Metody optymalizacji – metody badań operacyjnych

Badania Operacyjne (Operations Research, Management Science) Badania Operacyjne (BO) należą do matematycznych nauk interdyscyplinarnych zajmujących się efektywnym wykorzystaniem środków przez różnego typu organizacje. Istotne znaczenie w BO ma interakcja pomiędzy człowiekiem a technologią – nacisk na praktyczne zastosowania metod matematycznych.

Badania operacyjne – zakres metod BO korzystają z narzędzi, m.in.: Rachunku prawdopodobieństwa, Statystyki, Ekonometrii, Metod optymalizacji, Teorii podejmowania decyzji i teorii gier, Teorii kolejek (masowej obsługi), Teorii grafów, Symulacji.

PROGRAMOWANIE LINIOWE

Wstęp do Programowania Liniowego (PL) Model PL ma na celu poszukiwanie maksimum bądź minimum funkcji liniowej przy liniowych ograniczeniach Elementy modelu PL: Zbiór zmiennych decyzyjnych Funkcja kryterium. Układ ograniczeń.

Model Programowania Liniowego w postaci klasycznej

Model Programowania Liniowego w postaci klasycznej

Wstęp do PL Zastosowania modeli LP w różnych dziedzinach: Produkcja Finanse Rolnictwo Marketing i reklama, itd..

Wstęp do PL Istotna rola Programowania Liniowego Efektywne algorytmy obliczeniowe gwarantujące znalezienie rozwiązania optymalnego Możliwa analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego – co by było, gdyby...?.

Wstęp do PL Założenia modelu PL: Znane wartości parametrów, Funkcja kryterium i ograniczenia mają własność stałych przyrostów (constant returns to scale) – ten sam co do wielkości przyrost zmiennej , bez względu na początkowy poziom, powoduje zawsze taki sam przyrost wartości funkcji Addytywność efektów związanych ze zmiennymi, Zmienne decyzyjne mają charakter ciągły – mogą przyjąć każdą wartość z określonego przedziału liczbowego (inne modelowanie dla zmiennych całkowitoliczbowych czy też binarnych), Zakłada się nieujemność zmiennych decyzyjnych.

Firma „Puchatek” – problem optymalnego planu produkcji Firma produkuje dwa rodzaje zabawek plastikowych - samochodzików - dla dzieci powyżej 1 roku: ciężarówka. traktor. Występują ograniczone zasoby dwóch środków produkcji: 1000 kg specjalnego plastiku. Czas produkcji w ciągu tygodnia ograniczony do 40 godzin.

Firma „Puchatek” – problem optymalnego planu produkcji Wymagania rynkowe Wielkość produkcji nie może przekroczyć 7000 szt. Liczba ciężarówek nie może przekroczyć liczby traktorów o więcej niż 3500 szt. Informacja technologiczna Ciężarówka wymaga 20 dkg plastiku i 0,3 minut czasu produkcji, Traktor wymaga 10 dkg plastiku i 0,4 minut czasu pracy.

Firma „Puchatek” – problem optymalnego planu produkcji Obecna strategia planowania produkcji: Produkować jak najwięcej produktu bardziej zyskownego (Ciężarówka – zysk jedn. 8 zł za dziesięć sztuk), Pozostałe środki przeznaczyć na produkt mniej zyskowny (Traktor – zysk jedn. 5 zł za dziesięć sztuk), pamiętając o zaleceniach działu marketingu. Obecny tygodniowy plan produkcji: Ciężarówka = 4500 sztuk Traktor = 1000 sztuk Szacowany zysk = 4100 zł tygodniowo 8(450) + 5(100)

Firma szuka rozwiązania, które może przynieść zwiększenie zysku

Model PL dla firmy „Puchatek” Zmienne decyzyjne: X1 = tygodniowa wielkość produkcji ciężarówek (w 10 szt.) X2 = tygodniowa wielkość produkcji traktorów Funkcja kryterium: maksymalizacja zysku tygodniowego

