Obwody elektryczne 2 cz.1 2017 dla EiT OE2 2017

Kontakt: Dr inż. Marek Ossowski marek.ossowski@p.lodz.pl Zakład Układów i Sysytemów Nieliniowych Instytut Systemów Inżynierii Elektrycznej Al.Politechniki 11 pok.14 Ip (C3) Tel.(42) 6312515 Tel 501673231  tylko w sprawach niezwykle ważnych!!!! http://matel.p.lodz.pl/wee/i12zet/mosso/mosso_index.html OE2 2016

Cel edukacyjny przedmiotu Zapoznanie studentów z podstawami teoretycznymi i wykształcenie umiejętności analizowania obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego metodą symboliczną. Wykształcenie umiejętności analizowania obwodów z wymuszeniami okresowymi niesinusoidalnymi. Zaznajomienie z klasyczną metodą analizy obwodów pierwszego rzędu w stanach przejściowych. Wykształcenie umiejętności analizowania obwodów zawierających wzmacniacz operacyjny.

Efekty kształcenia Po zakończeniu kursu student potrafi : 1. Opisywać związki między prądem i napięciem zachodzące dla elementów idealnych przy wymuszeniach sinusoidalnych. 2. Definiować podstawowe pojęcia : impedancja, admitancja, przesunięcie fazowe, moc czynna, bierna, pozorna. 3. Stosować metodę liczb zespolonych do opisu i analizowania obwodów prądu sinusoidalnego, przeprowadzać obliczenia i rysować wykresy wskazowe. 4. Analizować obwody z wymuszeniami okresowymi niesinusoidalnymi, obliczać wartości średnie, skuteczne, moc czynną, bierną, pozorną i moc odkształcenia. 5. Analizować obwody pierwszego rzędu w stanach przejściowych. 6. Analizować proste obwody zawierające wzmacniacz operacyjny.

PROGRAM WYKŁADÓW Analiza obwodów prądu sinusoidalnego: metoda symboliczna, wskazy, moc i energia dopasowanie odbiornika do źródła rezonans napięć i prądów.

Program wykładów (cd) Stany nieustalone: Szeregi Fouriera: analiza obwodów pierwszego rzędu metodą klasyczną. Szeregi Fouriera: właściwości, zbieżność, widmo amplitudowe i fazowe. Analiza obwodów pobudzanych sygnałami okresowymi niesinusoidalnymi. Wzmacniacz operacyjny. OE2 2016

Literatura Literatura podstawowa:  1. Tadeusiewicz M., Teoria Obwodów, cz.I, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, Łódź 2003 2. Tadeusiewicz M., Teoria Obwodów zadania, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej 1999 Literatura uzupełniająca:  1. Mikołajuk K., Podstawy analizy obwodów energoelektronicznych, Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1998 2. Osiowski J., Szabatin J., Podstawy Teorii Obwodów, tom II, WNT, Warszawa 1992 OE2 2016

Zaliczenie przedmiotu Obecność na wszystkich zajęciach Pozytywna ocena z ćwiczeń warunkiem zdawania egzaminu Egzamin pisemny 90min Zagadnienia teoretyczne Zadania obliczeniowe OE2 2016

Prąd sinusoidalnie zmienny B=const OE2 2016

Wielkości charakteryzujące przebiegi sinusoidalne OE2 2016

„Przebiegi” w fazie x1(t),x2(t) OE2 2016

W przeciwfazie x1(t),x2(t) t OE2 2016

Przesunięte o kąt: x1(t),x2(t) t OE2 2016

Wartość skuteczna Dla funkcji sinus zachodzi:

Wartość skuteczna: Powszechnie stosowana miara wielkości sinusoidalnej Oznaczenia:

Wektory a sinusoida OE2 2016

Związek między wykresem wektorowym a czasowym OE2 2016

Dodawanie sinusoid x(t),x1(t),x2(t) z Xm2 x2(t=0) y Xm x(t=0) x1(t=0) OE2 2016

OE2 2016

OE2 2016

Podstawowe zależności dotyczące liczb zespolonych Postać algebraiczna Postać wykładnicza Postać trygonometryczna OE2 2016

