Podstawy automatyki I Wykład 8 - 9 - 2015/2016 - studia stacjonarne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 8 - 9 - 2015/2016 Zera, bieguny – stabilność (systemy liniowe stacjonarne) - część I

Transmitancja operatorowa - forma zapisu dynamiki liniowego stacjonarnego systemu dynamicznego rozpoczynającego ruch przy zerowych warunkach początkowych Rozważamy przypadki: Fakt matematyczny Każdą funkcję można przedstawić w postaci gdzie, są pierwiastkami równania

Inna postać zapisu transmitancji operatorowej gdzie, Postać ta nazywamy postacią zera - bieguny Możemy napisać są pierwiastkami równania i nazywane są zerami transmitancji są pierwiastkami równania i nazywane są biegunami transmitancji

Równanie charakterystyczne Równanie pozwalające znaleźć bieguny transmitancji nazywamy równaniem charakterystycznym

Bieguny – zera a wartości transmitancji operatorowej Rzeczywista część s Urojona część s Moduł T(s)

Bieguny – zera a wartości odpowiedzi w czasie – stabilność układu sterowania System sterowania Będziemy rozważali stabilność systemu sterowania liniowego stacjonarnego o strukturze wprowadzonej na poprzednich wykładach – systemu z ujemnym sprzężeniem zwrotnym GUS(s) – transmitancja układu sterującego GOS(s) – transmitancja obiektu sterowanego H(s) – transmitancja sprzężenia zwrotnego

Wprowadzimy następujące pojęcia Transmitancja układu otwartego, transmitancja układu zamkniętego Wprowadzimy następujące pojęcia - transmitancja układu otwartego

Transmitancja układu otwartego, transmitancja układu zamkniętego - transmitancja układu otwartego do wyjścia

Transmitancja układu otwartego, transmitancja układu zamkniętego - transmitancja układu zamkniętego do wyjścia

Transmitancja układu otwartego, transmitancja układu zamkniętego Czasem wygodniej pracować ze schematem uproszczonym I wówczas - transmitancja układu otwartego - transmitancja układu otwartego do wyjścia - transmitancja układu zamkniętego do wyjścia

Transmitancja układu otwartego, transmitancja układu zamkniętego Mamy system z jednym wejściem i jednym wyjściem, określany skrótem SISO (Single Input - Single Output) Odpowiedź systemu zamkniętego Y(s) na wymuszenie YREF(s) wyrazi się znanym już wzorem

Fakt: system jest liniowy Transmitancja układu otwartego, transmitancja układu zamkniętego W przedstawianych uprzednio przykładach występowały zakłócenia – jak uwzględnić je w strukturze systemu sterowania? Fakt: system jest liniowy Jakim wzorem wyrazi się odpowiedź systemu na jednoczesne działanie wymuszeń YREF(s) oraz Z(s)?

Skorzystamy z zasady superpozycji Transmitancja układu otwartego, transmitancja układu zamkniętego Mamy system z dwoma wejściami i jednym wejściem, określany skrótem MISO (Multiple Input - Single Output) Skorzystamy z zasady superpozycji - składowa odpowiedzi Y(s) wynikająca z wymuszenia YREF(s) - składowa odpowiedzi Y(s) wynikająca z wymuszenia Z(s)

Transmitancja układu otwartego, transmitancja układu zamkniętego

Takie same mianowniki transmitancji Transmitancja układu otwartego, transmitancja układu zamkniętego Odpowiedź systemu Y(s) na działanie wymuszeń YREF(s) oraz Z(s) wyrazi się wzorem Takie same mianowniki transmitancji Stabilność systemu liniowego stacjonarnego determinują bieguny jego transmitancji układu zamkniętego – pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego

Rozważamy zamknięty system sterowania z ujemnym sprzężeniem zwrotnym Równanie charakterystyczne systemu zamkniętego Rozważamy zamknięty system sterowania z ujemnym sprzężeniem zwrotnym (1) Równanie charakterystyczne układu zamkniętego w dziedzinie s – mianownik transmitancji układu zamkniętego przyrównany do zera Pierwsza postać:

