Sterowalność - osiągalność Sterowalność określa możliwości wpływania na stan (lub wyjście) systemu odpowiednim ukształtowaniem wejścia Ogólnie wyróżnia się dwa określenia sterowalności: 1. Sterowalność do początku (controllability-to-the-origin), nazywana krócej sterowalnością (controllability) 2. Sterowalność od początku (controllability-from-the-origin), nazywana krócej osiągalnością (reachability)

Systemy ciągłe Sterowalność stanu Stan sterowalny Stan systemu liniowego jest sterowalny, jeżeli można system przeprowadzić z tego stanu do stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest sterowalny, mówimy, że system jest całkowicie sterowalny lub krócej sterowalny

Sterowalność systemu System sterowalny System liniowy jest sterowalny w skończonym przedziale czasu , jeżeli istnieje wejście , które przeprowadzi system z dowolnego stanu do stanu zerowego Jeżeli istnieje chociaż jeden stan systemu na który nie można oddziaływać przez jakiekolwiek wejście systemu, wówczas system jest niesterowalny

Dodatek A – przykłady zastosowania testu SSC LS1 – test Kalmana Sterowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego - testy System liniowy stacjonarny (twierdzenie SSC LS1) jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz sterowalności, nazywana macierzą sterowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Wymiar macierzy sterowalności: nxnp; n – wymiar stanu, p – wymiar wejścia Dla p=1 macierz sterowalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia sterowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy sterowalności Dodatek A – przykłady zastosowania testu SSC LS1 – test Kalmana

Dodatek B – Inne testy i przykład zastosowania – test Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a Dodatek C – Inne testy i przykład zastosowania - test dla systemów z jednokrotnymi wartościami własnymi

Sterowalność a przekształcenia podobieństwa Sterowalność zostaje zachowana podczas transformacji podobieństwa

Osiągalność stanu Stan osiągalny Stan systemu liniowego jest osiągalny, jeżeli można system przeprowadzić do tego stanu ze stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest osiągalny, mówimy, że system jest całkowicie osiągalny lub krócej osiągalny

Osiągalność systemu System osiągalny System liniowy Jest osiągalny w skończonym przedziale czasu , jeżeli istnieje wejście , które przeprowadzi system do dowolnego stanu ze stanu zerowego Jeżeli istnieje chociaż jeden stan systemu, który nie jest osiągalny, wówczas system jest nieosiągalny

Dla systemów ciągłych sterowalność i osiągalność są równoważne Osiągalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny (twierdzenie OSC LS1) jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz osiągalności, nazywana macierzą osiągalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu

System ciągły sterowalny  system ciągły osiągalny Dla systemów ciągłych sterowalność i osiągalność są równoważne System ciągły sterowalny  system ciągły osiągalny

Systemy dyskretne Dodatek D – przykład systemu dyskretnego posiadającego cechę sterowalności, ale nie posiadającego cechy osiągalności Wniosek z przykładu: Można wskazać systemy dyskretne posiadające cechę sterowalności, ale nie posiadające cechy osiągalności Uzasadnione jest zatem w odniesieniu do systemów dyskretnych stwierdzać posiadanie cechy osiągalności

System dyskretny sterowalny  system dyskretny osiągalny W ogólności zatem System dyskretny sterowalny  system dyskretny osiągalny Implikacja ta zachodzi dla przypadków, gdy AD jest osobliwa, w przeciwnym przypadku podobnie jak dla systemów ciągłych: System dyskretny sterowalny  system dyskretny osiągalny

Osiągalność stanu Stan osiągalny Stan systemu liniowego jest osiągalny, jeżeli można system przeprowadzić do tego stanu ze stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest osiągalny, mówimy, że system jest całkowicie osiągalny lub krócej osiągalny

Osiągalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego Twierdzenie OSD LS1 System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz osiągalności, nazywana macierzą osiągalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Wymiar macierzy osiągalności: nxnp; n – wymiar stanu, p – wymiar wejścia Dla p=1 macierz osiągalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia osiągalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy osiągalności

Dodatek E - Inne testy osiągalności systemów dyskretnych

Dla systemów dyskretnych sterowalność i osiągalność nie są równoważne Sterowalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego Twierdzenie SSD LS1 System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy, gdy macierz sterowalności, nazywana macierzą sterowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu

Sterowalność wyjścia Twierdzenie SW LS1 Wyjście liniowego systemu stacjonarnego jest sterowalne wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy o wymiarze qxnm jest równy q (q – wymiar przestrzeni wyjścia)

Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę

Dodatek A

Przykład 1. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Konstruujemy macierz sterowalności

Stąd Dla sprawdzenia sterowalności policzymy wyznacznik zatem System jest niesterowalny (względem stanów)

Lewa górna podmacierz macierzy sterowalności ma wyznacznik różny od zera, zatem Przykład 2. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu

Transmitancja systemu Konstruujemy macierz sterowalności stąd

Macierz sterowalności jest niezależna od współczynników licznika transmitancji systemu Wyznacznik macierzy sterowalności Wyznacznik macierzy sterowalności nie zależy współczynników wielomianu charakterystycznego a0, a1 oraz a2, zatem system o takiej strukturze jest zawsze sterowalny względem stanu

Przykład 3. Konstruujemy macierz sterowalności Dwa stany sterowalne, dwa niesterowalne

Przykład 4. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Macierz sterowalności System sterowalny

Przykład 5. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Macierz sterowalności System sterowalny

Dodatek B Inne testy Testy Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a (SSC LS2 i przykłady zastosowania testów

Testy Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a Zwykle i-ty wektor własny odpowiadający i-tej wartości własnej macierzy A jest definiowany Ze względu na porządek mnożenia, tak określony wektor własny vi jest nazywany prawostronnym wektorem własnym Podobnie można zdefiniować lewostronny wektor własny wi Dokonując transpozycji Widać: lewostronne wektory własne A są prawostronnymi wektorami własnymi AT

Twierdzenie SSC LS2 System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem lewostronny wektor własny macierz A, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz A nie jest ortogonalny jednocześnie do wszystkich kolumn macierz B

Twierdzenie SSC LS3 System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze nx(n+p) ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara s Testy sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 lub 3 nosi nazwę testów Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a

Przykład 6 Test sterowalności Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a Lewostronne wektory własne dla

Patrząc na nietrudno spostrzec, że System jest niesterowalny

Dodatek C Inne testy Testy dla systemów z jednokrotnymi wartościami własnymi i przykład zastosowania

Twierdzenie SSC LS4 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz B nie ma wierszy zerowych

Przykład 7. Układ elektryczny; wejście – napięcie u, wyjście - prąd y Budowa modelu Równania bilansowe Zależność wiążąca Różniczkując zależność wiążącą i podstawiając do drugiego równania bilansowego

Wybierając zmienne stanu Równania stanu Równanie wyjścia System z natury ma diagonalną strukturę – możemy zastosować Twierdzenie 4 jeżeli wartości własne są jednokrotne

Wartości własne Ponieważ obydwa wiersze macierzy B są zawsze niezerowe – system jest sterowalny, jeżeli tylko wartości własne są jednokrotne Macierz testu Kalmana

Wyznacznik macierzy Kalmana Jeżeli wartości parametrów elementów układu Równania stanu Równanie wyjścia Wartość własna dwukrotna

Wyznacznik macierzy Kalmana Schemat blokowy układu Równania stanu są niezależne Odpowiedzi stanu gdzie, , x10 i x20 – warunki początkowe

Do stanu końcowego można doprowadzić system tylko ze stanów początkowych a nie ze wszystkich

Dodatek D

Przykład 8. Rozważmy system dyskretny Równania dla poszczególnych stanów maja postać: W świetle podanej definicji system jest sterowalny, bo: Weźmy dowolny stan Wybierając sterowanie

Przeprowadzimy system do stanu dla Zatem system jest sterowalny, w świetle podanej definicji Drugi stan jest równy zero dla wszystkich niezależnie od przyłożonego wejścia i nie można go przeprowadzić gdziekolwiek indziej System nie posiada zatem cechy osiągalności

Inne testy osiągalności systemów dyskretnych Dodatek E Inne testy osiągalności systemów dyskretnych

Twierdzenie OSD LS2 System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem lewostronny wektor własny macierz AD , taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz AD nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz BD

Twierdzenie OSD LS3 System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze nx(n+m) ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara z Test sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 lub 3 nosi nazwę testu Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a

Twierdzenie OSD LS4 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz BD nie ma wierszy zerowych