mutacyjnego algorytmu ewolucyjnego WAE Jarosław Arabas Analiza i modelowanie dynamiki populacji mutacyjnego algorytmu ewolucyjnego

Ewolucja algorytmiczna a biologiczna Osobnik Genotyp Fenotyp Przystosowanie ? Gatunek Mutacja Crossover “Osobnik” Punkt w przestrzeni przeszukiwań Punkt w przestrzeni cech Wartość funkcji celu Dodatkowe parametry Populacja punktów “Mutacja” “Krzyżowanie” “Sukcesja elitarna”

Dynamika populacji Ślad populacji Wariancja populacji

Dynamika populacji – mutacyjny AE Pt Pt+1 Pewna liczba punktów nie ma potomstwa Niektóre punkty mają wiele potomków Każdy potomek jest mutantem rodzica

Dynamika populacji – mutacyjny AE Każda populacja ma swojego Adama

Od genealogii do różnorodności – mutacyjny AE P-stwo że dwa punkty z Pt+1 mają wspólnego rodzica 𝑎 𝑡 = 𝑖=1 μ 𝑝 𝑠 𝑃 𝑖 𝑡 2 Wartość at nie zależy od t dla reprodukcji opartej na rangach

Od genealogii do różnorodności – mutacyjny AE P-stwo że dwa punkty z Pt+1 mają wspólnego przodka k generacji temu 𝑎 1−𝑎 𝑘−1 Powyższy wzór jest prawidłowy przy założeniu niezależności p-stwa wyboru rodzica jednego punktu od rodzica drugiego punktu

Od genealogii do różnorodności – mutacyjny AE Wariancja równowagowa populacji jednowymiarowej 𝑣 ∞ = lim 𝐾→∞ 𝑘=0 𝐾 𝑘 𝑎 1−𝑎 𝑘 𝑣 𝑚 = 1 𝑎 𝑣 𝑚 Powyższy wzór jest prawidłowy przy założeniu niezależności p-stwa wyboru rodzica jednego punktu od rodzica drugiego punktu

Od genealogii do różnorodności – mutacyjny AE 𝑣 ∞ = 1 𝑎 𝑣 𝑚 Różnorodność równowagowa Selekcja progowa Selekcja turniejowa Selekcja proporcjonalna 𝑎= 1 θ⋅μ 𝑎≈ 𝑠 2 μ 2s−1 𝑎≈ 1 μ 1+ 𝑣 𝑞 𝑚 𝑞 2 Wariancja równowagowa zależy liniowo od liczebności populacji

Ewolucja populacji Populacja jako gatunek może być charakteryzowana poprzez Położenie swojego “środka” - reprezentanta gatunku Zróżnicowanie osobnicze Przykład – symulacje dla funkcji Ackleya

Od genealogii do różnorodności – mutacyjny AE Wariancja równowagowa populacji jednowymiarowej 𝑣 ∞ = lim 𝐾→∞ 𝑘=0 𝐾 𝑘 𝑎 1−𝑎 𝑘 𝑣 𝑚 = 1 𝑎 𝑣 𝑚 Powyższy wzór jest prawidłowy przy założeniu niezależności p-stwa wyboru rodzica jednego punktu od rodzica drugiego punktu

Od genealogii do różnorodności – mutacyjny AE Założenie o niezależności niespełnione Korelacja wartości funkcji celu dzieci i rodziców Założenie o niezależności spełnione w przybliżeniu

Od genealogii do różnorodności – mutacyjny AE duży zasięg mutacji Wykres zmian stanu populacji Wartość średnia położenia punktów populacji Wariancja położenia punktów populacji podzielona przez wariancję mutacji

Od genealogii do różnorodności – mutacyjny AE Bardzo mały zasięg mutacji Wykres zmian stanu populacji Wartość średnia położenia punktów populacji Wariancja położenia punktów populacji podzielona przez wariancję mutacji

Od genealogii do różnorodności – mutacyjny AE średni zasięg mutacji Wykres zmian stanu populacji Wartość średnia położenia punktów populacji Wariancja położenia punktów populacji podzielona przez wariancję mutacji

Od genealogii do różnorodności – mutacyjny AE Start daleko od maksimum globalnego Wykres zmian stanu populacji Wartość średnia położenia punktów populacji Wariancja położenia punktów populacji podzielona przez wariancję mutacji

Funkcja Ackleya

Algorytm ewolucyjny w stanie równowagi

Algorytm ewolucyjny w stanie równowagi Przez wiele pokoleń populacja fluktuuje w tym samym obszarze przestrzeni przeszukiwań Modelujemy populację jak gdyby była zbiorem realizacji zmiennej losowej o niezmiennym rozkładzie, zwanym rozkładem próbkowania Założenie upraszczające – zajmujemy się wartością oczekiwaną i wariancją zmiennej losowej generującej populację Dodatkowe uproszczenie – badamy wartości oczekiwane wartości oczekiwanej i wariancji

Algorytm ewolucyjny w stanie równowagi

Algorytm ewolucyjny w stanie równowagi

Algorytm ewolucyjny w stanie równowagi

Model “populacji nieskończonej” Liczebność populacji dąży do nieskończoności Dystrybuanta empiryczna populacji dąży do dystrybuanty rozkładu próbkowania

Model “populacji nieskończonej”

Model “populacji nieskończonej” – mutacyjny AE gęstość p-stwa rozkładu próbkowania gęstość p-stwa rozkładu po reprodukcji gęstość p-stwa rozkładu po reprodukcji i mutacji Zapis wartości oczekiwanej i wariancji 𝑓 𝑃 𝑡 𝑓 𝑅 𝑡 𝑓 𝑃 𝑡+1 = 𝑓 𝑅 𝑡 ∗ 𝑓 𝑀 '*' oznacza splot 𝑚 𝑃 𝑡+1 = 𝑚 𝑅 𝑡 𝑣 𝑃 𝑡+1 = 𝑣 𝑅 𝑡 + 𝑣 𝑚

Model “populacji nieskończonej” – rozkład punktów po reprodukcji 𝑚 𝑅 𝑡 = 𝑚 𝑃 𝑡 𝑣 𝑞 + 𝑚 𝑞 𝑣 𝑃 𝑡 𝑣 𝑞 + 𝑣 𝑃 𝑡 𝑣 𝑅 𝑡 = 𝑣 𝑞 𝑣 𝑃 𝑡 𝑣 𝑞 + 𝑣 𝑃 𝑡

Model “populacji nieskończonej” – rozkład punktów po reprodukcji 𝑣 𝑅 𝑡 =γ 𝑠 𝑣 𝑃 𝑡 γ 𝑠 = −∞ 0 4s π 𝑦 2 1+𝑒𝑟𝑓 𝑦 𝑠−1 exp − 𝑦 2 𝑑𝑦 γ 2 =1− 2 π

Model “populacji nieskończonej” – rozkład punktów po reprodukcji 𝑣 𝑅 𝑡 = 1− 2α θ θ 𝑣 𝑃 𝑡 α θ =𝑄 θ+1 2 𝑔 𝑄 θ+1 2

Model “populacji nieskończonej” – dynamika zmian środka populacji 𝑚 𝑅 𝑡 = 𝑚 𝑃 𝑡 𝑣 𝑞 + 𝑚 𝑞 𝑣 𝑃 𝑡 𝑣 𝑞 + 𝑣 𝑃 𝑡 𝑣 𝑅 𝑡 = 𝑣 𝑞 𝑣 𝑃 𝑡 𝑣 𝑞 + 𝑣 𝑃 𝑡

Model “populacji nieskończonej” – dynamika zmian różnorodności 𝑚 𝑅 𝑡 = 𝑚 𝑃 𝑡 𝑣 𝑞 + 𝑚 𝑞 𝑣 𝑃 𝑡 𝑣 𝑞 + 𝑣 𝑃 𝑡 𝑣 𝑅 𝑡 = 𝑣 𝑞 𝑣 𝑃 𝑡 𝑣 𝑞 + 𝑣 𝑃 𝑡

Model “populacji nieskończonej” – równowagowa różnorodność Równanie ewolucji wariancji populacji Równanie zbieżne dla Zatem równowagowa wariancja opisana jako 𝑣 𝑃 𝑡+1 = 𝑣 𝑅 𝑡 + 𝑣 𝑚 =𝐴 𝑣 𝑃 𝑡 + 𝑣 𝑚 𝑣 𝑃 𝑡+1 = 𝑣 𝑃 𝑡 = 𝑣 ∞ 𝑣 𝑃 ∞ = 𝑣 𝑚 1−𝐴

Model “populacji nieskończonej” – równowagowa różnorodność Reprodukcja turniejowa (s=2) Reprodukcja proporcjonalna Reprodukcja progowa 𝑣 𝑅 𝑡 = 1− 2 π 𝑣 𝑃 𝑡 𝑣 𝑃 ∞ = π 2 𝑣 𝑚 𝑣 𝑅 𝑡 = 𝑣 𝑞 𝑣 𝑃 𝑡 𝑣 𝑞 + 𝑣 𝑃 𝑡 𝑣 𝑃 ∞ = 1+ 1+4 𝑣 𝑞 𝑣 𝑚 2 𝑣 𝑚 𝑣 𝑅 𝑡 = 1− 2α θ θ 𝑣 𝑃 𝑡 𝑣 𝑃 ∞ = θ 2α θ 𝑣 𝑚 α θ =𝑄 θ+1 2 𝑔 𝑄 θ+1 2

Przejście między modelami prognozy zróżnicowania Jakość rodziców i potomków niezależna γ= 𝑠 2 𝑃 𝑡 − 𝑣 𝑃 ∞ 𝑣 𝑃 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑜𝑟𝑒 − 𝑣 𝑃 ∞ Model populacji nieskończonej

Przejście między modelami prognozy zróżnicowania

Eksploracja i eksploatacja Poszukiwanie “najbardziej obiecującej górki” Poszukiwanie “szczytu górki” Różnorodność populacji

Eksploracja i eksploatacja Poszukiwanie “najbardziej obiecującej górki” Poszukiwanie “szczytu górki” Presja selekcyjna Selektywny nacisk θ=0.5 θ=0.1 θ=0.03 𝑣 𝑅 𝑡 = 1− 2α θ θ 𝑣 𝑃 𝑡

Eksploracja i eksploatacja Metody sterowania presją selekcji Reprodukcja progowa – wartość Reprodukcja turniejowa – wielkość szranek s Reprodukcja proporcjonalna – modyfikacja wartości funkcji celu (fitness scaling) θ

Eksploracja i eksploatacja Poszukiwanie “najbardziej obiecującej górki” Poszukiwanie “szczytu górki” Presja selekcyjna Selektywny nacisk θ=0.5 θ=0.1 θ=0.03