Stabilność Stabilność to jedno z najważniejszych pojęć dynamiki systemów i teorii sterowania W większości przypadków, stabilność jest warunkiem koniecznym praktycznego zastosowania systemu Interesujemy się stabilnością systemu, bo chcemy:  ustabilizować system niestabilny  uczynić „bardziej” stabilnym system stabilny Istnieje kilka możliwych definicji stabilności – większość z nich odwołuje się do pojęcia punktu/stanu równowagi

Dla systemów opisanych równaniem stanu System ciągły System dyskretny mówimy, że punkt/stan jest punktem/stanem równowagi, jeżeli jest stanem systemu dla pewnej chwili początkowej t0 lub k0 i pozostaje nim dla wszystkich chwil następnych przy zerowej wartości wejścia To oznacza, że spełnia równanie System ciągły System dyskretny Inaczej: system znajdujący się w stanie równowagi pozostanie w nim, jeżeli nie będzie na niego oddziaływać żadne wejście

Uwaga 1: Istnienie stanu równowagi dla systemu nie zapewnia jego stabilności Stabilny stan równowagi Niestabilny stan równowagi Uwaga 2: Stan równowagi a stan stacjonarny System ciągły – stan równowagi System dyskretny – stan równowagi System ciągły – stan stacjonarny System dyskretny – stan stacjonarny

Dla systemu liniowego stan równowagi może być znaleziony przez rozwiązanie równania System ciągły System dyskretny Wniosek: stan jest zawsze stanem równowagi systemu liniowego, ale mogą istnieć również inne stany równowagi Stan jest jedynym stanem równowagi systemu liniowego, jeżeli System ciągły System dyskretny Macierz jest nieosobliwa dla wszystkich wartości Macierz jest nieosobliwa dla wszystkich wartości Taki stan równowagi nazywamy odosobnionym/izolowanym (ang. isolated) stanem równowagi

Jeżeli, System ciągły System dyskretny Macierz ma co najmniej jedną wartość własną równą zero dla dowolnej wartości Macierz ma co najmniej jedną wartość własną równą jeden dla dowolnej wartości system dynamiczny liniowy ma nieskończenie wiele stanów równowagi W takim przypadku możemy napisać, że stan równowagi spełnia równanie System ciągły System dyskretny co pokazuje, że nieskończenie wiele wektorów własnych postaci jest stanami równowagi

Formalne definicje stabilności podamy dla systemów ciągłych, lecz są one poprawne również dla systemów dyskretnych (zamiana czasu ciągłego t na dyskretny k wówczas dla wszystkich Stabilność Stan jest stanem stabilnym równowagi dla chwili , jeżeli dla dowolnej istnieje wartość taka, że jeżeli Stan , który jest stabilny w powyższym sensie jest nazywany stabilnym w sensie Lapunowa’a Jeżeli dla stabilności w powyższym sensie wartość jest niezależna od wyboru chwili to stan to stan nazywamy jednorodnie stabilnym Niestabilność Stan jest stanem niestabilnym równowagi dla chwili , jeżeli nie jest on stabilny

Ilustracja stabilności dla systemu rzędu drugiego

Ilustracja asymptotycznej stabilności dla systemu rzędu drugiego taka, że jeżeli wówczas Stabilność asymptotyczna Stan jest stanem asymptotycznie stabilnym równowagi dla chwili , jeżeli jest stabilny (w sensie Lapunowa) i jeżeli istnieje wartość Jeżeli dla stabilności w powyższym sensie wartość jest niezależna od wyboru chwili to stan to stan nazywamy jednorodnie asymptotycznie stabilnym Ilustracja asymptotycznej stabilności dla systemu rzędu drugiego

Podane definicje stabilności dotyczą stabilności wewnętrznej – sformułowane dla zerowych wartości wejścia Stabilność zewnętrzna - definicje spełniające warunek dla wszystkich , wówczas system Stabilność BIBO Jeżeli jakiekolwiek wejście systemu spełniające warunek (tzn. wejście jest ograniczone) dla wszystkich wywołuje wyjście systemu jest stabilny w sensie ograniczone-wejście-ograniczone-wyjście (ang. bounded-input-bounded-output, BIBO)

Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności na kryteria dla systemu liniowego stacjonarnego ciągłego; ograniczymy się do stanu równowagi Stabilność wewnętrzna - kryteria Stan systemu liniowego stacjonarnego jest stabilny w sensie Lapunow’a Stabilność (w sensie Lapunow’a) wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu mają niedodatnie części rzeczywiste i jeżeli wartości własne leżące na osi urojonej (mające zerowe części rzeczywiste) są jednokrotne (nie powtarzają się) Stan systemu liniowego stacjonarnego jest globalnie asymptotycznie Stabilność asymptotyczna stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu mają ujemne części rzeczywiste Dodatek A – przykłady zastosowania metody wartości własnych do badania stabilności

Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności na kryteria stabilności dla systemu liniowego stacjonarnego dyskretnego; ograniczymy się do stanu równowagi Stabilność wewnętrzna - kryteria Stan systemu liniowego stacjonarnego jest stabilny w sensie Lapunow’a Stabilność (w sensie Lapunow’a) wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu nie leżą na zewnątrz okręgu jednostkowego i jeżeli wartości własne leżące na okręgu jednostkowym są jednokrotne Stan systemu liniowego stacjonarnego jest globalnie asymptotycznie Stabilność asymptotyczna stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu leżą ściśle wewnątrz okręgu jednostkowego

Stabilność zewnętrzna – kryteria Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności BIBO na kryteria dla systemu liniowego stacjonarnego ciągłego i dyskretnego Stabilność BIBO – system ciągły System ciągły liniowy stacjonarny jest opisany równaniem stanu i równaniem wyjścia jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy bieguny macierzy transmitancji leżą ściśle w lewej półpłaszczyźnie zespolonej Stabilność BIBO – system dyskretny System dyskretny liniowy stacjonarny jest opisany równaniem stanu i równaniem wyjścia jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy bieguny macierzy transmitancji leżą ściśle wewnątrz okręgu jednostkowego Dodatek B – przykład spełniania kryteriów stabilności wewnętrznej i zewnętrznej

Policzmy macierz tranzycji Ilustracja związków sterowalności i obserwowalności systemów ciągłych oraz ich stabilności Przykład 1. Rozważmy system SISO Policzmy macierz tranzycji Przyjmijmy zerowe warunki początkowe i skokowe wejście poza tym

Korzystając z macierzy tranzycji możemy policzyć odpowiedź stanu dla zerowych warunków początkowych

oraz odpowiedź wyjścia dla zerowych warunków początkowych

Odpowiedź wyjścia stabilizuje się

ale odpowiedź stanu wykazuje niestabilność Złe zachowanie stanu zostało „ukryte” na wyjściu – nie jest widoczne na wyjściu

Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz Zatem System jest nieobserwowalny

Zmieńmy warunki początkowe Wyjście systemu Wyjście systemu dla tych warunków początkowych Takie samo jak dla zerowych w.p.

Twierdzenie Niech będzie dany system liniowy stacjonarny SISO i niech będą wejściami odcinkami ciągłymi oraz i są określone przez Następujące stwierdzenia są równoważne (i) są obserwowalne (ii)

Przykład 2. Rozważmy system SISO Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz

Zatem rank Mo = 2 – system jest obserwowalny Policzmy macierz tranzycji

Korzystając z macierzy tranzycji możemy policzyć odpowiedź stanu dla zerowych warunków początkowych i skokowego wejścia oraz odpowiedź wyjścia dla zerowych warunków początkowych i skokowego wejścia

Zmieńmy warunki początkowe z zerowych na Odpowiedź stanu dla nowych warunków początkowych i skokowego wejścia

Odpowiedź wyjścia systemu dla nowych warunków początkowych

Odpowiedź wyjścia systemu Odpowiedź stanu systemu

Równania stanu Zbadajmy sterowalność systemu n=2 System jest niesterowalny

Przykład 3. Rozważmy system SISO Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz

Zatem rank Mo = 2 – system jest obserwowalny Zbadajmy sterowalność systemu n=2, r=1 rank Mc = 2 – system jest sterowalny

Policzmy macierz tranzycji Zadajmy wejście Odpowiedź stanu (zerowe w.p.) Odpowiedź wyjścia (zerowe w.p.)

Odpowiedź wyjścia (zerowe w.p.) Odpowiedź stanu (zerowe w.p.) System jest nieminimalnofazowy

Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę

Dodatek A

Przykład 1. Dany jest system dynamiczny z wartościami współczynników Zbadać stabilność wewnętrzną systemu

Wielomian charakterystyczny macierzy Dla przykładu Wartości własne macierzy Wnioski:  System a ma wszystkie wartości własne w lewej półpłaszczyźnie zespolonej i jest zatem globalnie asymptotycznie stabilny  System b ma jedną wartość własna na osi urojonej i jest zatem stabilny w sensie Lapunow’a  System c ma podwójną wartość własną na osi urojonej i jest zatem niestabilny

Wyniki symulacji System a.  Macierz nieosobliwa, zatem stan równowagi Weźmy: warunek początkowy wejście

Wyniki symulacji System b.  Macierz osobliwa, stanów równowagi nieskończenie wiele Weźmy: warunek początkowy wejście Wektor własny związany z wartością własną ma postać gdzie, q dowolna liczba Dowolny wektor początkowy równy temu wektorowi własnemu będzie stanem równowagi Jeżeli wybierzemy inny warunek początkowy system osiągnie pewien stan równowagi zgodny z podanym warunkiem dla stanu równowagi

Wynik symulacji

Wyniki symulacji System c.  Macierz osobliwa, stanów równowagi nieskończenie wiele, brak stabilnych Weźmy: warunek początkowy wejście

Dodatek B

Przykład 2. Stabilność wewnętrzna a zewnętrzna Dany jest system dynamiczny Zbadać stabilność wewnętrzną i zewnętrzną systemu Wyliczenie wartości własnych wielomianu charakterystycznego macierzy

Wartości własne Wniosek: system jest niestabilny wewnętrznie Model zewnętrzny

Wskutek skrócenia pary biegun-zero bieguny systemu system jest zewnętrznie stabilny (BIBO – stabilny) Wyniki symulacji dla wejścia – skok jednostkowy i zerowych warunków początkowych Niestabilność stanów

Stabilność wyjścia