Wzór Eulera Im(A) Re(A) A b=Re(A) a=Im(A) OE2 2016

Podstawowe zależności metody symbolicznej Zespolona funkcja czasu OE2 2016

Definicja wartości symbolicznej (zespolonej) wielkości sinusoidalnej Wartością symboliczną (zespoloną) wielkości sinusoidalnie zmiennej: nazywamy wyrażenie postaci: jest wartością skuteczną funkcji sinusoidalnej x(t) gdzie jest fazą początkową funkcji sinusoidalnej x(t) OE2 2016

OE2 2016

Wskaz ruchomy Im(Xmt) Re(Xmt) OE2 2016

Wskaz nieruchomy=wskaz OE2 2016

Lemat 1 Lemat 2 Jeżeli gdzie to OE2 2016

Dowód OE2 2016

Dowód Lemat 3 Jeżeli gdzie A i B są liczbami zespolonymi to: oznaczmy i podstawmy t=0 skąd wynika podobnie dla uwzględniając otrzymujemy skąd wynika OE2 2016

Prawa Kirchhoffa (Prądowe Prawo Kirchhoffa) Korzystając z LEMATU 1: Lemat 3 OE2 2016

Prawa Kirchhoffa (Prądowe Prawo Kirchhoffa) W dowolnym węźle lub przekroju algebraiczna suma wartości symbolicznych prądów równa się zeru. Reguły dotyczące znaków (zalecane: + wypływające, - wpływające) jak dla wartości chwilowych. OE2 2016 34

Napięciowe Prawo Kirchhoffa Korzystając z LEMATU 1: Lemat 3 OE2 2016

Napięciowe Prawo Kirchhoffa W dowolnej pętli algebraiczna suma wartości symbolicznych napięć równa się zeru. Reguły dotyczące znaków (zalecane: + wypływające, - wpływające) jak dla wartości chwilowych. Prawo do jest również prawdziwe dla dowolnej pętli (sekwencji ) napięć międzywęzłowych. OE2 2016 36

Prawo Ohma Niech: gdzie OE2 2016

Prawo Ohma dla OPORNIKA u R Lemat 1 Lemat 3 I U R OE2 2016

I U R U I OE2 2016

REZYSTOR idealny(liniowy) Zależności podstawowe: stąd: OE2 2016

Prawo Ohma dla Cewki Lemat 1i2 Lemat 3 OE2 2016

U I OE2 2016

CEWKA idealna (liniowa) Równanie: skąd OE2 2016

Prawo Ohma dla KONDENSATORA Lemat 1i2 Lemat 3 OE2 2016

I U OE2 2016

Kondensator idealny liniowy OE2 2016

Dla źródeł sterowanych Dla cewek magnetycznie sprzężonych OE2 2016

IMPEDANCJA I U Z Jednostka główna impedancji: OE2 2016

Interpretacja geometryczna impedancji (Z)  rezystancja (R) reaktancja (X) Im(Z) jX R Re(Z) OE2 2016

Admitancja I U Z Jednostka główna impedancji: OE2 2016

Interpretacja geometryczna admitanancji (Y) => konduktancja (G) susceptancja (B) Im(Z) jB G Re(Z) OE2 2016

Analiza zespolona prostego układu AC. Wykres wskazowy. Przykład Analiza zespolona prostego układu AC. Wykres wskazowy.

