Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 14 Teoria uderzenia Prowadzący: dr Krzysztof Polko

DYNAMIKA PUNKTU NIESWOBODNEGO Punkt, którego ruch ograniczony jest jakimiś więzami, nazywamy punktem nieswobodnym. Więzy oddziaływają na poruszający się punkt pewnymi siłami, które nazywamy reakcjami więzów. Istnienie więzów powoduje więc pojawienie się w równaniach rucha dodatkowych sił – reakcji więzów. Równanie ruchu przyjmie postać (1)

Ruch wahadła matematycznego Równania ruchu: Rys. 7 gdzie: Po podstawieniu:

Jest to równanie ruchu harmonicznego prostego. Przy małych wychyleniach wahadła sin =  , wówczas więc równanie ruchu przybiera postać: Jest to równanie ruchu harmonicznego prostego. Przypomnijmy, że równanie ruchu harmonicznego prostego ma postać: Zatem dla wahadła:

Po scałkowaniu względem czasu otrzymamy wzór na prędkość: Równanie ruchu ma postać: Po scałkowaniu względem czasu otrzymamy wzór na prędkość: Warunek początkowy: dla

Po wyznaczeniu stałej c i podstawieniu do wzoru na v: Ponieważ to Załóżmy, że dla t = 0, wówczas:

Przykład 1 Dane: Szukane: Zakładamy, że: W kabinie windy wisi wahadło. Gdy kabina porusza się ze stałym przyspieszeniem skierowanym w dół, to okres drgań wahadła wynosi T = 1 s. Natomiast gdy porusza się ze stałą prędkością, to okres ten wynosi T = 0.3 s. Znaleźć przyspieszenie windy. Dane: Szukane: Zakładamy, że:

Rozwiązanie Okres drgań wahadła wyraża się wzorem: Gdy winda porusza się z przyspieszeniem w górę, na wahadło działa siła wypadkowa skierowana w dół. Zatem:

W drugim przypadku, zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona, siły działające na ciało równoważą się, zatem: Drgania wahadła matematycznego (bez działania sił zewnętrznych) nazywamy drganiami własnymi wahadła. Wobec powyższego: Stąd Ostatecznie:

Zderzenie proste środkowe Zderzenie zachodzi w przypadku działania na siebie dwu ciał siłą o skończonej wartości w bardzo krótkim przedziale czasu. Zderzenie środkowe charakteryzuje się tym, że normalna do płaszczyzny styku w punkcie styku obu ciał przechodzi przez środki masy tych ciał. Rys. 2

Okresy zderzenia W procesie zderzenia rozróżniamy dwa charakterystyczne okresy: a)        - pierwszy okres: od chwili zetknięcia się ciał aż do chwili największego zbliżenia ich środków mas, przy równoczesnym odkształcaniu się obu ciał, b)       - drugi okres: od chwili rozpoczęcia oddzielania się obu mas.

Pęd zderzających się mas Rys. 2 Pęd przed po zderzeniu jest taki sam Stąd – wspólna prędkość obu mas przy końcu pierwszego okresu.

Energia kinetyczna W wyniku odkształcania się ciał przy zderzeniu występuje zmiana energii kinetycznej układu w pewnej jej części na pracę odkształcenia. Strata ta może być pozorna lub rzeczywista, w zależności od tego, czy zostanie zwrócona w drugim okresie zderzenia. Oznaczmy ją przez (2) Uwzględniając wzór otrzymamy (2a)

Pęd układu w drugim okresie zderzenia Przechodząc do drugiego okresu zauważamy, że obowiązuje nadal zasada zachowania pędu badanego układu, czyli że (3)

Zderzenie sprężyste i plastyczne Prędkości oraz zależeć będą od tego, czy strata energii kinetycznej została: a) zwrócona w 100% (zderzenie ciał doskonale sprężystych), b) pochłonięta w 100% (zderzenie ciał idealnie plastycznych), c) pochłonięta częściowo (zderzenie ciał rzeczywistych).

Współczynnik zderzenia (4) przy czym oczywiście Wartości graniczne współczynnika odpowiadają: dla ciała idealnie sprężystego, dla ciała idealnie plastycznego.

Prędkości po zderzeniu Uwzględniając równania (3) i (4) otrzymamy po podstawieniu i przekształceniu (5) Dla zderzenia ciał idealnie sprężystych (6)

Rzeczywista strata energii kinetycznej Dla zderzenia ciał idealnie plastycznych (7) Rzeczywista strata energii kinetycznej Rzeczywista strata energii kinetycznej wynosi Po podstawieniu wartości w1 oraz w2 ze wzoru (5) otrzymamy

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE Charakterystyczne przypadki: 1. (ciało doskonale sprężyste). Ze wzorów (27) otrzymamy: Po zderzeniu nastąpiła więc wymiana prędkości pomiędzy obiema masami. 2. , (nieruchoma ściana), . Ze wzorów (27) otrzymamy: Masa m1 odbija się z tą samą prędkością.

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE 3. , (nieruchoma ściana), (ciało rzeczywiste). Wykorzystując wzory (26) napiszemy: Masa m2 odbije się z prędkością zmniejszoną o k . Przypadek ten podaje zarazem prosty sposób wyznaczania współczynnika zderzenia k. Jak wiadomo bowiem z kinematyki, ciało spadające z wysokości H na stałą podstawę ma w początkowej chwili zderzenia prędkość . Po odbiciu wznosi się na wysokość h, czyli przy końcu drugiego okresu zderzenia miało ono prędkość . Ponieważ (pomijając znak minus, gdyż interesuje nas tylko moduł), zatem k =

Kucie Podczas kucia materiału plastycznego występuje uderzenie plastyczne. Strata energii kinetycznej jest równa: Ponieważ , więc:

Kucie gdzie: m1 – masa bijaka młota; v1 – prędkość bijaka młota przed uderzeniem; m2 – masa kutego materiału wraz z kowadłem; v2 = 0 – prędkość kowadła przed uderzeniem. Ostatecznie:

Kucie Podczas kucia strata energii zamienia się na pracę odkształcenia kutego materiału. Strata energii powinna być więc jak największa. Wniosek: Kucie jest tym ekonomiczniejsze, im mniejsza jest masa m1 bijaka w porównaniu z masą bitego materiału m2. Sprawność kucia:

Wbijanie W tym przypadku m1 >> m2. Podczas wbijania pokonujemy opór gruntu. Zatem strata energii powinna być jak najmniejsza. W tym przypadku m1 >> m2. (masa młotka powinna być dostatecznie duża w porównaniu z masą gwoździa lub pala). Sprawność wbijania: gdzie: E0 – energia kinetyczna młota przed uderzeniem; E1 – energia kinetyczna młota i pala po uderzeniu.

Przykład 2 Wyznaczyć stosunek mas dwóch kul, które przed uderzeniem toczą się naprzeciw siebie z różnymi prędkościami v1 i v2; z równymi prędkościami o wartości v, a po uderzeniu prostym druga kula zatrzymuje się. Współczynnik uderzenia wynosi k.

Rozwiązanie a) Dane: v1, v2, k Skorzystamy ze wzoru (5): Przyrównujemy w2 do zera:

Ponieważ prędkość v2 jest zwrócona w przeciwnym kierunku, więc: Mamy: a zatem:

Rozwiązanie b) Dane: k Wystarczy podstawić v1 = v2 = v:

ZDERZENIE UKOŚNE Przejdźmy teraz do omówienia zderzenia ukośnego środkowego (rys. 3). Rozkładamy wektory prędkości na składowe normalne i styczne do płaszczyzny styku Rys. 3

ZDERZENIE UKOŚNE Jeżeli pominiemy straty tarcia przy zderzeniu i możliwości, ewentualnych obrotów mas (przyjęto je jako punkty materialne) w wyniku na ogół różnych wartości składowych stycznych oraz (przyjmując idealnie gładkie powierzchnie styku mas), to w wyniku zderzenia zmienią się tylko składowe normalne. Do oceny zmian składowych normalnych wykorzystamy wzory (26), wprowadzając jedynie odpowiednie wskaźniki n, składowe zaś styczne pozostaną bez zmiany, czyli: oraz Ostatecznie składając wektorowo otrzymamy po zderzeniu

Przykład 3 Kula o masie m porusza się z prędkością v1 i uderza w nieruchomą kulę o masie 2m w ten sposób, że prędkość v1 tworzy w chwili uderzenia ze wspólną normalną O1x obu kul kąt α. Współczynnik zderzenia jest równy k. Obie kule są gładkie! Obliczyć: prędkości obu kul po uderzeniu; kąt wektora prędkości końcowej w1 z osią O1x.

Rozwiązanie Wyznaczamy składowe prędkości i :

Wyznaczamy składowe prędkości i : Wartości prędkości obu kul wynoszą: Kąt β obliczamy z zależności:

Oddziaływanie strumienia padającego na przegrodę Do wyznaczenia reakcji przegrody na działanie strumienia, padającego pod kątem (rys. 4), wykorzystamy zasadę pędu i impulsu według wzoru Rys. 4 Załóżmy, że dane są ponadto przekrój strumienia A, gęstość ρ (niezmienna w czasie) oraz średnia prędkość strumienia v.

Oddziaływanie strumienia padającego na przegrodę W czasie dt wystąpi przemieszczenie przekroju ab w położenie a'b' (rys. 4) o od vdt. Równocześnie strumień rozdzielając się na przegrodzie przemieści się w swych strugach z położeń ef w e'f' oraz z położeń cd w c'd' (rys. 4). Zauważmy, że kierunki wektorów prędkości tych rozdzielonych na przegrodzie strug są przeciwne i styczne do przegrody. Rys. 4

Oddziaływanie strumienia padającego na przegrodę Zgodnie więc z zasadą pędu i impulsu (19) napiszemy rzutując wektory pędów pulsu na oś x, prostopadłą do przegrody

Oddziaływanie strumienia padającego na przegrodę oraz Gdyż wektory pędów tych strug są styczne do przegrody, zatem Stąd ostatecznie otrzymujemy reakcję przegrody w kierunku osi