Tajemnice matematyki starożytnej

Pamiętajmy, że termin "matematyka grecka" odnosi się do tekstów napisany u po grecku w okresie od ok. 600 p.n.e. do 450 n.e. Matematycy greccy żyli w miastach rozsianych od półwyspu Apenińskiego po północną Afrykę, lecz jednoczyła ich kultura i język. Zatem zapraszamy na wycieczkę po starożytnej Grecji w celu zapoznania się z najstarszymi korzeniami matematyki! Miłoego oglądania.

Matematyka grecka była bardziej wyrafinowana od osiągnięć wcześniejszych kultur. Świadectwa, które przetrwały do naszych czasów, wskazują na umiejętność rozumowania indukcyjnego, to znaczy konstruowania reguł na podstawie obserwacji. Grecy używali logiki do wyprowadzania wniosków z definicji i aksjomatów.

Wnieśli ogromny wkład do nauki starożytnej, zwłaszcza w zakresie matematyki, astronomii oraz teorii muzyki. Związek Pitagorejczyków był działalnością otoczoną tajemnicą i dlatego trudno określić autorstwo poszczególnych odkryć. Jednak większość z nich przypisywano Pitagorasowi. Pitagorejczycy zajmowali się geometrią, arytmetyką, astronomią i teorią muzyki.

Pitagorejczycy pod pojęciem liczby rozumieli tylko liczby naturalne traktowane jako zbiory jedności. Jedności te wyobrażali sobie jako punkty i umieszczając je na bokach wielokątów foremnych, otrzymywali liczby trójkątne, kwadratowe, pięciokątne i inne. Sformułowali różne własności tych liczb.

Pitagorejczycy jako pierwsi zwrócili uwagę na prawa ich podzielności. Podzielili liczby na klasy: parzyste-nieparzyste oraz pierwsze-złożone. Wymyślili także twierdzenie: iloczyn dwóch liczb dzieli się przez 2 wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników tego iloczynu dzieli się przez 2.

Pitagorejczycy zajmowali się również geometrią. Znali niektóre własności wieloboków i wielościanów foremnych. Pokazali, w jaki sposób można pokryć płaszczyznę za pomocą trójkątów foremnych, kwadratów lub sześciokątów foremnych, a przestrzeń- sześcianów. Platon, człowiek który czerpał wiele z poglądów pitagorejczyków, nadał wielościanom foremnym znaczenie kosmologiczne: czworościan symbolizował ogień, ośmiościan- powietrze, ziemia miała postać sześcianu, a woda dwudziestościanu.

Wiedzę o geometrii pitagorejczyków czerpiemy bowiem z relacji późniejszych twórców, m.in. Euklidesa, Teajteta czy Hipokratesa. Natomiast nazwisko Pitagorasa najczęściej kojarzone jest z twierdzeniem Pitagorasa, które znano wcześniej tylko w przypadkach szczególnych.

Jednym z najbardziej znanych i znaczących osiągnięć szkoły pitagorejskiej jest twierdzenie Pitagorasa. Sama nazwa może być jednak myląca, ponieważ nie można z całą pewnością stwierdzić, czy autorem tego twierdzenia był Pitagoras. Nie zachowały się bowiem żadne jego pisma, a częstą praktyką było w tamtych czasach powoływanie się uczniów na autorytet mistrza. Nie ulega jednak wątpliwości, że dowód twierdzenia powstał w szkole pitagorejskiej.

Głosi, że: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych. Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne: Jeżeli w trójkącie suma pól kwadratów zbudowanych na dwóch krótszych bokach jest równa polu kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku, to trójkąt jest prostokątny.

Kolejnym ważnym osiągnięciem pitagorejczyków jest twierdzenie o sumie wszystkich kątów w trójkącie, która wynosi 180 stopni. Jako pierwsi w swoich pracach wprowadzili lub zdefiniowali oni również takie terminy, jak:  elipsa,  parabola,  hiperbola,  punkt,  prosta,  odcinek.

Największe konsekwencje dla rozwoju związku pitagorejskiego pociągnęło za sobą odkrycie liczb niewymiernych. Nastąpiło to podczas badania kwadratu. Odkryto wówczas, że bok i przekątna kwadratu są odcinkami niewspółmiernymi, czyli takimi, których nie można wyrazić za pomocą ułamka zwykłego o całkowitym liczniku i mianowniku, nie mają wspólnej miary. Inaczej mówiąc – jeśli liczba wymierna jest długością boku kwadratu, to żadna liczba wymierna nie jest długością jego przekątnej.

