla których liczba f(x) jest podzielna przez p.

f(x) = (x - 1)(x - 2)...(x - p + 1) - xp-1 + 1 Twierdzenie Wilsona Sir John Wilson (1741 - 1793) zauważył, że gdy p jest liczbą pierwszą, wtedy resztą z dzielenia liczby (p - 1)! przez p jest zawsze p - 1. Dla każdej liczby pierwszej p liczba (p - 1)! + 1 jest podzielna przez p. Dowód. Niech p będzie liczbą pierwszą i niech f(x) = (x - 1)(x - 2)...(x - p + 1) - xp-1 + 1 Kryterium Wilsona dla liczb pierwszych Godnym uwagi jest, że jeżeli dla liczby naturalnej n > 1 liczba (n - 1)! + 1 jest podzielna przez n, to n musi być liczbą pierwszą. Gdyby n było liczbą złożoną, to n = ab, gdzie 1 < a, b < n i liczba a byłaby jednym z czynników iloczynu 1 · 2 · ... · (n - 1), a więc liczba (n - 1)! + 1 przy dzieleniu przez a dawałaby resztę 1. Zachodzi sprzeczność, ponieważ będąc podzielną przez n, musi być podzielna przez a, dowodzi to, że liczba n musi być pierwszą.

The End