Układ Hummela

Niech:

Aby kąt między U i I1 wynosił 90o musi zachodzić relacja: Czyli: Skąd otrzymujemy

WNIOSEK: Reaktancje X1 i X2 muszą być jednego znaku a b

a

b

w obwodach prądu sinusoidalnie zmiennego Moce w obwodach prądu sinusoidalnie zmiennego OE2 2016

Moc chwilowa, czynna i bierna u Mocą chwilową dwójnika nazywamy iloczyn wartości chwilowych prądu i i napięcia u. OE2 2016

u,i,p p i u OE2 2016

OE2 2016

OE2 2016

OE2 2016

Moc chwilowa (zależności pomocnicze) OE2 2016

Moc chwilowa: Zgodnie z definicją OE2 2016

Moc chwilowa (cd)… OE2 2016

Moc chwilowa cd.. - składowa tętniąca mocy chwilowej - składowa przemienna mocy chwilowej OE2 2016

p p,p1,p2 p1 p2 p1 p2 Rozkład mocy chwilowej na moc tętniącą i moc przemienną OE2 2016

Moce elementów R,L,C Opornik R Wniosek: moc chwilowa opornika ma charakter tętniący i jest funkcją cosinusoidalną o podwojonej pulsacji prszesuniętą o wartość: OE2 2016

OE2 2016

Moce elementów R,L,C Cewka L PONIEWAŻ OE2 2016

Energia cewki Przyjmując: OE2 2016

OE2 2016

Moce elementów R,L,C Kondensator C PONIEWAŻ OE2 2016

Energia kondensatora Przyjmując: OE2 2016

OE2 2016

Trójkąt mocy Q>0 P Q<0 OE2 2016

MOC SYMBOLICZNA OE2 2016

Wartość zespolona sprzężona Moc symboliczna cd Uwzględniając, że Wartość zespolona sprzężona OE2 2016

Moc pozorna Moc pozorna Moduł mocy symbolicnej amplituda mocy chwilowej inżynierska miara „rozmiaru energetycznego urządzenia” 1[|S|]=1VA OE2 2016 83

Można wykazać (slajd 60), że: pmax = P+|S| pmin = P-|S| Od mocy pozornej zależy wartość maksymalnej mocy chwilowej pobieranej przez układ Wniosek: o warunkach pracy układu (urządzenia) decyduje nie tylko pobierana moc czynna, ale i moc pozorna |S|.

Moc czynna OE2 2016 85

Moc bierna Część urojona mocy symbolicznej Amplituda składowej przemiennej (tętniącej) mocy chwilowej Miara energii wymienianej między źródłami AC a odbiornkami. OE2 2016 86

Interpretacja na płaszczyźnie zmiennej zespolonej (trójkąt mocy) Im(S) Q Re(S) P OE2 2016

Pomiar mocy Cewka prądowa jest połączona szeregowo z obciążeniem, napięciowa równolegle. Początki uzwojeń oznaczane są zazwyczaj gwiazdkami.

Wskazanie watomierza jest wówczas postaci: gdzie kąt: jest kątem przesunięcia fazowego między napięciem cewki napięciowej a prądem cewki prądowej

Watomierz W Iw Uw

Watomierz (cd) Iw Uw Cewka napięciowa W Cewka prądowa

C0 wskazuje watomierz?

Twierdzenie o dopasowaniu odbiornika do źródła AC Twierdzenie o maksymalnym poborze mocy czynnej

Podstawiając I do wzoru na P:

Potrzebujemy dobrać RO i XO tak aby zmaksymalizować moc czynną P. Ponieważ XO może być dodatnie lub ujemne wybieramy:

W celu wyznaczenia RO zapewniającego optimum mocy czynnej P obliczamy pochodną mocy czynnej względem rezystancji obciążenia RO: skąd po przyrównaniu do zera:

Można wykazać, że znalezione optimum to maksimum funkcji P(RO) Rozwiązanie równania : czyli: jest następujące: Można wykazać, że znalezione optimum to maksimum funkcji P(RO)

Moc dwójnika o b gałęziach Można wykazać, że moc zespolona dwójnika jest równa sumie mocy zespolonych wszystkich jego b elementów:

Ponieważ Wniosek: Moce czynne, bierne, i symboliczne są addytywne

Wniosek: Maksimum mocy układu jest osiągane jeżeli: Moc maksymalna

Cewki magnetycznie sprzężone OE2 2016 102

Cewka 1 Cewka 2 OE2 2016 103

Cewka 1 Cewka 2 OE2 2016 104

M>0 OE2 2016 105

M<0 OE2 2016 106

sin sin OE2 2016 107

zespolone zespolone OE2 2016 108

+ - G OE2 2016 109

Szeregowe połączenie cewek magnetycznie sprzężonych OE2 2016 110

OE2 2016 111

OE2 2016 112

OE2 2016 113

Równoległe połączenie cewek magnetycznie sprzężonych OE2 2016 114

Analogicznie: OE2 2016 115

OE2 2016 116

Transformator powietrzny OE2 2016 117

OE2 2016 118

Transformator idealny Dwie cewki nawinięte na rdzeń ferromagnetyczny Sprzężone (połączone) dokładnie tym samym strumieniem magnetycznym Zmienny w czasie strumień indukuje w cewkach napięcia proporcjonalne do liczby zwojów Symbol transformatora idealnego

Dla IDEALNEGO TRANSFORMATORA prawdziwe są relacje: Liczby zwojów cewek

Idealny transformator cd. Równanie oznacza, że w zależności od współczynnika N2 /N1 (przekładni napięciowej) idealnego transformatora napięcie wyjściowe jest redukowane lub zwiększane.

Z równań wynika, że redukcji napięcia wyjściowego towarzyszy adekwatny wzrost wartości prądu wyjściowego (i odwrotnie). WNIOSEK: Moce chwilowe (wejściowa i wyjściowa) pozostają bez zmian. W transformatorze idealnym nie ma strat mocy.

Przekładnie transformatora: Przykład idealnego transformatora obciążonego impedancyjnie, w stanie ustalonym przy zasilaniu sinusoidalnie zmiennym Przekładnie transformatora:

Definiując: Zależność ta wyraża impedancję wejściową transformatora w funkcji impedancji obciążenia.

Rezonans szeregowy . Wskaz (fazor) skojarzony z tym napięciem:

Rezonans szeregowy cd Impedancja obwodu wynosi:

OBWÓD O CHARAKTERZE INDUKCYJNYM

OBWÓD O CHARAKTERZE POJEMNOŚCIOWYM

OBWÓD O CHARAKTERZE REZYSTANCYJNYM

Rezonans szeregowy – równoważne definicje Warunki rezonansu w szeregowym połączeniu RLC Część urojona impedancji Z jest równa zeru. Reaktancja połączenia X=ωL-1/ ωC jest równa zeru Napięcie na połączeniu szeregowym L-C (UL+UC) jest równe zeru

Cechą charakterystyczna rezonansu fizycznego jest istnienie dużych odpowiedzi przy małym pobudzeniu o ściśle określonej częstotliwości. Opór charakterystyczny obwodu rezonansowego: Pulsacja rezonansowa: Częstotliwość rezonansowa: Inne oznaczenie:

Zastosowania W telekomunikacji (obwód wejściowy, antenowy, dostrajanie ) Filtry analogowe Układy oscylatorów Wzmacniacze napięciowe Generatory impulsowe………

Przykład 1: schemat anteny w odbiorniku marki Pionier (superheterodynowym)

Przykład 2: generatora Hartleya w konfiguracji WE (wspólnego emitera)

Zjawiska energetyczne obwodu RLC w stanie rezonansu niech wówczas energia cewki a energia kondensatora

Stąd wynika, że:

Uniwersalna krzywa rezonansowa

Niech DLA Tworzymy iloraz:

gdzie nosi nazwę rozstrojenia bezwzględnego Uwaga: Analogiczną zależność można otrzymać ze wzoru:

Wniosek: Rozstrojenie bezwzględne jest wskaźnikiem odstępstwa obwodu dla danej pulsacji od rezonansu.