Równanie charakterystyczne układu zamkniętego – inaczej Równanie charakterystyczne systemu zamkniętego Równanie charakterystyczne układu zamkniętego – inaczej (2)

Nieformalne wprowadzenie do stabilności Widomy objaw niestabilności – amplituda wielkości wyjściowej systemu zdąża do nieskończoności (przy ograniczonej amplitudzie wielkości wejściowej)

Stabilność Pytania: Czy musimy przebadać reakcje systemu na wszystkie możliwe wymuszenia, wszystkie możliwe warunki początkowe, aby wydać sąd o jego stabilności? Czy możliwość wystąpienia nieograniczonej amplitudy reakcji systemu związana jest z cechami bodźca (sygnału wymuszającego, warunku początkowego), czy też związana jest z cechami systemu?

Dla systemów liniowych stacjonarnych stabilność jest cechą systemu Jeżeli system liniowy stacjonarny jest stabilny, wówczas żadne warunki początkowe, ani żadne ograniczone wymuszenie nie spowoduje nieograniczonego wzrostu wyjścia systemu Trzy wymagania formułowane w odniesieniu do systemu sterowania:  stabilność  zachowanie systemu w stanach przejściowych  błąd sterowania w stanach ustalonych Najważniejsza – STABILNOŚĆ

Definicje: (odwołujące się do wymuszenia impulsowego) Stabilność Definicje: (odwołujące się do wymuszenia impulsowego) System liniowy stacjonarny jest asymptotycznie stabilny, jeżeli jego odpowiedź impulsowa zdąża do zera przy czasie zdążającym do nieskończoności System liniowy stacjonarny jest (krytycznie) stabilny, jeżeli jego odpowiedź impulsowa ani nie zanika, ani nie wzrasta, lecz pozostaje stała lub oscyluje ze stałą amplitudą przy czasie zdążającym do nieskończoności System liniowy stacjonarny jest niestabilny, jeżeli jego odpowiedź impulsowa zdąża do nieskończoności przy czasie zdążającym do nieskończoności

Stabilność Definicje: (odwołujące się do dowolnego wymuszenia – stabilność BIBO (Bounded Input – Bounded Output)BIBO ) System jest BIBO stabilny, jeżeli każde wymuszenie o ograniczonej amplitudzie pojawiające się w chwili t0, wywołuje reakcję o ograniczonej amplitudzie w przedziale czasu [t0,∞) System jest BIBO niestabilny, jeżeli jakiekolwiek wymuszenie o ograniczonej amplitudzie pojawiające się w chwili t0, wywołuje reakcję o nieograniczonej amplitudzie w przedziale czasu [t0,∞) y Ograniczone wejście Stabilny Niestabilny

Stabilność Systemy krytycznie stabilne oznaczają kategorię systemów, które dla pewnych ograniczonych wymuszeń będą dawały odpowiedzi ograniczone (będą stabilne) a dla innych będą dawały odpowiedzi nieograniczone (będą niestabilne) Przykład: Element idealnego całkowania: wymuszenie impulsowe i wymuszenie skokowe

Stabilność W ogólnym przypadku (systemy nieliniowe) pojęcie stabilności jest związane ze stanem równowagi systemu – inaczej mówi się z punktem równowagi systemu Stan równowagi systemu może być:  Stabilny lokalnie, jeżeli system powraca do niego tylko przy ograniczonych, co do zakresu odchyleniach od niego  Stabilny globalnie, jeżeli system powraca do niego przy dowolnie dużych odchyleniach od niego  Stabilny krytycznie, jeżeli system odchylony od aktualnego położenia równowagi pozostaje w nowym położeniu, który też jest stanem równowagi  Niestabilny, jeżeli system oddala się od tego stanu w sposób nieograniczony i nie powraca do niego przy dowolnie małych odchyleniach od niego

Pożądana: globalna stabilność Ilustracja stabilnych i niestabilnych punktów równowagi Stabilność globalna Stabilność krytyczna Niestabilność Stabilność lokalna Pożądana: globalna stabilność

