Liczby rzeczywiste ©M

Podzbiory liczb rzeczywistych Wszystkie liczby, które odpowiadają punktom na osi liczbowej, nazywamy liczbami rzeczywistymi. Podzbiory liczb rzeczywistych Zbiór liczb naturalnych Zbiór liczb całkowitych Zbiór liczb wymiernych Zbiór liczb niewymiernych ©M

Liczby naturalne N = { 0,1,2,3,……,n-1, n, n+1,....} Jeżeli różne od zera liczby naturalne n, m i k spełniają równość n = m·k, to liczba n jest podzielna przez m i przez k. Liczby m i k to dzielniki liczby n, a liczba n to wielokrotność liczby m i k. Liczba pierwsza to liczba naturalna k, która ma dwa różne dzielniki: samą siebie oraz 1. ©M

Liczba złożona to liczba naturalna mająca więcej niż dwa dzielniki. Liczby względnie pierwsze to dwie liczby naturalne których jedynym dzielnikiem jest liczba 1. Rozkład na czynniki pierwsze to przedstawienie liczby naturalnej w postaci iloczynu liczb pierwszych. 420 210 105 35 7 1 2 3 5 przykład 420 = 22 ·3·3·5·7 ©M

Zasadnicze twierdzenie arytmetyki Każda liczba złożona jest iloczynem liczb pierwszych. Rozkład ten jest dla danej liczby jednoznaczny z dokładnością do porządku czynników. NWD(m,n) – największy wspólny dzielnik liczb naturalnych m, n to największy ze wszystkich dzielników tych liczb. NWW(m,n) - najmniejsza wspólna wielokrotność liczb naturalnych m, n jest to najmniejsza ze wszystkich wspólnych wielokrotności tych liczb. ©M

Działania a ·b = c a + b = c a  b = c a – b = c iloczyn suma czynniki składniki a  b = c a – b = c różnica odjemna odjemnik iloraz dzielna dzielnik ©M

Cechy podzielności 2 3 4 5 6 8 9 dzielnik cechy podzielności cyfrą jedności jest 0, 2,4,6 albo 8 3 suma cyfr liczby jest podzielna przez 3 4 liczba utworzona przez dwie ostatnie cyfry dzieli się przez 4 5 ostatnią cyfrą liczby jest 5 albo 0 6 liczba jest podzielna przez 2 i przez 3 8 liczba utworzona przez trzy ostatnie cyfry tej liczby dzieli się przez 8 9 suma cyfr liczby dzieli się przez 9 ©M

Liczby całkowite C = {…...-3, -2, -1, 0,1, 2, 3,…...} to liczby naturalne i do nich przeciwne. C = {…...-3, -2, -1, 0,1, 2, 3,…...} Liczby parzyste - to liczby, które są podzielne przez 2; postać tej liczby a=2k, gdzie kC. Liczby nieparzyste - to liczby, które nie są podzielne przez 2; postać a = 2k +1 gdzie k C ©M

Liczby wymierne to liczby postaci ,gdzie m, n C i n0 Liczbę wymierną możemy zapisać w postaci ułamka dziesiętnego. Rozwinięcie dziesiętne liczby otrzymujemy, wykonując dzielenie p przez q. Np. okres rozwinięcia dziesiętnego Długość okresu 1 – liczba cyfr, z których składa się okres. ©M

Jeżeli liczba rzeczywista ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe, to liczba jest wymierna. Każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego i nieskończonego okresowego. Zamienić na ułamek liczbę 0,(23) Oznaczamy przez a=0,23232323……. ·100 100a = 23,232323……. czyli 100a = 23 +a a więc po odjęciu mamy 99a = 23 Stąd ©M

Reguły działań na liczbach wymiernych

Liczby niewymierne to liczby, które nie możemy przedstawić w postaci ułamka. Przykłady: Każda liczba niewymierna ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe. ©M

Konstrukcja odcinków o długościach niewymiernych

N  C  W  R W  IW = R N  C  W = W W  IW =  N  C = C W  C = C Każda liczba rzeczywista jest liczbą wymierną albo niewymierną. R Zależności N  C  W  R W  IW = R N  C  W = W W  IW =  N  C = C W  C = C N  C = N W  N = N ©M

©M