Model PL dla firmy „Puchatek” Max z(x) = 8X1 + 5X2 (zysk tygodniowy w zł) przy ograniczeniach: 2X1 + 1X2 <= 1000 (plastik w kg) 3X1 + 4X2 <= 2400 (czas produkcji w minutach) X1 + X2 <= 700 (wielkość produkcji w 10 szt.) X1 - X2 <= 350 (Mix) Xj 0, j = 1,2 (nieujemność zmiennych decyzyjnych)

Analiza graficzna zadania PL Zbiór punktów, które spełniają wszystkie ograniczenia to ZBIÓR ROZWIĄZAŃ DOPUSZCZALNYCH

Analiza graficzna – zbiór rozwiązań dopuszczalnych Ograniczenia na nieujemność zmiennych X2 X1

Analiza graficzna – zbiór rozwiązań dopuszczalnych X2 1000 Plastik 2X1+X2 <= 1000 700 Produkcja całkowita: X1+X2 <=700 (nieistotne) 500 Niedopuszczalne Czas produkcji 3X1+4X2 <=2400 Dopuszczalne X1 500 700

Analiza graficzna – zbiór rozwiązań dopuszczalnych X2 1000 Plastik 2X1+X2 <= 1000 700 Produkcja całkowita: X1+X2 <=700 (nieistotne) 500 Niedopuszczalne Mix X1-X2 <= 350 Czas produkcji 3X1+4X2<= 2400 Dopuszczalne X1 500 700 Punkty wewnętrzne. Punkty brzegowe Punkty wierzchołkowe Trzy rodzaje rozwiązań dopuszczalnych

Poszukiwanie rozwiązania optymalnego

Poszukiwanie rozwiązania optymalnego Ustalamy dowolną wielkość zysku, np. = 2000 zł, i rysujemy odpowiadającą izokwantę funkcji kryterium. (Izokwanta liniowej funkcji kryterium to prosta mająca tę własność, że dla wszystkich punktów tej prostej wartość funkcji jest jednakowa) X2 1000 700 Zysk =4360 zł 500 Zwiększamy zysk tak dalece jak to możliwe... ...i kontynuujemy, dopóki jest to dopuszczalne X1 500

Podsumowanie rozwiązania optymalnego Ciężarówki = 3200 szt. Traktory = 3600 szt. Zysk maksymalny = 4360 zł Rozwiązanie optymalne wykorzystuje cały zasób surowca – plastik oraz czasu produkcji – ograniczenia wiążące. Produkcja całkowita to 6800 szt. (a nie max 7000szt.) Ograniczenie na Mix produktów spełnione jako nierówność: 320 - 360 = -40 < 350

Punkty wierzchołkowe a rozwiązanie optymalne Jeżeli problem PL posiada rozwiązanie optymalne, to jest nim punkt wierzchołkowy, przynajmniej jeden.

Punkty wierzchołkowe a rozwiązanie optymalne Jeżeli dokonany zostanie wybór rozwiązania optymalnego, to proste przecinające się w punkcie wierzchołkowym, będącym rozwiązaniem optymalnym, odpowiadają ograniczeniom wiążącym, tj. spełnionym jako równania. W problemie firmy „Puchatek” ograniczeniami wiążącymi są: zapas plastiku oraz czas produkcji. Oznacza to, że cały zapas surowca jest wykorzystany. Również czas produkcji wykorzystany jest w 100% Pozostałe ograniczenia są niewiążące – obserwujemy zapas w ograniczeniu na wielkość produkcji oraz mix produktów. Zapas – różnica między wartością prawej i lewej strony ograniczenia

Niejednoznaczne rozwiązanie optymalne W przypadku niejednoznaczności rozwiązania optymalnego, izokwanta funkcji kryterium jest równoległa do jednego z ograniczeń. W przypadku niejednoznacznosci każda liniowa kombinacja (średnia ważona) optymalnych rozwiązań wierzchołkowych jest również optymalna

Analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego Jak wrażliwe jest rozwiązanie optymalne na zmiany parametrów modelu? Powody przeprowadzania analizy wrażliwości: Założenie o znanych wartościach parametrów nie jest prawdziwe – znamy tylko wartości ocen statystycznych lub eksperckich parametrów – możliwy błąd szacunku, Wartości parametrów mogą zmieniać się w czasie, Analiza wrażliwości dostarcza cennej informacji dla celów zarządzania.