Najpierw fakt odkrycia liczb niewymiernych związek pitagorejski trzymał w tajemnicy, później jednak nastąpił podział szkoły na akuzmatyków i matematyków. Ci pierwsi porzucili dociekania matematyczne i obrali drogę religijno- etyczną, kontemplacyjną i mistyczną. Matematycy natomiast, nie porzucając religii, opowiedzieli się za koniecznością dalszego prowadzenia studiów naukowych i zajmowali się przede wszystkim geometrią. Przekątna kwadratu ma długość a√2, gdzie a jest długością boku kwadratu, natomiast √2 jest liczbą niewymierną, nie można jej przedstawić za pomocą ułamka, którego licznik i mianownik są liczbami całkowitymi, podobnie jak liczby π. Nazwano je wówczas liczbami niewyrażalnymi - alogoj. Odkrycie liczb niewymiernych, wcześniej przez Greków nieznanych, początkowo zachwiało głoszoną przez pitagorejczyków wiarą w świat harmonijny, pełen proporcji, mierzalny za pomocą liczb i dający się opisać za pomocą figur geometrycznych.

Niespodziewane odkrycie liczb niewymiernych i spowodowane tym faktem wątpliwości co do sensu i możliwości prowadzenia badań w tym zakresie nie doprowadziły jednak do odrzucenia przez pitagorejczyków poglądu, że światem rządzą liczby. Nawet wręcz przeciwnie – zaczęto dostrzegać jeszcze bardziej tajemnicę i siłę liczb oraz podkreślać ich mistyczny charakter. Bez obecności liczb wszystko byłoby bezkresne, niepojęte, chaotyczne. To liczby kształtują rzeczywistość i poprzez odkrywanie ich obecności w świecie możliwe jest wszelkie poznanie. Pitagorejczycy rozumieli liczby nie jako abstrakcje, lecz przypisywali im przestrzenną wielkość i realny kształt. Liczby kwadratowe, trójkątne czy sześcienne swą nazwę zawdzięczają własnościom odkrytym podczas badania figur geometrycznych – kwadratów, trójkątów, sześcianów. Konsekwencją poglądu o obecności liczb we wszystkich rzeczach była metoda poznania, polegająca na odkrywaniu, porównywaniu i zestawianiu liczb.

Zostały w ten sposób utworzone liczby zaprzyjaźnione, czyli pary liczb, w których suma dzielników jednej liczby daje drugą i odwrotnie (220 i 284; 1184 i 1210; 5020 i 5564; 6232 i 6368; i ,...), np. suma dzielników liczby 220: = 284, a suma dzielników liczby 284: = 220. Pitagorejczycy zajmowali się również problemem harmonii muzycznej i głosili pogląd, że powstaje ona dzięki liczbie i da się przez liczby wyrazić, byli twórcami kwintowej skali muzycznej. Odkryli oni, że dźwięki muzyczne wykazują matematyczną prawidłowość i że ich przyczyną jest ruch. Swoje badania prowadzili, wykorzystując monochord – jednostrunowy przyrząd muzyczny. Za pomocą przesuwanego mostka skracano strunę monochordu tak, aby stosunki długości jej odcinków były liczbami całkowitymi, i otrzymano trzy interwały: oktawę (1:2), wyrażającą stosunek połowy do całości, kwintę (2:3) i kwartę (3:4). Za pomocą dodawania i odejmowania tych interwałów można było uzyskać pozostałe dźwięki. Nietrudno dostrzec, że suma liczb 1, 2, 3, 4 daje 10 – liczbę wyrażającą doskonałość według wierzeń pitagorejskich. Głównym osiągnięciem szkoły pitagorejskiej w dziedzinie arytmetyki było dokonanie przez nią po raz pierwszy klasyfikacji liczb, zaczęto je systematycznie badać. Zostały one podzielone na parzyste i nieparzyste; będące kwadratami (4, 9, 16, 25, 36,...) i niebędące kwadratami (2, 3, 5, 6, 7,...). Ponadto wyróżniano liczby doskonałe (6, 28, 496, 8128,...), czyli takie, które są równe sumie swoich dzielników mniejszych od samej liczby, np. 6 = ; 28 = Pitagoras miał również wymyślić definicję słowa „przyjaźń”. Na pytanie, kto to jest przyjaciel, odpowiedział: „Ten, który jest drugim ja, tak jak 220 i 284”.

Pierwotnie Grecy stosowali system liczbowy nazywany archaicznym systemem greckim. Był zbliżony do systemy kreteńskiego i egipskiego. W czasach Homera obowiązywał system dziesiętny, addytywny z symbolami przedstawionymi obok.

