12. Pole magnetyczne Obserwacje historyczne wskazywały, że pewne materiały przyciągają małe kawałki żelaza. W roku 1820 H. Oersted odkrył, że igła busoli ustawia się prostopadle do przewodnika przewodzącego prąd. Zatem w pobliżu przewodnika z prądem, podobnie jak w otoczeniu magnesu istnieje pole magnetyczne B. Jeżeli nawiniemy drut na kształt wielozwojowej cewki (solenoid), otrzyma się znacznie silniejsze pole magnetyczne niż dla pojedynczego drutu. Pole magnetyczne prostego przewodnika z prądem. Kierunek pola magnetycznego można wyznaczyć posługując się regułą korkociągu. Pole magnetyczne magnesu Sztabkowego. Z HRW 3 Linie pola magnetycznego rozciągniętego solenoidu. W pobliżu środka cewki pole staje się silniejsze.

12.1. Siła w polu magnetycznym Pole magnetyczne B jest zdefiniowane poprzez siłę z jaką działa na ładunek próbny q0 poruszający się z prędkością v: (12.1) Jednostką B w ukł. SI jest tesla (T) 1T = 1N/(A· m) = 1 Wb/m2 W przestrzeni, gdzie istnieje zarówno pole magnetyczne B jak i elektryczne E , siła działająca na cząstkę o ładunku qo wynosi (12.2) Siła w prostopadłym polu magnetycznym Cząstka o ładunku q i masie m wpada z prędkością v w prostopadłe jednorodne pole magnetyczne B . Siła magnetyczna odchylająca cząstkę jest wg. wzoru (12.1) zawsze prostopadła do prędkości, a zatem będzie to ruch po okręgu. W ruchu tym siła magnetyczna jest siłą dośrodkową (12.3) Z równania (12.3) znajdujemy promień okręgu (12.4)

Siła w prostopadłym polu magnetycznym, cd. Okres T pełnego obiegu cząstki jest równy (12.5) Okres obiegu nie zależy od prędkości a przy danym B jedynie od stosunku m/q. Wzór (12.5) nie obowiązuje jednak dla bardzo dużych prędkości. Cyklotron W takim akceleratorze cząstki obracające się w prostopa- dłym polu magnetycznym są cyklicznie przyspieszane przez wysokie napięcie generatora za każdym razem gdy przekraczają dystans między duantami (duant będący przewodnikiem ekranuje pole elektryczne). Cząstki wstrzykiwane przez źródło S zwiększają stopniowo energię a zatem i promień okręgu, co w rezultacie daje tor spiralny. Warunek rezonansu: częstość f ruchu obiegowego cząstek jest równa częstości fosc oscylatora elektrycznego (12.6)

Wstawiając do (12.6) wartość częstości obiegu f = 1/T = qB/2pm otrzymuje się (12.7) Równanie (12.7) precyzuje związek między B oraz fosc. Synchrotron protonowy Jeżeli energia przyspieszanych protonów przekracza 50 MeV (około 10% prędkości światła) częstość obiegu przyspieszanych cząstek maleje (relatywistyczny efekt wzrostu masy). Dodatkowo, dla energii protonów rzędu 500 GeV i pola magnetycznego 1.5T, promień obiegu wynosiłby 1.1 km (r = mv/qB), co narzucałoby nierealistyczne wymagania na wielkość nabiegunników magnesów. Wyjściem z tej sytuacji było zbudowanie synchrotronu. W tym przypadku podczas cyklu przyspieszania zarówno B jak i fosc zmieniają się w czasie. W ten sposób: Częstość obiegu cząstek zgodna jest z częstością oscylatora Cząstki poruszają się po okręgu o stałym promieniu a nie po spirali. Wymiary synchrotronów wysokich energii są jednak bardzo duże. Synchrotron Fermilab w Illinois USA ma obwód 6.3 km i przyspiesza protony do energii ok. 1 TeV (10 12 eV). LHC (Large Hadron Collider) w CERN (Szwajcaria) o długości 27 km wytwarza dwie przeciwbieżne wiązki protonów o energii całkowitej 14 TeV.