Wykresy funkcji: Noszą nazwę uniwersalnych krzywych rezonansowych i odnoszą się do każdego szeregowego obwodu rezonansowego

1 -1

Dobroć obwodu w stanie rezonansu: ponieważ

Ponieważ w warunkach rezonansu Stwierdzamy, że napięcia i są Q raza większe od napięcia

ROZSTROJENIE WZGLĘDNE Wniosek: Przy tym samym rozstrojeniu bezwzględnym x w obwodzie o większej dobroci występuje mniejsze rozstrojenie względne

Wykres iloraz jest równy zeru. Dla pulsacji rezonansowej wartość ilorazu jest równa 1, dla: iloraz jest równy zeru.

Napięcie na rezystorze jest równe napięciu zasilającemu dla pulsacji rezonansowej. W pobliżu pulsacji rezonansowej jest ono zredukowane nieznacznie a dla bardzo niskich i wysokich częstotliwości kołowych (pulsacji) – znacznie. Wniosek: Tego typu obwód jest zwany filtrem pasmowym

W bliskim otoczeniu pulsacji rezonansowej prawdziwe jest:

Pasmo przepuszczania obwodu rezonansowego jest to przedział pulsacji w otoczeniu pulsacji rezonansowej , na krańcach którego wartość skuteczna prądu I jest równa:

czyli lub W PAŚMIE PRZEPUSZCZANIA MOC CZYNNA NA KRAŃCACH PASMA JEST DWUKROTNIE MNIEJSZA OD MOCY CZYNNEJ W STANIE REZONANSU:

WYNIKA TO Z RELACJI: lub

Z rozwiązania równania wynikają zależności Skąd mamy

WYPROWADZENIE WZORU NA SZEROKOŚĆ PASMA PRZEPUSZCZANIA: (3dB) Rozstrojenie względne Dobroć w stanie rezonansu

Stąd wynikają wzory

Pasmo przepuszczania obwodu rezonansowego

Z przyrównania Co dla dostatecznie dużej dobroci obwodu prowadzi do zależności

Rezonans równoległy (prądów)

OBWÓD O CHARAKTERZE POJEMNOŚCIOWYM

OBWÓD O CHARAKTERZE INDUKCYJNYM

OBWÓD O CHARAKTERZE REZYSTANCYJNYM

Rezonans równoległy – równoważne definicje Warunki rezonansu w równoległym połączeniu RLC (GLC) Część urojona admitancji Y jest równa zeru. Susceptancja połączenia B=ωC-1/ ωL jest równa zeru Pulsacja w układzie wynosi: Wypadkowy prąd połączenia równoległego L-C jest równy zeru (IL+IC=0) Prąd wypadkowy całego połączenia GLC jest równy prądowi opornika I=IR

Zjawiska energetyczne obwodu RLC w stanie rezonansu niech wówczas energia kondensatora a energia cewki

Stąd wynika, że:

Uniwersalna krzywa rezonansowa

Niech DLA Tworzymy iloraz:

gdzie nosi nazwę rozstrojenia bezwzględnego Uwaga: Analogiczną zależność można otrzymać ze wzoru:

Wykresy funkcji: Noszą nazwę uniwersalnych krzywych rezonansowych i odnoszą się do każdego szeregowego obwodu rezonansowego

1 -1

Dobroć obwodu w stanie rezonansu: ponieważ

Ponieważ w warunkach rezonansu Stwierdzamy, że prądy i są Q raza większe od prądu

Pasmo przepuszczania obwodu rezonansowego jest to przedział pulsacji w otoczeniu pulsacji rezonansowej , na krańcach którego wartość skuteczna napięcia U jest równa:

czyli lub W PAŚMIE PRZEPUSZCZANIA MOC CZYNNA NA KRAŃCACH PASMA JEST DWUKROTNIE MNIEJSZA OD MOCY CZYNNEJ W STANIE REZONANSU:

WYNIKA TO Z RELACJI: lub

Z rozwiązania równania wynikają zależności Skąd mamy

WZÓR NA SZEROKOŚĆ PASMA PRZEPUSZCZANIA: (3dB)

Z przyrównania Co dla dostatecznie dużej dobroci obwodu prowadzi do zależności