Test analizy wariancji dla wielu średnich – klasyfikacja pojedyncza Testy analizy wariancji pozwalają sprawdzić czy pewne czynniki wywierają wpływ na kształtowanie się średnich wartości badanych cech. W teście analizy wariancji dla klasyfikacji pojedynczej bada się wpływ tylko jednego czynnika na wyniki obserwacji badanej cechy.

Test analizy wariancji dla wielu średnich – klasyfikacja pojedyncza Procedura testu analizy wariancji jest następująca: Mając dane k populacji o rozkładzie normalnym lub o rozkładzie zbliżonym do rozkładu normalnego zakłada się, że wariancje wszystkich k populacji są równe (ale nie muszą być znane). Jednorodność wariancji wszystkich populacji można badać jednym z testów jednorodności wariancji np. testem Hartleya.

Test analizy wariancji dla wielu średnich – klasyfikacja pojedyncza Następnie z każdej z tych populacji należy wylosować niezależne próby o liczebności ni elementów. Wyniki z prób oznaczane są przez xij , gdzie i = 1,2,...,k, a j = 1,2,...,ni, przy czym gdzie oznacza składnik losowy, mający rozkład

Test analizy wariancji dla wielu średnich – klasyfikacja pojedyncza Na podstawie wyników należy zweryfikować hipotezę zakładającą równość średnich wszystkich badanych populacji:   wobec hipotezy alternatywnej:

Test analizy wariancji dla wielu średnich – klasyfikacja pojedyncza W celu zweryfikowania tej hipotezy należy obliczyć z wyników poszczególnych prób średnie grupowe i średnią ogólną

Test analizy wariancji dla wielu średnich – klasyfikacja pojedyncza według poniższych wzorów:

Test analizy wariancji dla wielu średnich Test analizy wariancji przebiega według schematu, ujętego w postaci tablicy analizy wariancji, która wygląda w następujący sposób:

Test analizy wariancji dla wielu średnich Źródło zmienności Suma kwadratów Stopnie swobody Wariancja Test F Między populacjami (grupami)   k - 1 Wewnątrz grup (składnik losowy) n - k

Test analizy wariancji dla wielu średnich gdzie:

Test analizy wariancji dla wielu średnich Wartość statystyki F porównujemy z wartością krytyczną F,k-1,n-k odczytaną z tablic rozkładu F-Snedecora dla ustalonego poziomu istotności  i dla odpowiedniej liczby stopni swobody k-1 i n-k. Jeżeli F  F,k-1,n-k, to hipotezę H0 o równości średnich w badanych populacjach należy odrzucić.

Test analizy wariancji dla wielu średnich Natomiast, gdy F < F,k-1,n-k, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0. Odrzucenie hipotezy zerowej oznacza udowodnienie istotnego wpływu podziału na badane populacje. W przeciwnym przypadku wszystkie populacje można uznać za równoważne z punktu widzenia otrzymywanych wartości badanej cechy.

Test Hartleya Test Hartleya jest jednym z testów jednorodności wariancji. Służy on do sprawdzenia równości wariancji wielu (k) populacji. Test jednorodności wariancji wykorzystuje się najczęściej jako zagadnienie pomocnicze przy badaniu analizy wariancji. Test Hartleya stosuje się w przypadku równolicznych prób.

Test Hartleya Hipoteza zerowa i hipoteza alternatywna testu Hartleya mają następującą postać:

Test Hartleya Statystyka testu Hartleya przyjmuje postać:

Test Hartleya Wzór na wariancję populacji ma postać:

Test Hartleya Statystykę testu Hartleya Fmax porównuje się z wartością krytyczną odczytaną z tablic wartości krytycznych w teście Hartleya fmax(, k, n). Gdzie  oznacza poziom istotności, a k i n liczbę stopni swobody. Jeżeli Fmax > fmax(, k, n), to istnieją podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej, w przeciwnym wypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

Analiza wariancji - przykład W poniższej tabeli zostały przedstawione wyniki egzaminu ze statystyki otrzymane przez studentów trzech różnych grup: Grupa 1 Grupa 2 Grupa 3 90 88 87 84 85 83 82 80 81 76 78 74 75 72 69 67 60

Analiza wariancji - przykład Należy zweryfikować hipotezę (na poziomie istotności 0,05), że czynnik jakim jest przynależność do grupy wykładowej znacząco różnicuje uzyskaną liczbę punktów z egzaminu ze statystyki 