Przewodnik z prądem w polu magnetycznym Prąd elektryczny jest utworzony przez ruchome ładunki, zatem w polu magnetycznym na przewodnik z prądem powinna działać siła. Zgodnie z (12.1) siła działająca na ładunek dq wynosi (12.8) Z definicji prądu otrzymuje się zatem (12.9) Podstawiając (12.9) do (12.8) otrzymuje się wyrażenie na siłę działającą ze strony pola B na odcinek dl przewodnika z prądem (12.10) W elemencie dl przewodnika istnieje ładunek dq.

Całkujac (12.10) otrzymuje się wyrażenie na siłę działającą na przewodnik o długości L, przez który płynie prąd I, umieszczony w polu magnetycznym B (12.11) Przykład Jaka siła działa na element przewodnika o długości L przez który płynie prąd I, jeżeli tworzy on kąt θ z kierunkiem jednorodnego pola magnetycznego B. Z (12.11) otrzymuje się Dla θ = π/2 F = B I L Dla θ = 0 F = 0 Kierunek dl jest taki jak kierunek prądu I

12.2. Prawo Ampera Podobnie do wykorzystania prawa Gaussa, w przypadku gdy pole magnetyczne wykazuje pewien stopień symetrii, do wyznaczenia B można zastosować prawo Ampera (12.12) Pole magnetyczne na zewnątrz długiego prostoliniowego przewodniak z prądem Do obliczenia pola stosujemy prawo Ampera. Wektor B jest styczny do pętli i ma wzdłuż tej pętli stałą wartość, zatem (15.13) Całka okrężna z pola magnetycznego B wzdłuż dowolnej krzywej zamkniętej jest równa sumie prądów obejmowanych przez tę krzywą, pomnożonych przez przenikalność magnetyczną μ0 Pętla Ampera L odzwierciedla cylindryczną symetrię pola

Prawo Ampera, cd. Przykład Jaka jest siła przyciągania między dwoma równoległymi przewodami przewodzącymi prądy I1 oraz I2 w tym samym kierunku, znajdującymi się w odległości d. Zakładamy, że przewód z prądem I2 jest umieszczony w polu mag. wytworzonym przez przewód z prądem I1. Siła działająca na przewód o długości L przewodzący prąd I2 w polu B jest równa Wartość pola B jest równa Siła działajaca ze strony przewodnika I1 na jednostkę długości przewodnika I2 jest równa (12.14) Równanie (12.14) jest używane do zdefiniowania jednostki natężenia prądu w ukł. SI, ampera (A). Wstawiając w tym równaniu I1 = I2 = 1A oraz d = 1m otrzymuje się: Amper jest taką wartością natężenia prądu, który jeżeli przepływa przez każdy z dwu prostych, równoległych, nieskończenie długich przewodów o zaniedbywa-alnych przekrojach i położonych w próżni w odległości 1 m od siebie, powodowałby działanie jednego z przewodników na 1m długości drugiego siłą 2 x 10-7 N.

Prawo Ampera, cd. Pole magnetyczne solenoidu Pod uwagę bierzemy solenoid idealny, który jest nieskończenie długi i utworzony jest ze ścisle upakowanych zwojów. Pole mag. wewnątrz cewki jest jednorodne, równoległe do osi cewki, na zewnątrz jest równe zero. Zwrot wektora pola można określić stosując regułę prawej dłoni: Jeżeli palce wskazują kierunek prądu w cewce, kciuk prawej dłoni wskazuje kierunek pola B. Aby określić natężenie pola B wewnątrz cewki zapisujemy prawo Ampera jako sumę całek dla każdego odcinka pętli prostokątnej Pierwsza całka daje (pole B jest jednorodne) Dla pozostałych całek (B jest prostopadłe do dl albo równe zero) Ostatecznie mamy (12.15) gdzie N jest ilością zwojów wewnątrz pętli a n ilością zwojów na jednostkę długości. Otrzymany rezultat jest potwierdzony przez obserwacje, że pole magnetyczne wewnątrz solenoidu nie zależy od średnicy ani długości solenoidu. Rys. z HRW 3 Widok zewnętrzny rzeczywistego solenoidu Wycinek idealnego solenoidu z prostokątną pętlą całkowania abcda

Przykład elektromagnesu używanego w eksperymentach Silne pola magnetyczne wytwarza się w urządzeniach zwanych elektromagnesami. Zgodnie ze wzorem (12.15) istotny jest iloczyn n I a ponadto duża przenikalność magnetyczna rdzenia m . Przykład elektromagnesu używanego w eksperymentach z odchylaniem cząstek opisany jest poniżej. Parametry elektromagnesu: pole w szczelinie (60 x 20 cm) B = 16 000 Gs = 1.6 T wysokość 180 cm szerokość 220 cm jarzmo magnesu: żelazo Armco liczba zwojów 2N = 1310 przekrój drutu 1,15 cm2 konsumowana moc 82,5 kW. Widok zewnętrzny (a) i przekrój (c) rzeczywistego elektromagnesu

12.3. Prawo indukcji Faradaya W szeregu eksperymentów M. Faraday pokazał, że jest możliwe wytworzenie prądu elektrycznego bez użycia baterii. Kilka z tych eksperymentów zilustrowano poniżej. W powyższych eksperymentach przyczyną indukowanego prądu i siły elektromoto-rycznej SEM jest zmiana strumienia magnetycznego przenikającego pętlę. Prawo Faradaya (12.16) loop 1 loop 2 Z HRW 3 Amperomierz rejestruje prąd w pętli gdy wyłącznik S jest otwierany lub zamykany. Pętle pozostają w spoczynku. W czasie ruchu magnesu w cewce płynie prąd. Wielkość indukowanej SEM jest równa szybkości zmian strumienia magnetycznego przenikającego pętlę.

Prawo indukcji Faradaya, cd. W eksperymentach z indukcją stosuje się zamiast pojedynczej pętli cewkę posiadającą N zwojów co powoduje, że indukowana SEM jest również N razy większa: (12.17) Znak „-” w równaniach (12.16) oraz (12.17) jest odzwierciedleniem reguły Lenza: Regułę tę można wyprowadzić z prawa zachowania energii. Zewnętrzny czynnik musi zawsze wykonywać pracę na układzie pętla-pole magnetyczne. Praca ta uwidacznia się w postaci energii termicznej rozpraszanej na oporności pętli. Indukowany prąd wytwarza strumień magnetyczny, który przeciwdziała zmianie strumienia indukującego prąd. Magnes zbliża się do pętli, indukowany prąd wytwarza pole magnetyczne, które przeciwdziała ruchowi magnesu. W przeciwnym wypadku magnes byłby przyciągany przez pole magnetyczne pętli i powstałby układ typu perpetuum mobile. From HRW 3

Przykłady indukcji Prostokątna ramka jest usuwana z pola magnetycznego Przykładając siłę zewnętrzną usuwamy pętlę z obszaru pola z prędkością v. Strumień magnetyczny przenikający pętlę wynosi SEM indukowana w pętli może być wyznavzona z prawa Faradaya Prąd płynacy w pętli wynosi 2. Ramka obracająca się w polu magnetycznym Ramka o powierzchni S obraca się w stałym polu B z częstością kątową ω. Strumień magnetyczny i SEM wynoszą: Dla N zwojów (cewka) amplituda ε0 is N razy większa. Tak działa generator produkujący prąd do powszechnego użytku. W tym przypadku ω = 2π · 50 Hz.