Wrażliwość rozwiązania na zmiany parametrów funkcji kryterium. Przedział optymalności Rozwiązanie optymalne pozostaje niezmienne tak długo jak Parametr funkcji kryterium należy do przedziału optymalności Nie obserwujemy zmian innych parametrów modelu. Wartość funkcji kryterium ulegnie zmianie, jeżeli analizowany parametr dotyczy zmiennej, której wartość jest większa od zera.

Wrażliwość rozwiązania na zmiany parametrów funkcji kryterium. X2 1000 Max 4X1 + 5X2 Max 3.75X1 + 5X2 Max 8X1 + 5X2 500 Max 2X1 + 5X2 X1 500 800

Wrażliwość rozwiązania na zmiany parametrów funkcji kryterium. X2 1000 Max8X1 + 5X2 Przedział optymalności: [3.75, 10] 500 Max 10 X1 + 5X2 Max 3.75X1 + 5X2 X1 400 600 800

Wrażliwość rozwiązania na zmiany parametrów funkcji kryterium. Interpretacja przedziału optymalności dla parametru c1: Zakładając, że inne elementy modelu (parametry, ograniczenia) nie ulegną zmianie, to zmiana zysku jednostkowego (w 10 szt.) dla ciężarówek w przedziale [3,75 ;10] zł nie spowoduje utraty optymalności przez uzyskane rozwiązanie. Maksymalny zysk odpowiada produkcji 3200 ciężarówek i 3600 szt. traktorów. Oczywiście, zmiana zysku jednostkowego dla ciężarówek spowoduje zmianę wartości maksymalnego zysku, np. dla c1=9zł/10szt. maksymalny zysk wyniesie 320*9+360*5= 4680 zł.

Analiza wrażliwości rozwiązania na zmianę prawych stron ograniczeń Jak zmieni się optymalna wartość funkcji kryterium (np. maksymalny zysk), jeżeli prawa strona wybranego ograniczenia wzrośnie o jednostkę? Dla jak dużych przyrostów bądź spadków wartości prawej strony ograniczenia, wyznaczona wartość przyrostu funkcji kryterium pozostanie niezmieniona?

Analiza wrażliwości rozwiązania na zmianę prawych stron ograniczeń Każda zmiana wartości prawej strony ograniczenia wiążącego spowoduje zmianę rozwiązania optymalnego. Dowolna zmiana prawej strony ograniczenia niewiążącego, mniejsza od wielkości zapasu, nie spowoduje zmiany rozwiązania optymalnego,

Dualizm w programowaniu liniowym

Własności zadania dualnego: Jeżeli jedno z pary zadań nie posiada skończonego rozwiązania optymalnego, to drugie z zadań jest sprzeczne, Jeżeli jedno z pary zadań jest sprzeczne, to drugie może być sprzeczne bądź nie posiadać skończonego rozwiązania optymalnego, Każda ze zmiennych dualnych odpowiada konkretnemu ograniczeniu zadania prymalnego,

Interpretacja wycen dualnych interpretacja wynika z własności równości optymalnych wartości funkcji kryterium obu zadań: przyrost optymalnej wartości funkcji kryterium zadania prymalnego spowodowany marginalnym przyrostem prawej strony odpowiadającego ograniczenia (pamiętamy, że zmiana wartości prawej strony ograniczenia powoduje, w ogólnym przypadku, zmianę wartości zmiennych zadania PL).

Wyceny dualne (Shadow Prices) Zakładając, że nie występują zmiany żadnych innych parametrów wejściowych modelu, zmiana optymalnej (max albo min) wartości funkcji kryterium na jednostkę przyrostu wartości prawej strony ograniczenia nazywana jest wyceną (ceną) dualną (najczęściej, wyceną dualną zasobu)

Wyceny dualne – ilustracja graficzna Plastik Jeżeli dostępna jest większa ilość plastiku (ograniczenie na zasób plastiku będzie rozluźnione), wzrasta wartość prawej strony ograniczenia X2 1000 Max zysk = 4360 zł 2X1 + 1x2 <=1001 2X1 + 1x2 <=1000 Max zysk = 4363.4 zł 500 Wycena dualna = 4363.40 – 4360.00 = 3.40 Czas produkcji X1 500

Wyceny dualne – interpretacja c.d. Zmienna dualna posiada miano, wynikające ze sposobu pomiaru wartości funkcji kryterium i wartości ograniczenia, np. y1=3,4 $/kg (dla 1. ograniczenia na zasób plastiku) Jeżeli zapas plastiku zwiększy się o 1 kg to maksymalny zysk (odpowiadający nowemu rozwiązaniu optymalnemu) zwiększy się o 3,4 $ i wyniesie 4360 + 3,4 =4363,4 $.

Własności zadania dualnego c.d.: W przypadku modeli PL o mieszanych warunkach ograniczających, zmienne dualne odpowiadające ograniczeniom o przeciwnych znakach niż dla symetrycznej pary (max „” oraz min „”) są niedodatnie; w przypadku ograniczeń równościowych nie można przewidzieć znaku zmiennej dualnej.

Przedział dopuszczalności Zakładając brak zmian wartości innych parametrów wejściowych modelu, przedziałem dopuszczalności nazywamy: Przedział wartości prawej strony ograniczenia, w zakresie którego nie ulegają zmianie wyceny dualne. W obrębie przedziału dopuszczalności, zmianę optymalnej wartości funkcji kryterium możemy wyznaczyć następująco: Zmiana wartości f. kryterium = [wycena dualna]x[zmiana wartości prawej strony ograniczenia]

Przedział dopuszczalności Plastik X2 Zwiększanie zasobu plastiku przynosi efekt tylko do czasu, aż pojawi się nowe ograniczenie wiążące. 1000 2X1 + 1x2 <=1000 Nowe ograniczenie wiążące Produkcja całkowita X1 + X2≤700 500 To jest rozwiązanie niedopuszczalne Czas produkcji X1 500

Przedział dopuszczalności Plastik X2 Zauważmy, jak zmienia się zysk, gdy rośnie zasób plastiku. 2X1 + 1x2 <=1000 1000 500 Czas produkcji X1 500

Przedział dopuszczalności X2 Zasób plastiku zmniejsza się (ograniczenie jest bardziej restrykcyjne). 1000 Rozwiązanie niedopuszczalne Zysk zmniejsza się 500 2X1 + 1X2 <= 1100 Nowe ograniczenie wiążące X1 500

„Puchatek” – wprowadzanie danych w programie WinQSB

„Puchatek” – rozwiązanie graficzne w programie WinQSB Zapas plastiku Ilość wyrobów mix Czas pracy

„Puchatek” – rozwiązanie w programie WinQSB Przedziały optymalności Wyceny dualne Przedziały dopuszczalności Zapas/nadmiar

Możliwe, inne niż jednoznaczne, wyniki optymalizacji Sprzeczność zadania: Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest pusty. Powodem są zbyt restrykcyjne ograniczenia. Nieograniczoność: Funkcja kryterium może być dowolnie duża. Powodem jest brak istotnego ograniczenia w modelu. Rozwiązanie niejednoznaczne: Więcej niż jeden punkt odpowiada optymalnej wartości funkcji kryterium

Zadanie PL jest sprzeczne . 2 3 1

Rozwiązanie nieograniczone Maksymalizacja funkcji kryterium Zbiór rozwiązań dopuszczalnych