Zasada zapisu: powtarzamy odpowiednią ilość razy symbole oznaczające kolejne potęgi 10. Dla przykładu: liczbę 5649 zapisywano tak, jak na rycinie przedstawionej obok:

Od VI wieku p.n.e. Grecy zaczęli upraszczać system notacji, wprowadzając bazę pomocniczą 5, a zatem używali osobnych znaków dla 5, 50, 500 itd. W tym samym czasie stare kształty cyfr zaczęto zastępować literami alfabetu, od których zaczynały się nazwy odpowiednich liczb. Tak powstała numeracja attycka, przedstawiona obok: Grecy jako pierwsi operowali ułamkami zwykłymi i potrafili wykonywać na nich wszystkie działania arytmetyczne, z tym tylko ograniczeniem, że odejmować można było wielkości mniejsze od większych. Dodawanie i odejmowanie wykonywano za pomocą sprawdzania do wspólnego mianownika, ułamki skracano, mnożono i dzielono. Grecy traktowali jedność jako niepodzielną, więc nie mówili o ułamkach jako o częściach jedności, ale o stosunkach liczb całkowitych.

System pitagorejczyków był pierwszym matematycznym modelem świata. Jednak odkrycie odcinków niewspółmiernych w znaczny sposób zachwiało tym modelem i doprowadziło do stworzenia nowych teorii. Odcinki niewspółmierne, to takie, których stosunku długości nie można przedstawić za pomocą ilorazu dwóch liczb naturalnych. Już w wypadku kwadratu jego bok okazał się niewspółmierny z przekątną. Wkrótce okazało się, że nie tylko bok kwadratu i jego przekątna są niewspółmierne. Odkrycie takich docinków zachwiało pitagorejskim przekonaniem, że świat rzeczywisty zbudowany jest na wzór liczb naturalnych i dlatego bardzo długo trzymano to w tajemnicy.

Odkrycie niewspółmierności zwróciło pitagorejczykom uwagę na związek z arytmetyką. Wiadomo było, że nie zawsze stosunek długości dwóch odcinków dał się przedstawić za pomocą stosunku liczb naturalnych. Zaczęto poszukiwać dróg wyjścia z kryzysu.. Pitagorejczycy wybrali trzecią opcję Juszkiewicza: Budowanie podstaw matematyki nie na liczbach naturalnych, lecz na geometrii. Wtedy wszystkie liczby przedstawiano jako odcinki, otrzymane przez powtarzanie skończoną liczbę razy docinka jednostkowego. Odcinki dodawano, łącząc jeden odcinek z drugim, odejmowano- odrzucając od większego odcinka część równą mniejszemu. Iloczynem dwóch odcinków był zbudowany na nich prostokąt. Rysunek obok przedstawia dowód równości:

Tradycyjnie za ojca antycznej matematyki greckiej uważa się Talesa z Miletu- twórcę jońskiej szkoły filozofii pr zy rody. Tales był kupcem, działaczem politycznym, filozofem, astronomem i matematykiem pochodzącym z bogatej greckiej kolonii w Azji Mniejszej. Talesowi przypisuje się następujące osiągnięcia: wykazał, że średnica dzieli okrąg na połowy, - sformułował twierdzenie o równości kątów przy podstawie trójkąta równoramiennego, - odkrył, że gdy dwie proste się przecinają, to powstałe w wyniku tego przecięcia przeciwległe kąty są równe, - odkrył, że kąt wpisany w półkole jest kątem prostym, - udowodnił twierdzenie o równości dwóch trójkątów, mających równe jeden bok i dwa kąty.

Grecy rozważali problemy matematyczne bardziej z punktu widzenia ich zrozumienia, a nie użyteczności. Hipokrates, to człowiek, który cechował się doskonałością matematyczną i brakiem zastosowań praktycznych rozważanych problemów. Głównie obliczał pola takich figur jak półksiężyce ograniczone przez dwa łuki i inne. Budował również wielokąty o polach równych polom księżyców, co miało doprowadzić do rozwiązania jednego z głównych problemów kwadratury koła. Hipokrates jest również autorem pierwszego, ale niezachowanego podręcznika geometrii. Rozpatrywał tam pola figur płaskich ograniczonych zarówno przez linie proste, jak i łuki kołowe.

W V wieku p.n.e. pojawiły się w matematyce greckiej trzy problemy, których do teraz nie rozwiązano: 1. Podwojenie sześcianu - zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż objętość danego sześcianu. 2. Kwadratura koła - skonstruować kwadrat o takim samym polu, jak pole danego koła podzielić dowolny kąt na trzy równe części. Wszystkie wymienione wyżej problemy sprowadzały się do znalezienia pewnych metod konstrukcji. Konstrukcje te miały być wykonane tylko za pomocą cyrkla i linijki ( kreślenia prostych i okręgów) oraz miały być metodami ogólnymi (”funkcjonującymi„ we wszystkich możliwych przypadkach).

Karina Kaczkowska Klaudia Kędzierska Barbara Korczyk z klasy II Gi C

KONIEC