Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 10 MOMENT BEZWŁADNOŚCI Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Definicja momentu bezwładności Momentem bezwładności punktu materialnego względem płaszczyzny, osi lub bieguna nazywamy iloczyn masy punktu przez kwadrat odległości tego punktu od danej płaszczyzny, osi lub bieguna: Jednostką jest

Moment bezwładności układu punktów Momentem bezwładności układu punktów materialnych względem płaszczyzny, osi lub bieguna nazywamy sumę momentów bezwładności wszystkich punktów materialnych względem tej płaszczyzny, osi lub bieguna.

Moment bezwładności układu ciągłego Momentem bezwładności układu ciągłego (linii, powierzchni lub bryły materialnej) względem przyjętej płaszczyzny, osi lub bieguna nazywamy całkę rozciągniętą na całą masę układu.

Promień bezwładności Po przekształceniu wzoru otrzymamy wzór na promień bezwładności

Masa zredukowana na odległość r Masę mred, którą należy skupić w odległości r od danej płaszczyzny, osi lub bieguna, aby jej moment bezwładności był równy I, nazywamy masą zredukowaną na daną odległość r. czyli

Geometryczny moment bezwładności Geometryczny moment bezwładności I (dla ciał jednorodnych) jest ilorazem masowego momentu bezwładności przez gęstość:

Moment bezwładności linii materialnej Po podstawieniu do równania Masy elementarnej w postaci: Otrzymamy wzór na moment bezwładności linii materialnej Gdzie: rl – jest gęstością liniową linii materialnej, kg/m

Geometryczny moment bezwładności linii materialnej

Przykład Wyznacz moment bezwładności cienkiego jednorodnego pręta o masie m i długości l względem osi Ox i osi centralnej Cxc. Pomijając wymiary poprzeczne pręta (z = 0) otrzymujemy Moment bezwładności względem osi centralnej Cxc.

Moment powierzchni materialnej Po podstawieniu do wzoru Masy elementarnej w postaci: Otrzymamy wzór na moment bezwładności powierzchni materialnej Gdzie: rs – jest gęstością powierzchni materialnej, kg/m2

Geometryczny moment powierzchni materialnej Jednostka JS – m4

Moment bryły materialnej Po podstawieniu do wzoru Masy elementarnej w postaci: Otrzymamy wzór na moment bezwładności bryły materialnej Gdzie: rs – jest gęstością bryły materialnej, kg/m3

Moment bezwładności względem płaszczyzny W układzie współrzędnych dany jest układ punktów materialnych o masach . Współrzędne masy oznaczymy . Momenty bezwładności względem płaszczyzn układu współrzędnych określają wzory:

Moment bezwładności względem osi Moment bezwładności względem bieguna

Związki pomiędzy momentami Suma momentów bezwładności względem dwóch płaszczyzn wzajemnie prostopadłych jest równa momentowi bezwładności względem osi pokrywającej się z krawędzią przecięcia się tych płaszczyzn. Momenty bezwładności względem płaszczyzn można wyrazić przez momenty osiowe:

Związki pomiędzy momentami Biegunowy moment bezwładności można wyrazić przez momenty osiowe Biegunowy moment bezwładności jest równy połowie sumy osiowych momentów bezwładności względem trzech prostopadłych osi przechodzących przez ten biegun. Biegunowy moment bezwładności możemy również wyrazić przez momenty względem płaszczyzn Moment biegunowy jest sumą momentów względem trzech prostopadłych płaszczyzn przechodzących przez dany biegun.

PRZYKŁAD 1 Wyznaczyć biegunowy moment bezwładności przekroju kołowego. dr r R Elementarne pole dA pierścienia o grubości dr jest równe

Po pominięciu (d)2 - wielkości małej wyższego rzędu Po podstawieniu otrzymamy: Aby objąć całkowaniem cały obszar A, zmienna r powinna przybierać wartości od 0 do R: Biegunowy moment bezwładności przekroju kołowego względem jego środka wynosi: lub

PRZYKŁAD 2 Obliczyć geometryczny moment bezwładności prostokąta o wym PRZYKŁAD 2 Obliczyć geometryczny moment bezwładności prostokąta o wym. b i h względem osi x.

Względem środka (osiowy) Lp. Przekrój Moment bezwładności Wskaźnik wytrzymałości Względem środka (osiowy) 1. 2. Względem osi zaznaczonej na rysunku 3. 4. 5.

MOMENTY DEWIACJI Momentem dewiacji punktu materialnego względem płaszczyzn wzajemnie prostopadłych nazywamy iloczyn masy punktu przez odległości od danych płaszczyzn: Momenty zboczenia mogą być dodatnie, ujemne i, w szczególności, równe zeru.

MOMENTY DEWIACJI Momentem dewiacji układu punktów materialnych względem dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn a i b nazywamy sumę momentów dewiacji poszczególnych punktów materialnych względem tych płaszczyzn. Dla układu ciągłego rozciągnięta, na całą masę.

MOMENTY DEWIACJI W przestrzennym układzie współrzędnych układ punktów materialnych ma trzy momenty dewiacji: W płaskim układzie współrzędnych układ materialny ma jeden moment dewiacji

GEOMETRYCZNY MOMENT DEWIACJI Geometryczny moment dewiacji jest równy ilorazowi masowego momentu dewiacji przez gęstość bryły.

Transformacja równoległa momentów bezwładności Weźmy pod uwagę układ punktów materialnych i dwie równoległe osie l, s. Moment bezwładności względem osi l a a względem osi s Pomiędzy odległościami i zachodzi zależność

Transformacja równoległa momentów bezwładności Po podstawieniu otrzymujemy czyli Założymy, że oś s przechodzi przez środek ciężkości układu materialnego, wtedy moment statyczny , jest równy zero i wzór przybiera postać:

Transformacja równoległa momentów bezwładności Moment bezwładności względem dowolnej osi jest równy momentowi względem osi równoległej przechodzącej przez środek ciężkości powiększonemu o iloczyn masy całkowitej układu przez kwadrat odległości obu osi. Iloczyn jest zawsze dodatni, stąd wniosek, że moment bezwładności względem prostej przechodzącej przez środek ciężkości układu jest najmniejszym ze wszystkich momentów względem prostych do niej równoległych.

PRZYKŁAD Geometryczny moment bezwładności prostokąta względem poziomej osi x wynosi x Obliczyć moment bezwładności względem podstawy.

Przykład 1 Wyprowadź wzór na moment bezwładności półkola względem osi centralnej. R o z w i ą z a n i e: Moment bezwładności półkola względem osi z jest równy połowie momentu bezwładności całego koła Stosując wzór Steinera, mamy

Transformacja równoległa momentów dewiacji Wyznaczymy moment dewiacji względem układu współrzędnych z początkiem umieszczony w środku ciężkości S. Współrzędne dowolnej masy w układzie będą równe

Transformacja równoległa momentów dewiacji Moment dewiacji względem dwóch płaszczyzn (np. płaszczyzn i ) będzie równy Ale Po zapisaniu analogicznych związków na i otrzymamy:

Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności Dane: oraz i Należy wyznaczyć moment bezwładności względem osi l . Odległość ri masy mi od osi l określona jest równaniem ri(xi,yi,zi)

Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności lub gdzie Rzut promienia na oś l jest równy Uwzględniając, że

Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności dochodzimy do równania Grupując względem cosinusów otrzymamy Po podstawieniu do

Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności Mnożymy powyższe równanie przez mi, a otrzymane iloczyny sumujemy. Uwzględniając, że oraz otrzymujemy ostatecznie

Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności W szczególności dla układu płaskiego uwzględniając, że powyższe równanie przyjmuje postać:

PRZYKŁAD 1 Ix = ? Iy = ? 2 1 3

PRZYKŁAD 1 1

PRZYKŁAD 1

Z twierdzenia Steinera: PRZYKŁAD 1 Z twierdzenia Steinera: 2

PRZYKŁAD 1 Przedział całkowania: albo:

PRZYKŁAD 1

PRZYKŁAD 1

PRZYKŁAD 1

PRZYKŁAD 2 Iz = ? Ixx = ? Iyy = ? Izz = ? I0 = ? Ix = ? Iy = ?

PRZYKŁAD 2 W celu obliczenia Iz rozpatrzmy przekrój walca z płaszczyzną 0xy:

PRZYKŁAD 2 Względem płaszczyzny 0xy:

PRZYKŁAD 3 Iz = ? Ixx = ? Iyy = ? Izz = ? I0 = ? Ix = ? Iy = ? W celu wyznaczenia Iz wycinamy dwiema płasz-czyznami prostopadłymi do osi 0z elementarny walec o grubości dz i promieniu r:

PRZYKŁAD 3 Z podobieństwa trójkątów mamy: Zatem: Analogicznie jak dla walca:

PRZYKŁAD 3 Względem płaszczyzny 0xy: