Modelowanie i podstawy identyfikacji - studia stacjonarne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 6+7 - 2015/2016 Modele fenomenologiczne - linearyzacja

Linearyzacja Modele liniowe powstają też w wyniku linearyzacji nieliniowych modeli zarówno wejście – wyjście jak i przestrzeni stanu w otoczeniu tzw. trajektorii nominalnej Skupimy się najpierw na modelach przestrzeni stanu Weźmy nieliniowy niestacjonarny model przestrzeni stanu - równanie stanu - równanie wyjścia gdzie - stan - wejście - wyjście - funkcje różniczkowalne w sposób ciągły względem swoich argumentów

Trajektorię nominalną określa się w następujący sposób: Definicja trajektorii nominalnej: Dla nominalnego sygnału wejścia nominalna trajektoria stanu to trajektoria która spełnia równanie stanu a nominalna trajektoria wyjścia, to trajektoria, która spełnia równanie wyjścia

Jeżeli nominalna trajektoria wejścia jest stała trajektoria stanu jest stanem równowagi, , jeżeli spełnia równanie dla wszystkich Nominalna trajektoria wyjścia staje się trajektorią stałą, która spełnia równanie

Ograniczymy się na tym wykładzie tylko do tego drugiego przypadku Odchylenia stanu ( w tym stanu początkowego), wejścia i wyjścia od ich trajektorii nominalnych (równowagi) oznaczymy  Korzystając z powyższych oznaczeń – równanie stanu Rozwijamy funkcję w szereg Taylor’a w otoczeniu wartości nominalnych

Z definicji trajektorii nominalnej, w szczególności trajektorii równowagi, stanu i zakładając, że warunki zaniedbania reszty z wyrazów wyższych rzędów są spełnione Zlinearyzowane równanie stanu

Zlinearyzowane równanie stanu

Podobnie dla równania wyjścia Rozwijamy funkcję w szereg Taylor’a w otoczeniu wartości nominalnych Z definicji trajektorii nominalnej wyjścia

i zakładając, że warunki zaniedbania reszty z wyrazów wyższych rzędów są spełnione Zlinearyzowane równanie wyjścia

Zlinearyzowane równanie wyjścia

Model szczególny trajektorii nominalnych – stała trajektoria wejścia, trajektoria stanu = stan równowagi Model zlinearyzowany w otoczeniu stanu równowagi

Przykład 5a Linearyzacja modelu stanu SPS z przykładu 4 a) wskazanie równowagowej trajektorii nominalnej – trajektorii równowagi Wykazanie, że istnieją rozwiązania układu równań Układ 3 równań algebraicznych nieliniowych z 6 niewiadomymi Zakładamy: Obliczamy:

Nietrudno pokazać, że takie rozwiązania istnieją, np.

b) obliczenie macierzy stanu A

c) obliczenie macierzy wejścia B

d) zlinearyzowane równanie stanu

e) obliczenie macierzy wyjścia C f) obliczenie macierzy bezpośredniego przejścia D

d) zlinearyzowane równanie wyjścia

Podsumowanie: - zlinearyzowane równanie stanu - zlinearyzowane równanie wyjścia

Podobnie można przedstawić linearyzację modeli wejście - wyjście Weźmy nieliniowy niestacjonarny model wejście - wyjście gdzie - wejście - funkcje różniczkowalne w sposób ciągły względem swoich argumentów - wyjście

Trajektorię nominalną określa się w analogiczny sposób: Definicja trajektorii nominalnej: Dla nominalnego sygnału wejścia nominalna trajektoria wyjścia modelu wejście - wyjście spełnia równanie: z warunkami początkowymi:

Jeżeli nominalna trajektoria wejścia jest stała nominalna trajektoria wyjścia jest stała, , i spełnia równanie dla wszystkich Z określenia trajektorii równowagi:

Odchylenia wejścia i wyjścia (i ich warunków początkowych) od ich trajektorii równowagi oznaczymy 

Korzystając z powyższych oznaczeń – równanie wejście - wyjście Rozwijamy funkcję w szereg Taylor’a w otoczeniu wartości nominalnych Biorąc pod uwagę

Zlinearyzowane równanie wejście - wyjście i zakładając, że warunki zaniedbania reszty z wyrazów wyższych rzędów są spełnione Zlinearyzowane równanie wejście - wyjście

Zlinearyzowane równanie wejście - wyjście

Przykład 5b Linearyzacja modelu stanu SPS z przykładu 4 Musimy policzyć M(1) , M(0) oraz N(0)

Podsumowanie: - zlinearyzowane równanie wejście – wyjście: postać macierzowa - zlinearyzowane równanie wejście – wyjście: postać zwykła

Kategorie otrzymanego modelu  parametryczny  dynamiczny  ciągły  liniowy  o parametrach skupionych  stacjonarny  deterministyczny

Modyfikacje modelu podsystemu mechanicznego Moment oporowy dzielony często na dwie części:  wewnętrzny – opory strat samego wirnika  zewnętrzny – od urządzenia napędzanego Zasadnicza składowa momentu oporowego wewnętrznego – moment oporowy tarcia lepkiego gdzie, D – współczynnik tarcia lepkiego Równanie momentu oporowego przyjmie w takim przypadku postać: Gdyby interesowało nas położenie wału silnika wyprowadzone modele należy uzupełnić o gdzie, Θ – położenie kątowe wału silnika

– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Inne przykłady modeli – Dodatek A

Systemy mechaniczne – przykładowe modele Dodatek A Systemy mechaniczne – przykładowe modele Przykład D-1

Przykład D-2

Przykład D-3

Systemy elektryczne – przykładowe modele Przykład D-4

Przykład D-5

Przykład D-6

Z drugiego z ostatnich równań Podstawiając do pierwszego i porządkując otrzymamy

Ustalanie warunków początkowych – przykłady: systemy elektryczne W dotychczas przedstawionych przykładach nie skupialiśmy uwagi na określaniu wartości warunków początkowych dla otrzymywanych r.r. modelu, gdyż w przykładach tych ich określenie nie powinno nastręczać trudności. Spotkać można jednak zadania w których określenie warunków początkowych wymaga pewnego skupienia. Podamy przykłady takich zadań zaczerpnięte z elektrotechniki

Przydatne przy określaniu warunków początkowych wskazówki Przypomnijmy zależności wiążące wartości napięcia i prądu na podstawowych elementach układów elektrycznych - możliwa skokowa zmiana prądu - możliwa skokowa zmiana napięcia - możliwa skokowa zmiana prądu - niemożliwa skokowa zmiana napięcia

- możliwa skokowa zmiana napięcia - niemożliwa skokowa zmiana prądu

Przykład WP-1 Do zacisków układu podłączone jest napięcie u(t)=E. W chwili t=0- tuż przed przełączeniem przełącznika P, w obwodzie panuje stan ustalony. W chwili t = 0 zostaje przełączony przełącznik P zgodnie ze strzałką na rysunku. Zbudować model matematyczny pozwalający badać zależność przebiegu napięcia na kondensatorze C oraz prądu pobieranego ze źródła

Model systemu Potrzebne warunki początkowe Dla wejściowego oczka, dla każdej chwili t

W szczególności Stąd oraz

Dalej Prąd i nie może zmienić się skokowo („nagle”) a jego wartość jest równa Mamy

Zatem i ostatecznie

Przykład WP-2 Do zacisków układu podłączone jest napięcie u(t)=E. W chwili tuż przed wyłączeniem (t=0-) wyłącznika W w obwodzie panował stan ustalony. W chwili t = 0 zostaje wyłączony wyłącznik W. Zbudować model matematyczny pozwalający badać zależność przebiegu napięcia na zaciskach wyłącznika uw (t) przy zadanym napięciu u(t)

Model systemu Potrzebne warunki początkowe Napięcie na kondensatorze nie może się skokowo zmienić, więc

Napięcie na wyłączniku Równanie spójności dla wejściowego oczka, dla chwil przed wyłączeniem Stąd

Mamy zależność Ponieważ oraz

Stąd Ponieważ Stąd

Przykład WP-3 Do zacisków układu podłączone jest napięcie u(t)=E. W chwili tuż przed wyłączeniem (t=0- ) wyłącznika W w obwodzie panował stan ustalony. W chwili t = 0 zostaje wyłączony wyłącznik W. Zbudować model matematyczny pozwalający badać zależność przebiegu napięcia na zaciskach odbiornika Ro przy zadanym napięciu u(t)

Model systemu Oczywiście, dla t>0 Potrzebne warunki początkowe

Ponieważ napięcie na kondensatorze nie może się „nagle” zmienić Z stanu ustalonego przed załączeniem wynika Dla znalezienia drugiego warunku początkowego Z równania dla węzła

Prąd w cewce nie może zmienić się skokowo, więc Stąd Zatem

Systemy hydrauliczne – przykładowe modele

Przykład D-7

Przykład D-8

Przykład D-9