Pożądana: globalna stabilność asymptotyczna W automatyce interesuje nas stabilność asymptotyczna System jest stabilny:  Asymptotycznie, jeżeli powraca do uprzedniego stanu równowagi po odchyleniu od niego  Nieasymptotycznie (krytycznie), jeżeli ani nie powraca, ani nie oddala się od stanu równowagi po odchyleniu od niego Pożądana: globalna stabilność asymptotyczna

Stabilność Definicja: System jest stabilny globalnie, jeżeli jest stabilny dla dowolnych warunków początkowych System jest stabilny lokalnie, jeżeli jest stabilny dla warunków początkowych leżących w pobliżu stanu równowagi Twierdzenie: System liniowy stacjonarny jeżeli jest stabilny, jest stabilny globalnie

Nieasymptotycznie (krytycznie) Stabilność System niestabilny System System stabilny Asymptotycznie Nieasymptotycznie (krytycznie)

Stabilność Skupimy się na systemach dla których transmitancja układu zamkniętego jest ułamkiem wymiernym (3)

a) Stabilność asymptotyczna Jeżeli (4) to a) Stabilność asymptotyczna System liniowy stacjonarny jest asymptotycznie stabilny, jeżeli pierwiastki równania (4) spełniają czyli wszystkie bieguny transmitancji systemu zamkniętego leżą w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s

Stabilność b) Stabilność (krytyczna) System liniowy stacjonarny jest stabilny krytycznie, jeżeli co najwyżej jeden pojedynczy pierwiastek równania (4) leży w początku układu współrzędnych płaszczyzny zmiennej zespolonej s i żaden wielokrotny pierwiastek nie leży na osi urojonej c) Niestabilność System liniowy stacjonarny jest niestabilny, jeżeli chociaż jeden pierwiastek równania (4) leży w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s lub jeden wielokrotny pierwiastek leży na osi urojonej

Stabilny asymptotycznie Stabilny (krytycznie) Stabilność Liniowy system stacjonarny – bieguny transmitancji i stabilność Płaszczyzna s Stabilny asymptotycznie Stabilny (krytycznie) Niestabilny

Liniowy system stacjonarny – rząd drugi Stabilność Liniowy system stacjonarny – rząd drugi rozmieszczenie biegunów - odpowiedzi

Liniowy system stacjonarny – rząd drugi Stabilność Liniowy system stacjonarny – rząd drugi rozmieszczenie biegunów - odpowiedzi

Stabilność Przykład 1: Układ stabilny

Układ zamknięty stabilny asymptotycznie Stabilność Stabilność układu otwartego ≠ stabilność układu zamkniętego Przykład 2: Układ otwarty: Bieguny: Układ otwarty stabilny krytycznie Układ zamknięty: Układ zamknięty stabilny asymptotycznie

Układ zamknięty niestabilny Stabilność Układ otwarty: Bieguny: jak poprzednio Układ otwarty stabilny krytycznie Układ zamknięty: Układ zamknięty niestabilny

TAK, korzystając z KRYTERIÓW STABILNOŚCI Trudność – wyznaczanie pierwiastków równania charakterystycznego Czy można wydać sąd o stabilności systemu nie rozwiązując równania charakterystycznego (4) TAK, korzystając z KRYTERIÓW STABILNOŚCI * Kryteria algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a * Kryterium graficzno-analityczne Nyquista

Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Kryteria algebraiczne pozwalają stwierdzić, czy system liniowy stacjonarny jest stabilny asymptotycznie na podstawie wartości współczynników równania charakterystycznego Warunek konieczny: (dla wszystkich kryteriów algebraicznych) Jeżeli system liniowy stacjonarny jest stabilny asymptotycznie, to wszystkie współczynniki równania charakterystycznego są niezerowe i dodatnie (jednego znaku) Zerowa wartość wyrazu wolnego oznacza albo niestabilność albo stabilność krytyczną

Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Przykład 3: System nie spełnia warunku koniecznego stabilności asymptotycznej – współczynniki r.ch. nie są jednego znaku  system jest niestabilny System nie spełnia warunku koniecznego stabilności asymptotycznej – jeden współczynnik r.ch. jest zerowy  system jest niestabilny Brak wyrazu wolnego w r.ch.  system w najlepszym przypadku jest krytycznie stabilny

Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Przykład 3: c.d. System spełnia warunek konieczny stabilności – współczynniki r. ch. są jednego znaku i wszystkie są różne od zera  dla oceny stabilności należy sprawdzić warunek wystarczający

Warunek wystarczający Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Warunek wystarczający  Warunek dostateczny podamy dla oznaczeń współczynników równania charakterystycznego jak niżej

 Tworzymy tabelę (tablicę) Routh’a Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a  Tworzymy tabelę (tablicę) Routh’a Wiersz

Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a  Interpretujemy dane zawarte w utworzonej tablicy Routh’a w celu ustalenia ile biegunów układu zamkniętego znajduje się w lewej półpłaszczyźnie, ile w prawej i ile na osi urojonej - liczba zmian znaków elementów pierwszej kolumny jest równa liczbie biegunów układu zamkniętego (pierwiastków M(s)) w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s

2 zmiany – dwa bieguny w prawej półpłaszczyźnie Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Przykład 4: 2 zmiany – dwa bieguny w prawej półpłaszczyźnie System niestabilny

Przykład 5: System stabilny ? Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Przykład 5: System stabilny ? System spełnia warunek konieczny stabilności – współczynniki r.ch. są jednego znaku i wszystkie są różne od zera  dla oceny stabilności należy sprawdzić warunek wystarczający

2 zmiany – dwa bieguny w prawej półpłaszczyźnie Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a 2 zmiany – dwa bieguny w prawej półpłaszczyźnie System niestabilny

Przykład 6: Transmitancja obiektu sterowanego Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Przykład 6: Transmitancja obiektu sterowanego Transmitancja układu sterującego Wartość K zapewniająca stabilność układu sterowania? Równanie charakterystyczne

Dla uniknięcia zmiany znaku: Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Dla uniknięcia zmiany znaku: Zakładając K>0 Warunek

Zero występujące w pierwszej kolumnie tablicy Routh’a Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Przypadki szczególne Zero występujące w pierwszej kolumnie tablicy Routh’a  zero w kolumnie pierwszej dowolnego wiersza, lecz wśród pozostałych elementów wiersza są elementy niezerowe Jedna z metod postępowania: - zastępujemy element zerowy elementem o dowolnie małej wartości ε i kontynuujemy wypełnianie tablicy Routh’a - znajdujemy znak granicznych wartości elementów pierwszej kolumny przy ε  0 - sprawdzamy liczbę zmian znaków w pierwszej kolumnie

Przykład 7: pojedyncze zero w pierwszej kolumnie Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Przypadki szczególne Przykład 7: pojedyncze zero w pierwszej kolumnie Zbadać stabilność systemu o transmitancji układu zamkniętego Równanie charakterystyczne:

            Badamy zmienność znaku przy Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a       Badamy zmienność znaku przy   zakładając uprzednio znak ε    

ε = + ε = – ε = + ε = – Wyniki analizy: Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Wyniki analizy: ε = + ε = – ε = + 2 zmiany – dwa bieguny w prawej półpłaszczyźnie ε = – 2 zmiany – dwa bieguny w prawej półpłaszczyźnie System niestabilny

- różniczkujemy pomocniczy wielomian względem s Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a  zero w kolumnie pierwszej dowolnego wiersza i wszystkie pozostałe elementy w wierszu są zerowe Metoda postępowania: - tworzymy wielomian pomocniczy w oparciu o elementy poprzedniego, w stosunku do wiersza zerowego, wiersza tablicy Routh’a; wielomian rozpoczyna się wyrazem o stopniu odpowiadającym stopniowi tego poprzedniego wiersza, a elementy poprzedniego wiersza stają się współczynnikami tworzonego wielomianu; potęgi wielomianu pomocniczego zmniejszają się z krokiem dwa - różniczkujemy pomocniczy wielomian względem s - współczynniki uzyskanego po zróżniczkowaniu wielomianu wpisujemy w miejsce elementów zerowego wiersza i kontynuujemy wypełnianie tablicy Routh’a

