Podstawy automatyki I Wykład 3b - 2015/2016 - studia stacjonarne Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 3b - 2015/2016 Dynamika obiektów – zapis za pomocą modeli Część 2

Przykład 5: obiekt – silnik obcowzbudny prądu stałego Cel budowy modelu: chcemy wpływać zmianami napięcia twornika na prędkość kątową silnika – potrzebny jest nam model ustalający prawo przetwarzania napięcia twornika w prędkość kątową silnika

Wyróżnienie trzech podsystemów:  mechanicznego  elektrycznego – obwodu twornika  elektrycznego – obwodu wzbudzenia Cześć elektryczna – obwód twornika Cześć elektryczna – obwód wzbudzenia

Założenia: 1. obwody magnetyczne silnika pracują w zakresie liniowych części charakterystyk magnesowania 2. prąd wzbudzenia silnika utrzymywany jest na stałej wartości 3. moment oporowy zewnętrzny jest pomijalnie mały, silnik musi pokonywać moment oporowy wewnętrzny i moment bezwładności

Część mechaniczna Budowa modelu: Prawo równowagi – warunek spójności - II prawo dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego : - moment pędu wirnika silnika - całkowity moment napędowy działający na wirnik silnika całkowity moment oporowy działający na wirnik silnika

W oparciu o wyniki z przykładów 3 i 4: Model matematyczny – część mechaniczna: Równanie różniczkowe: z warunkiem początkowym: lub:

Część elektryczna – obwód twornika Budowa modelu: Prawo równowagi – warunek spójności - II prawo Kirchhoff’a dla obwodu twornika: - napięcie na zaciskach obwodu twornika - spadek napięcia na rezystancji obwodu twornika - siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu twornika

Zależności wiążące: 1. 2. siła elektromotoryczna wynikająca ze zmian w czasie strumienia magnetycznego sprzężonego z uzwojeniem twornika siła elektromotoryczna wynikająca z ruchu zwojów uzwojenia twornika względem jakiegoś strumienia magnetycznego

Dla uzwojenia twornika: z warunku pracy na liniowej części charakterystyki magnesowania: z warunku utrzymywania stałej wartości prądu wzbudzenia

Dla uzwojenia twornika: Ψt - strumień magnetyczny skojarzony z uzwojeniem twornika z warunku pracy na liniowej części charakterystyki magnesowania:

Ostatecznie: Podstawienia – wykorzystanie założeń i zależności wiążących:

Model matematyczny – część elektryczna – obwód twornika: Równanie różniczkowe: lub: z warunkiem początkowym:

Prawo przekształcenia u(t) w y(t) Model matematyczny – silnik p.s.: Graficzne zobrazowanie: Obiekt dynamiczny Prawo przekształcenia u(t) w y(t) Przykład 5: Struktura modelu Model w przestrzeni stanu

(1) (2) (3) Model matematyczny – silnik p.s.- eliminacja it: Przykład 6: (1) (2) Różniczkowanie (1): (3)

Podstawienie z (2) do (3) (4) Podstawienie z (1) do (4) (5)

Model wejście - wyjście Porządkowanie (5): Ostatecznie: Model wejście - wyjście

Prawo przekształcenia u(t) w y(t) Model matematyczny – silnik p.s.: Graficzne zobrazowanie: Obiekt dynamiczny Prawo przekształcenia u(t) w y(t) Przykład 6: Struktura modelu

Przykład 7: Usunięcie założenia o nieznaczącej wartości momentu oporowego zewnętrznego: Model matematyczny – część mechaniczna:

prawo przekształcenia u(t) w y(t) Model matematyczny – silnik p.s.: Graficzne zobrazowanie: Obiekt dynamiczny prawo przekształcenia u(t) w y(t) Przykład 6: Struktura modelu

Dalsze przykłady modeli obiektów/systemów dynamicznych Praca własna: czy można z modelu silnika p.s. z przykładu 6 wyeliminować it? Dalsze przykłady modeli obiektów/systemów dynamicznych Ćwiczenia – w tym semestrze i laboratorium – w przyszłym semestrze

Cechy modeli obiektów dynamicznych z przedstawionych przykładów:  czasu ciągłego  o parametrach skupionych - opisywane równaniami różniczkowymi zwyczajnymi  liniowe – spełniające zasadę superpozycji  stacjonarne -o parametrach niezależnych od czasu  niejednorodne – w równaniach występują zmienne niezależne – sygnały wymuszeń  z jedną lub z wieloma zmiennymi niezależnymi oraz z jedną lub wieloma zmiennymi zależnymi -

Czy trudno znaleźć obiekt nieliniowy? Przykład 1: ciężar o masie M zawieszony na nieważkiej linie o długości L i mogący bez tarcia w punkcie zawieszenia kołysać się w jednej płaszczyźnie Cel budowy modelu: chcemy badać ruch ciężaru przy wytrąceniu go z położenia równowagi (odniesienia)

Budowa modelu: Prawo równowagi – II zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: Moment bezwładności (liczony względem punktu zawieszenia:

Jest to również przykład modelu w postaci równania jednorodnego Model matematyczny: Równanie różniczkowe: z warunkiem początkowym: Jest to również przykład modelu w postaci równania jednorodnego

Dla małych odchyleń od położenia równowagi: wówczas, równanie różniczkowe: z warunkiem początkowym:

Jak możemy traktować modele obiektów dynamicznych? Przedstawiały one prawo przetwarzania sygnału wejściowego obiektu u(t) w sygnał wyjściowy obiektu y(t) Prawo to umożliwia dla danego kształtu u(t) i znanej wartości y(0) określić kształt y(t) Czy to trudne zadanie? Dla układów liniowych ze stałymi współczynnikami – nie

– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu