III. Proste zagadnienia kwantowe Mechanika Kwantowa III. Proste zagadnienia kwantowe WYKŁAD 9 Oscylator harmoniczny

Plan wykładu hamiltonian oscylatora harmonicznego, rozwiązanie przy pomocy wielomianów Hermite’a, rozwiązanie przy pomocy operatorów kreacji i anihilacji, hamiltonian w bazie energii.

Hamiltonian oscylatora harmonicznego Rozważmy potencjał (energię potencjalną) 1-wymiarowego oscylatora harmonicznego Wiele potencjałów posiadających minimum w pobliżu punktu x0 można przybliżyć wokół tego punktu potencjałem typu oscylatora harmonicznego.

Rozwinięcie potencjału Szereg Taylora:

Klasyczny oscylator harmoniczny - rozwiązanie ogólne; gdzie ; - wahadło matematyczne:

Hamiltonian oscylatora harmonicznego Hamiltonian dla oscylatora ma postać: gdzie . Odpowiednie równanie Schrödingera ma postać:

Hamiltonian oscylatora harmonicznego Dokonując zamiany zmiennych (na bezwymiarowe) otrzymamy ostatecznie: Wielkość jest „naturalną” jednostką długości dla omawianego zagadnienia. Sformułowanie nabiera teraz znaczenia.

Hamiltonian oscylatora harmonicznego Zachowanie asymptotyczne ( ): Rozwiązanie ścisłe: gdzie funkcja f spełnia równanie:

Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a Wielomiany Hermite’a spełniają równanie: Podstawowe własności:

Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a Wielomiany Hermite’a :

Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a Powtórzenie: równanie oscylatora: równanie Hermite’a: czyli:

Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a Tak więc funkcje falowe i energie mają postać: gdzie:

Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a Przykładowe gęstości prawdopodobieństwa

Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a Można wykazać, że:

Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji* Hamiltonian dla oscylatora harmonicznego zapiszemy używając operatorów anihilacji i kreacji * Materiał uzupełniający (dodatkowy)

Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji Podstawowe własności operatorów kreacji i anihilacji:

Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji Operatory położenia i pędu mają postać:

Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji Hamiltonian przyjmie postać: Funkcje falowe otrzymujemy ze stanów: gdzie stan próżni obliczamy z warunku: otrzymując wynik identyczny jak poprzednio (przy zastosowaniu metody wielomianów Hermite’a).

Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji Elementy macierzowe:

Hamiltonian w bazie energii* Elementy macierzowe operatorów w bazie energii: * Materiał uzupełniający (dodatkowy)

Hamiltonian w bazie energii

Hamiltonian w bazie energii