Systemy dynamiczne Wykład 3b – 4a - 2015/2016 - studia stacjonarne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 3b – 4a - 2015/2016 Odpowiedzi - systemy liniowe stacjonarne

System ciągły; model stanu (przestrzeni stanu) - odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Rozważmy najpierw przypadek skalarny (jednowymiarowy, rzędu pierwszego) Klasyczne podejście 1.

2. 3. Składowa swobodna Składowa wymuszona

4.

Przykład vC(0- ) = 1V x(t) = uc(t)

System ciągły; model stanu (przestrzeni stanu) – odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Weźmy równanie stanu: Rozwiązanie: Składowa swobodna Składowa wymuszona

Składowa swobodna – rozwiązanie równania jednorodnego Rozwiązanie równania jednorodnego proponujemy w postaci: gdzie Sprawdzenie

Rozwiązanie ogólne – rozwiązanie równania jednorodnego, zatem: gdzie Przejdziemy do wyznaczenia rozwiązania szczególnego – składowej wymuszonej – rozwiązania równania niejednorodnego Rozwiązanie równania niejednorodnego proponujemy w postaci:

Rozwiązanie to musi spełniać równanie niejednorodne z drugiej strony, podstawiając proponowane rozwiązanie do równania stanu porównując

podstawiając ostatni wynik do proponowanego rozwiązania Rozwiązanie szczególne – rozwiązanie równania niejednorodnego, zatem: Podsumowując – rozwiązanie równania stanu Składowa swobodna Składowa wymuszona

Weźmy równanie wyjścia: Wyjście policzymy podstawiając uzyskany wynik rozwiązania równania stanu Podsumowanie:

Kluczowy problem przy korzystaniu z tego rozwiązania – obliczenie - macierz tranzycji stanu – macierz fundamentalna I sposób – z definicji szeregu wykładniczego

Przykład 1: Model części mechanicznej silnika prądu stałego, przy zaniedbaniu dynamiki obwodu twornika, wpływu na ten odwód obwodu wzbudzenia i pominięciu momentu obciążenia zewnętrznego można zapisać Przyjmując: otrzymamy Przyjmijmy dla uproszczenia rachunków: oraz

Policzmy potęgi A:

Korzystamy z definicji Czasem nie ma potrzeby liczenia granicy szeregu Przykład 2:

Policzmy potęgi A:

Szereg potęgowy zawiera skończoną liczbę wyrazów

Wynik ten można uogólnić na dowolne n

II sposób pokażemy znajdując najpierw model przestrzeni stanu w dziedzinie zmiennej s

Przez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjścia Możemy napisać

Przykład 3: macierz dołączona wyznacznik

Otrzymujemy:

Rozkład na ułamki proste elementów macierzy Podobnie

Otrzymujemy Ostatecznie macierz tranzycji

Przykład 4: Policzymy odpowiedzi układu przy zadanych warunkach początkowych na jednostkowe wymuszenie skokowe Policzmy najpierw:

Stąd: Stąd bezpośrednio:

Dla podanych warunków początkowych składowa swobodna odpowiedzi stanu i wyjścia :

Dla skokowego jednostkowego wejścia transformata Laplace’a składowej wymuszonej odpowiedzi stanu i wyjścia (w dziedzinie zmiennej s)

Dla skokowego jednostkowego wejścia składowa wymuszona odpowiedzi stanu i wyjścia Pełna odpowiedź stanu i wyjścia

Funkcja przejścia - transmitancja Związki z transmitancją Dla układu SISO: Odpowiedź wyjścia: Funkcja przejścia - transmitancja Funkcja tranzycji stanu

Otrzymaliśmy: Transmitancja: Odpowiedź impulsowa:

System dyskretny; model stanu (przestrzeni stanu) – odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań Będziemy przyjmowali: Rozwiązanie równania stanu w postaci rekursywnej:

Macierz tranzycji stanu: W ogólnej postaci: Macierz tranzycji stanu: Jest to odpowiednik w dziedzinie czasu ciągłego macierzy Porównanie odpowiedzi stanu Składowa swobodna Składowa wymuszona

Odpowiedź wyjścia: Możemy np. policzyć odpowiedź wyjścia na sekwencję impulsu jednostkowego:

Transformata Z Odpowiednikiem transformacji s Laplace’a dla systemów ciągłych jest transformacja z dla systemów dyskretnych Interesują nas podobnie: sygnały o wartości zero dla ujemnych chwil czasowych i jednostronna transformacja z Dwa alternatywne sposoby zdefiniowania: Definicja 1: Mając daną sekwencję sygnałów jej transformację z definiujemy jako Zmienną z-1 możemy traktować w podanej definicji jako operator opóźnienia w czasie – wskaźnik pozycji sygnału w sekwencji

Pożytki: Zastąpienie nieskończonego ciągu, jego sumą (szeregiem) mogącą mieć użyteczną postać do analizy Pytania: - istnienie sumy – zbieżność szeregu - możliwość odtworzenia z wynikowego wyrażenia zmiennej z, elementów sekwencji w dziedzinie czasu

Definicja druga związana jest z sekwencją uzyskaną z próbkowania z okresem Ts sygnału ciągłego i transformacją Laplace’a Ilustracja związków dziedzina ciągła – dziedzina dyskretna poprzez idealny impulsator gdzie

Definicja 2: Mając daną sekwencję sygnałów z próbkowania ciągłej funkcji f(t) z okresem T s w postaci Transformacja Laplace’a tej sekwencji dana jest Definiując zmienną z Otrzymujemy

Doszliśmy do określenia transformacji z lub z zastrzeżeniem, że transformata z istnieje tylko wtedy, gdy istnieje pewne z dla którego szereg z definicji jest zbieżny

Rozważmy sekwencję skoku jednostkowego Przykład 5 Rozważmy sekwencję skoku jednostkowego z określonym okresem próbkowania Mamy Jeżeli szereg jest zbieżny i transformata z istnieje Szereg geometryczny zbieżny

Przykład 6 Rozważmy funkcję Przy próbkowaniu z okresem Transformata z Jeżeli szereg jest zbieżny i transformata istnieje

Transformaty z wybranych sekwencji sygnałów Sekwencja Transformata Z

Wybrane właściwości - transformaty z funkcji przesuniętych w czasie gdzie k jest dodatnie oraz - przesunięcie wstecz - przesunięcie wprzód - twierdzenie o wartości początkowej - twierdzenie o wartości końcowej

Korzystając z definicji i podanych własności możemy dokonać transformacji dyskretnego równania stanu i znaleźć jego odpowiednik w dziedzinie zmiennej z otrzymamy Ostatnie równanie może być rozwiązane względem transformaty X(z) Wprowadzając oznaczenie Możemy to rozwiązanie zapisać w postaci

Równanie wyjścia w dziedzinie zmiennej z

Przez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjścia Możemy napisać

Dla skorzystania z tej ostatniej zależności potrzebna jest umiejętność przeprowadzania transformacji odwrotnej z, czyli znajdowania wartości funkcji w chwilach próbkowania Transformacja odwrotna znajduje tylko wartości funkcji w chwilach próbkowania, ale nie umożliwia znalezienia okresu próbkowania Dla znajdowania wartości funkcji w chwilach próbkowania – sekwencji wartości, praktycznie znajduje się wykorzystując  dzielenie wielomianów  rozkład na ułamki

 Dzielenie wielomianów Z definicji transformacji Z Jeżeli w jakiś sposób potrafimy przedstawić funkcję F(z) w postaci to jest oczywiste, że Jeżeli F(z) jest funkcją wymierną – ułamkiem wielomianów, to wartości ci mogą być znalezione drogą dzielenia wielomianów

Przykład 7 Znaleźć f[k] - dzielimy licznik i mianownik przez największa potęgę z

- dzielimy licznik przez mianownik

- obliczamy wartość początkową Otrzymaliśmy

 rozkład na ułamki Metoda prawie identyczna to metody używanej w odwrotnej transformacji Laplace’a Ponieważ większość funkcji z ma składnik z w liczniku, jest czasem dogodniej przeprowadzać rozkład na ułamki proste dla F(z)/z niż dla F(z) Procedura 1. znaleźć rozkład na ułamki proste F(z)/z lub F(z) 2. określ odwrotną transformatę f[k] korzystając z tablic transformat z

Przykład 8 Przypadek: pojedyncze pierwiastki rzeczywiste Znaleźć transformatę odwrotną funkcji:  z dzieleniem F(z)/z - rozkład na ułamki proste

stąd - spojrzenie w tablice Można zauważyć zatem

 bez dzielenia F(z) - rozkład na ułamki proste stąd

- spojrzenie w tablice zatem

Wyprowadziliśmy uprzednio równanie stanu i równanie wyjścia dla systemu dyskretnego Odwrotna transformacja Z wyprowadzonych równań

Funkcja przejścia - transmitancja Dla warunku początkowego Funkcja przejścia - transmitancja Wejście Wyjście Transmitancja systemu dyskretnego Transformata wyjścia systemu dyskretnego

Model dyskretny systemu ciągłego (patrz Podstawy modelowania i identyfikacji) Odpowiedź stanu systemu ciągłego (t0 = 0) lub Dla dwóch kolejnych chwil próbkowania Przemnażając przez wyrażenie na i odejmując od wyrażenia na

Przyjmując, że u(t) jest stałe pomiędzy chwilami próbkowania Odpowiedź stanu systemu ciągłego (t0 = 0) Zmieniając zmienna całkowania Definiujemy macierze możemy napisać równanie stanu lub w postaci uproszczonej

Odpowiadające równanie wyjścia przy czym Dla wartości własnych macierzy A oraz AD zachodzi (twierdzenie Frobenius’a)

Podsumowanie Mając model systemu ciągłego: Model systemu dyskretnego: przy czym:

Przykład 9 Dany jest model transmitancyjny systemu ciągłego Zbudować model stanu ciągły i dyskretny Metoda zmiennej pomocniczej

Zmienne stanu Równania stanu w dziedzinie zmiennej s Równania stanu w dziedzinie zmiennej t Równania wyjścia w dziedzinie zmiennej s Równania wyjścia w dziedzinie zmiennej t

Ostatecznie Macierz tranzycji w dziedzinie zmiennej s (rezolwenta) Macierz tranzycji w dziedzinie zmiennej t

Wprowadzenie impulsatora i ekstrapolatora zerowego rzędu Dla okresu próbkowania Ts = 1s

Przykład 10 Dany jest model systemu ciągłego w przestrzeni stanu Znaleźć odpowiedź modelu dyskretnego na wymuszenie skokowe jednostkowe Wartości własne systemu są zespolone, sprzężone Układ drugiego rzędu oscylacyjny, o pulsacji drgań nietłumionych i współczynniku tłumienia odpowiednio

Dyskretyzacja z wprowadzeniem impulsatora i ekstrapolatora zerowego rzędu Dla Ts = 0.1 otrzymamy I oczywiście

Wartości własne macierz AD Sprawdzić! Stan i wyjście policzymy rekurencyjnie, zakładając zerowe warunki początkowe

Wynik

Przebieg zmiennych stanu, Ts = 0.1s

Przebieg zmiennej wyjścia, Ts = 0.1s

Przebieg zmiennej wyjścia, Ts = 0.5s

Przebieg zmiennej wyjścia, Ts = 2s

Transmitancja, Ts = 0.1s

Ostatecznie