PROBLEM DUOPOLU Agnieszka Baraniak Karina Borkowska TEORIA GIER A EKONOMIA PROBLEM DUOPOLU Agnieszka Baraniak Karina Borkowska

POJĘCIE DUOPOLU Nazwą DUOPOLU określa się stan, w którym dwaj producenci kontrolują łącznie cały rynek jakiegoś produktu, zaś problem duopolu polega na określeniu wysokości produkcji, przy której producent określa największy zysk. Będziemy porównywać 4 różne ‘rozwiązania’ problemu duopolu. Niektóre z nich wymagają różniczkowania wielomianów oraz znajdowania maksimum funkcji, czyli miejsca zerowego jej pochodnej.

Przyjmijmy następujące oznaczenia: qi - wielkość produkcji (w tysiącach sztuk) producenta i (i=1,2) ACi - średni koszt (w dolarach) wyprodukowania jednej sztuki przez producenta i TCi = qi x ACi = łączne koszty produkcji (w tysiącach dolarów) producenta i MCi = = koszt krańcowy, koszt (na jedną sztukę) nieznacznego zwiększenia produkcji przez producenta i p = cena sprzedaży jednej sztuki produktu Pi = qi x pi - TCi = zysk producenta i w tysiącach dolarów

Średni koszt wyprodukowania jednej sztuki zależy od wielkości produkcji; w naszym przykładzie przyjmiemy, że określają go następujące funkcje: AC1 = 64 - 4q1 + q12 AC2 = 80 - 4q2 + q22

Wykresy funkcji średniego kosztu produkcji w przykładzie duopolu

Dla obu firm średni koszt produkcji wraz z jej wzrostem początkowo maleje dzięki efektywniejszemu wykorzystywaniu zasobów firmy, osiągając minimum w punkcie q = 2, po czym zaczyna wzrastać, gdy zwiększanie produkcji wymaga dodatkowego kapitału i zwiększenia zatrudnienia. Producent 1 jest bardziej wydajny od producenta 2 i, niezależnie od kosztów produkcji, ma koszty produkcji niższe o 16 dolarów na jednej sztuce.

Koszty krańcowe obliczamy, różniczkując łączne koszty produkcji. TC1 = 64q1 - 4q12 + q13 TC2 = 80q2 - 4q22 + q23 MC1 = 64 - 8q1 + 3q12 MC2 = 80 - 8q2 + 3q22 Przyjmijmy założenie co do relacji pomiędzy całkowita wielkością produkcji, a możliwą do uzyskania ceną jednej sztuki produktu. p = 160 – 8(q1 + q2) Jeśli podaż jest bardzo mała, jedną sztukę można sprzedać za 160 dolarów. Gdy jednak produkcja wzrasta a rynek się nasyca, sprzedaż wszystkiego co się wyprodukowało, możliwe jest dopiero po obniżeniu ceny. P1 = q1 (160 – 8(q1 + q2)) – (64q1 - 4q12 + q13 ) = 96q1 - 4q12 - q13 - 8 q1q2 P2 = 80q2 - 4q22 – q23 - 8 q1q2

Każdy z producentów dąży do osiągnięcia takiego poziomu produkcji qi , który zmaksymalizuje jego zysk Pi ; naszym zadaniem jest zrozumienie mechanizmów, dzięki którym przedsiębiorstwa mogą do niego dojść. Uwzględnijmy, że poziom zysków zależy nie tylko od działań firmy, ale także od wielkości produkcji jej konkurenta. We wzorze zależność ta zawarta jest w wyrazie -8q1q2. Rozważymy cztery różniące się poziomem złożoności strategie firm znajdujących się w takiej sytuacji.

Na początek rozważmy podejście niestrategiczne, klasyczne w ekonomii Na początek rozważmy podejście niestrategiczne, klasyczne w ekonomii. Obie firmy na początku produkują niewielkie ilości towaru, a następie powoli zwiększają produkcję aż do momentu, gdy koszt wyprodukowania dodatkowej sztuki jest równy cenie, którą można za nią uzyskać. Sytuacje taka nazywamy klasyczną równowaga rynkową. Wielkość produkcji w tym momencie możemy znaleźć rozwiązując równanie: MC1 = p = MC2 Czyli 64 - 8q1 + 3q12 = 160 – 8(q1 + q2) = 80 - 8q2 + 3q22 Rozwiązując układ równań 8q2 = 96 - 3q12 8q1 = 80 - 3q22 Otrzymujemy, że: q1 = 4,69 q2 = 3,76 Zatem cena sprzedaży w obu firmach wynosi p = 92 $, a zyski P1 = 118, P2 = 50.

Klasyczna równowaga rynkowa nie uwzględnia faktu, iż wielkość produkcji obu producentów wpływa na cenę produktu. Gdyby produkcja była mniejsza, cena byłaby wyższa i możliwe, że pozwoliłoby to osiągnąć większe zyski. Możemy to przedstawić jako grę dwuosobową pomiędzy Producentem 1, a Producentem 2. Nie jest to gra o sumie zerowej. Punkt klasycznej równowagi rynkowej znajduje się w prawej dolnej ćwiartce tabeli.

Producenci mogą podnieść swoje zyski ograniczając produkcje. Diagram przesunięć dla gry duopolu. Gra ma jedna równowagę Nasha, gdzieś w pobliżu punktu q1 = 3,75 i q2 = 3. Możemy znaleźć jej dokładne położenie wykorzystując fakt, że jest to punkt, w którym żaden z graczy nie może zwiększyć swojego zysku Pi przez zmianę qi .

Zatem musi być spełniony układ równań: = 96 - 8q1 - 3q12 - 8 q2 = 80 - 8q2 – 3q22 - 8 q1 Rozwiązaniem tego układu równań są q1 = 3,75 q2 = 2,96 Przy takiej produkcji cena wyniesie 106 $, a zyski P1 = 162 P2 = 87.

Równowaga Nasha-Cournota w tej grze nie jest paretooptymalna, co zobaczymy zaznaczając wypłaty na wykresie – obie firmy zyskałyby na wzajemnej kooperacji. Jeżeli dopuścimy kooperację możemy wyznaczyć rozwiązanie arbitrażowe Nasha – znajduje się ono w punkcie q1 = 3,30, q2 = 2,40, przy cenie 114$ i zyskach P1 = 174 i P2 = 91. Kooperacja w warunkach duopolu z reguły polegająca na zmniejszeniu produkcji i podniesieniu cen, jako niekorzystna dla konsumentów jest często nazywana „zmową producentów” i prawnie zakazywana.

Na koniec rozpatrzmy sytuacje, gdy jedna z firm może przekazywać drugiej wypłaty uboczne. W takiej sytuacji firmy mogą osiągnąć jeszcze większe zyski przy q1 = 3,66, q2 = 1,66, kiedy łączny zysk obu firm wynosi 269 (P1 = 200 i P2 = 69). Jeśli Producent 1 przekaże Producentowi 2 wypłatę uboczną w wysokości 24 (zyski obu firm będą wynosiły odpowiednio 176 i 93), zarówno Producent 1, jak i Producent 2 uzyskają większy zysk niż przy rozwiązaniu arbitrażowym Nasha. Na koniec podsumujmy wszystkie omawiane przez nas rozwiązania problemu duopolu, razem z sytuacjami, gdy jedna z firm ma monopol i w tej sytuacji maksymalizuje swoje zyski. Omówimy dwa punkty widzenia: Producentów Konsumentów.

Z punktu widzenia producentów, rozwiązania można uporządkować od najbardziej do najmniej korzystnego: monopol kooperacja z wypłatami ubocznymi kooperacja bez wypłat ubocznych niekooperacyjna równowaga w grze klasyczna równowaga rynkowa Z punktu widzenia konsumenta uporządkowanie jest odwrotne. W tabeli poniżej znajdują się porównania wszystkich rozpatrywanych przez nas rozwiązań problemu duopolu.