15. Fale materii, atomy 15.1. Fale i cząstki Przełomowe znaczenie w objaśnianiu natury mikroświata dał rozwój mechaniki kwantowej w latach 30-tych XX w. Poruszające się mikrocząstki należy przedstawiać w postaci fal materii. Lokalizacja tych fal w skończonym obszarze w przestrzeni prowadzi do powstania stanów o dyskretnych energiach. 15.1. Fale i cząstki Koncepcję fal materii wprowadził L. de Broglie podając w 1924 r równanie przypisujące cząstce o pędzie p długość fali l (15.1) Koncepcję tę wkrótce potwierdzono w doświadczeniu z dyfrakcją elektronów na krysztale niklu (C.J. Davisson i L.H. Germer 1927). Podobne doświadczenia wykonano następnie z użyciem innych cząstek jak protony, neutrony a nawet całe atomy. Obrazy dyfrakcyjne cząstek przypominały obrazy dyfrakcyjne dla światła. Rys z HRW 4 Powstawanie obrazu pozornego przedmiotu rozciągłego w zwierciadle płaskim. Eksperyment z dyfrakcją cząstek na tarczy polikrystalicznej Oko widzi obraz pozorny I źródła O.

15.2. Równanie Schroedingera Do opisu fal materii wprowadza się pojęcie funkcji falowej, która poza energią i pędem przenosi również masę. W ogólnej postaci funkcja ta zależy od współrzędnych przestrzennych i czasu, które można rozseparować i zapisać tę funkcję w postaci (15.2) Fuleren C60 jako dwudziestościan ścięty składajacy się z 12 pierścieni pentagonalnych i 20 pierścieni heksagonalnych; obok dla porównania piłka nożna Obraz dyfrakcyjny dla fulerenów C60

gdzie : E – energia całkowita cząstki U(x) – energia potencjalna Interpretację fizyczną ma kwadrat modułu funkcji falowej , który określa gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie przestrzeni. Fale materii spełniają równanie wprowadzone w 1927 r przez E. Schroedingera. Dla przypadku jednowymiarowego przybiera ono postać (15.3) gdzie : E – energia całkowita cząstki U(x) – energia potencjalna Dla cząstki swobodnej (U(x) = 0) równanie (15.3) przybiera postać co ostatecznie można zapisać następująco (15.4) Równanie Schroedingera dla ruchu wzdłuż osi x

Rozwiązaniem równania (15.4) jest funkcja A, B - stałe (15.5) a zatem zależna od czasu funkcja falowa cząstki swobodnej ma postać (15.6) co przedstawia fale biegnące w kierunku dodatnim i ujemnym osi x. Ograniczając się tylko do fali biegnącej w kierunku rosnących wartości x można równanie (15.5) zapisać (15.7) Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki jest zatem równa (15.8) Dla cząstki swobodnej gęstość prawdopodobieństwa , zgodnie z oczekiwaniem, jest taka sama dla wszystkich wartości x.

dla wszystkich trzech obszarów wskazuje, że 15.3. Zjawisko tunelowe Interesujący przypadek z punktu widzenia fizyki kwantowej występuje wtedy, gdy cząstka o energii całkowitej E napotyka barierę energii potencjalnej o wartości U0 > E. Z punktu widzenia fizyki klasycznej cząstka powinna wyłącznie odbić się od bariery. Rozwiązanie równania Schroedingera dla wszystkich trzech obszarów wskazuje, że a) w obszarze I mamy falę stojącą w wyniku nałożenia fali padającej i odbitej o mniejszej amplitudzie, w obszarze bariery II gęstość prawdopodobieństwa maleje wykładniczo w obszarze III po prawej stronie bariery mamy falę o stałej, niezerowej amplitudzie. Jest to zjawisko tunelowe. Przykładem zastosowania tego efektu w elektronice jest dioda tunelowa, gdzie przepływ prądu tunelującego jest regulowany wysokością bariery. Ilustracja efektu tunelowego

Aby wyznaczyć energie stanów kwantowych elektronu należy rozwiązać 15.3. Atom wodoru W atomie wodoru elektron o ładunku –e jest związany siłą elektrostatyczną w polu jądra – protonu o ładunku +e. Energia potencjalna elektronu zmienia się wraz z jego odległością od jądra. Energia ta wynosi Aby wyznaczyć energie stanów kwantowych elektronu należy rozwiązać równanie Schroedingera z użyciem energii potencjalnej danej powyższym równaniem. W rezultacie otrzymuje się następujące wyrażenie na skwantowane energie elektronu w atomie wodoru: (15.9) Energia potencjalna elektronu w atomie wodoru. Wykres odzwierciedla sferyczny charakter zależności U(r). Energia potencjalna jest równa zeru dla r dążącego do nieskończoności.

elektron do wyższych stanów energetycznych. Wg. wzoru (15.9) dla kolejnych liczb kwantowych n występują w atomie wodoru dyskretne wartości energii. Ze stanu podstawowego (dla n = 1) można wzbudzać elektron do wyższych stanów energetycznych. Wzbudzenie to może nastąpić przykładowo poprzez absorpcję fotonu o określonej energii, równej różnicy energii między poziomami docelowym i wyjściowym. Wzbudzony elektron będzie jednak dążył do przejścia na jeden z niższych poziomów energetycznych, z czym związana jest emisja fotonu. We widmie emisyjnym atomu wodoru zaobserwowano istnienie charakterystycznych serii. O rodzaju serii widmowej decyduje docelowy poziom energetyczny. Przykładowo linie w obszarze widzialnym i bliskim nadfiolecie tworzą tzw. serię Balmera dla przejść na poziom n = 2. Poszczególne emisyjne serie widmowe zostały oznaczone nazwiskami ich badaczy. Podstawowy i kilka wzbudzonych poziomów energetycznych atomu wodoru wraz z zaznaczonymi przejściami tworzącymi wybrane serie widmowe.

Model Bohra atomu wodoru Niels Bohr w 1913r zaproponował model budowy atomu wodoru, wykorzystując w swojej koncepcji pewne elementy teorii kwantowej (główne założenia fizyki kwantowej zostały sformułowane kilkanaście lat później). W koncepcji Bohra elektron porusza się wokół jądra po ściśle określonych orbitach, co jest sprzeczne z aktualną wiedzą opartą na mechanice kwantowej, gdzie mówi się jedynie o gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w polu jądra. Istotnym elementem założeń Bohra była jednak również koncepcja kwantyzacji energii elektronu w polu jądra i istnienie poziomów energetycznych. Koncepcja ta dobrze objaśniała obserwowane doświadczalnie widma atomu wodoru i pozostaje w zgodności z wnioskami wynikającymi ze współczesnej teorii kwantowej. Bazując na teorii Bohra został wyprowadzony wzór na długości fali linii widmowych atomu wodoru , zgodny ze wzorem (15.9) : i – numer poziomu docelowego j – numery poziomów, z których następują przejścia R – stała Rydberga (1,1 x 107 m -1 ) Przykładowo podstawiając w powyższym wzorze i = 2 a za j kolejne liczby całkowite otrzymuje się długości fal linii widmowych serii Balmera.