Przykład 8: cały zerowy wiersz Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Przykład 8: cały zerowy wiersz Zbadać stabilność systemu o transmitancji układu zamkniętego Równanie charakterystyczne:

Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a

Tworzymy wielomian pomocniczy: Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Tworzymy wielomian pomocniczy: Różniczkujemy P(s) względem s

Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a

Nie ma zmian – nie ma biegunów w prawej półpłaszczyźnie Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Nie ma zmian – nie ma biegunów w prawej półpłaszczyźnie System stabilny

Wiersze zerowe w tablicy Ruth’a – Hurwitz’a - znaczenie Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Wiersze zerowe w tablicy Ruth’a – Hurwitz’a - znaczenie Materiał dodatkowy

Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Zero w kolumnie pierwszej dowolnego wiersza i wszystkie pozostałe elementy są zerowe - znaczenie matematyczne tego faktu:  Wielomian równania charakterystycznego układu zamkniętego posiada dzielnik, który jest wielomianem parzystym; wielomian parzysty to wielomian, w którym występują wyrazy tylko o stopniach parzystych  Wielomian parzysty posiada pierwiastki, które rozłożone są symetrycznie względem początku układu współrzędnych

Możliwe położenia pierwiastków wielomianu parzystego Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Możliwe położenia pierwiastków wielomianu parzystego A – rzeczywiste B – urojone C – zespolone  Wielomian pomocniczy jest wielomianem parzystym, dzielnikiem wielomianu charakterystycznego

Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Zero w kolumnie pierwszej dowolnego wiersza i wszystkie pozostałe elementy są zerowe – skutki dla analizy  Zmiany znaku w tablicy Routh’a do wystąpienia zerowego wiersza określają liczbę biegunów w prawej półpłaszczyźnie związanych z częścią pozostałą wielomianu charakterystycznego poza wielomianem parzystym  Zmiany znaku w tablicy Routh’a od wiersza wielomianu pomocniczego określają liczbę biegunów w prawej półpłaszczyźnie wielomianu parzystego – dzielnika wielomianu charakterystycznego; ponieważ pierwiastki wielomianu parzystego są symetryczne, liczba zmian znaku określa liczbę biegunów w prawej i także w lewej półpłaszczyźnie; pierwiastki wielomianu dzielnika parzystego poza tym wyliczeniem leżą na osi urojonej

Przykład 9: cały zerowy wiersz Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Przykład 9: cały zerowy wiersz Zbadać położenie biegunów systemu o transmitancji układu zamkniętego Równanie charakterystyczne:

Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a

Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a

Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a

Wielomian pomocniczy: Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Wielomian pomocniczy: Różniczkujemy P(s) względem s

Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a

Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a

Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Wielomian charakterystyczny – stopień: 8 Wielomian pomocniczy – stopień: 4 Wielomian pozostały – stopień: 4 Wiersze s4 – s0: wielomian pomocniczy - wielomian pomocniczy ma cztery pierwiastki - bieguny - brak zmian znaku – brak pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie - jeżeli brak pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie, to nie ma ich też w lewej półpłaszczyźnie - wielomian pomocniczy ma 4 pierwiastki urojone – wielomian charakterystyczny ma cztery bieguny urojone sprzężone

I oczywiście system niestabilny Kryterium algebraiczne Ruth’a - Hurwitz’a Wielomian charakterystyczny – stopień: 8 Wielomian pomocniczy – stopień: 4 Wielomian pozostały – stopień: 4 Wiersze s8 – s5: wielomian pozostały - wielomian pozostały ma cztery pierwiastki - bieguny - dwie zamiany znaku – dwa pierwiastki w prawej półpłaszczyźnie – dwa bieguny w prawej półpłaszczyźnie - dwa pozostałe pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie – dwa bieguny w lewej półpłaszczyźnie I oczywiście system niestabilny

– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu