Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji RÓŻNE KULTURY – JEDNA TOŻSAMOŚĆ Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach programu Erasmus+ Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji Bożena Stanisławska nauczycielka matematyki w Liceum Ogólnokształcącym Niepublicznym Kolegium św. Stanisława Kostki KSW w Warszawie.

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument ( element dziedziny tej funkcji), dla którego wartość funkcji wynosi zero. Przykład: Miejsce zerowe najczęściej oznaczamy przez x0. Jeśli funkcja posiada więcej niż jedno miejsce zerowe, to oznaczamy je przez x1, x2, itd. Dla przykładu obok : x1=-4; x2=-2; x3=2; x4=5; x5=8

Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji należy: wyznaczyć jej dziedzinę, rozwiązać równanie f(x) = 0 sprawdzić, czy rozwiązania równania należą do dziedziny funkcji.

Sposoby wyznaczania miejsc zerowych: metoda analityczna (dokładna), metoda numeryczna (przybliżona).

Problemy: metodę analityczną nie zawsze da się zastosować we wszystkich przypadkach, metoda numeryczna działa w każdym przypadku, ale otrzymane rozwiązanie jest przybliżone (w określonym przedziale, z zadaną dokładnością).

METODA ANALITYCZNA PRZYKŁADY

Funkcja liniowa f(x) = ax + b Jeżeli a=0 to funkcja f jest funkcją stałą. dla b ≠ 0 nie posiada miejsc zerowych dla b = 0 wszystkie jej argumenty są miejscami zerowymi. X0=6   Jeżeli a ≠ 0 funkcja f(x) = ax + b posiada dokładnie jedno miejsce zerowe określone wzorem x =-(b/a),

Istnieją również wzory pozwalające wyznaczyć miejsca zerowe funkcji wielomianowych stopnia  trzeciego i czwartego.  Znalezienie pierwiastków funkcji wielomianowej wyższego stopnia niż czwartego na ogół nie jest możliwe za pomocą podstawowych działań algebraicznych   (Twierdzenie Abela-Ruffiniego).

Sprawdź czy potrafisz:

Rozwiązujemy równanie: Ad a. f(x)=x+5 ;   Rozwiązujemy równanie: x+5=0 x=-5 Sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do dziedziny Odp: Mc.z. : x=-5

Ad b. f(x) = x2_4x; Rozwiązujemy równanie: x2_4x=0  x(x_4)=0   Rozwiązujemy równanie: x2_4x=0  x(x_4)=0 x=0 lub x=4 Sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do dziedziny Odp: Mc.z. : x1 = 0 x2 = 4

Ad c.        

Ad d.      

Ad e.          

Zadanie 2:  

dla x(-,0> f(x)=0  x+1=0  x=-1 (-,0>   +    

Interpretacja graficzna rozwiązania: miejsca zerowe funkcji x1=-1, x2 = 2

METODY NUMERYCZNE

Założenia dla metod numerycznych: funkcja ma różne znaki na krańcach przedziału, często wymagana jest ścisła monotoniczność funkcji (rosnąca lub malejąca w całym przedziale), Jeżeli w danym przedziale jest wiele zerowych, metoda wychwytuje tylko jedno z nich.

Metody numerycznego rozwiązywania równań nieliniowych z jedną niewiadomą • Metoda połowienia (równego podziału lub bisekcji) • Metoda stycznych (Newtona) • Metoda regula-falsi (fałszywej liniowości) • Metoda siecznych Metody te będą omówione w oddzielnej prezentacji

H.Pawłowski – Matematyka-podręcznik dla klasy I Literatura: K.Kłaczkow, M.Kurczab, E. Świda – Matematyka – podręcznik i zbiór zadań do liceów i techników, klasa I, H.Pawłowski – Matematyka-podręcznik dla klasy I Prezentacja została opracowana podczas realizacji projektu „Różne kultury – jedna tożsamość”, współfinansowanego ze środków Unii Europejskiej z programu ERASMUS+. Partnerzy projektu: Fundacja „Dla Polonii”, Macierz Szkolna na Litwie i Ogólnokrajowa Szkoła Polska na Węgrzech. Informacje o projekcie i konspekty lekcji znajdziesz na portalu http://e-akademia.net/ RÓŻNE KULTURY – JEDNA TOŻSAMOŚĆ Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach programu Erasmus+